Trouver le domaine à partir d'un graphique

Trouve le domaine de la fonction représentée, dont le graphique existe de $x = -3$ à $x = 5$.

Identifie la plus petite valeur de x: Le graphique commence à $x = -3$ = Borne gauche : $-3$

Identifie la plus grande valeur de x: Le graphique se termine à $x = 5$ = Borne droite : $5$

Écris en notation d'intervalle: Toutes les valeurs de x de $-3$ à $5$, incluses = $[-3, 5]$

Écris en notation ensembliste (alternative): $\{x \mid -3 \leq x \leq 5\}$ = "x tel que x est entre -3 et 5"

Answer: Domaine : $[-3, 5]$ ou $\{x \mid -3 \leq x \leq 5\}$

Trouver l'image à partir d'un graphique

Trouve l'image d'une parabole avec sommet en $(0, -4)$ qui s'ouvre vers le haut.

Trouve la valeur minimale de y: Le sommet est le point le plus bas à $y = -4$ = Minimum : $y = -4$

Détermine la valeur maximale de y: La parabole monte à l'infini = Maximum : $\infty$

Écris en notation d'intervalle: Toutes les valeurs de y de $-4$ à l'infini = $[-4, \infty)$

Interprète: La fonction produit toutes les valeurs $\geq -4$ = L'image inclut $-4$ et toutes les valeurs supérieures

Answer: Image : $[-4, \infty)$ ou $\{y \mid y \geq -4\}$

Domaine avec restrictions

Trouve le domaine de $f(x) = \frac{1}{x-2}$

Identifie les restrictions: Une fraction est indéfinie quand le dénominateur est égal à zéro = Condition : $x - 2 \neq 0$

Résous pour la valeur restreinte: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ = $x \neq 2$

Écris le domaine: Tous les réels sauf 2 = $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

Vérifie: Pour $x = 2$ : $f(2) = \frac{1}{0}$ est indéfini = Restriction confirmée

Answer: Domaine : $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ ou $\{x \mid x \neq 2\}$

Domaine d'une fonction racine carrée

Trouve le domaine de $g(x) = \sqrt{x + 3}$

Rappelle la restriction: L'expression sous une racine carrée doit être $\geq 0$ = Condition : $x + 3 \geq 0$

Résous l'inéquation: $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$ = $x \geq -3$

Écris en notation d'intervalle: Toutes les valeurs de x de $-3$ à l'infini = $[-3, \infty)$

Vérifie la borne: Pour $x = -3$ : $\sqrt{-3+3} = \sqrt{0} = 0$ (valide) = $-3$ est inclus

Answer: Domaine : $[-3, \infty)$ ou $\{x \mid x \geq -3\}$

Domaine et image à partir d'une équation

Trouve le domaine et l'image de $f(x) = x^2 - 1$

Vérifie les restrictions de domaine: Pas de fractions (pas de division par zéro) et pas de racines carrées (rien de négatif sous la racine) = Pas de restrictions

Indique le domaine: N'importe quel réel peut être élevé au carré = Domaine : $(-\infty, \infty)$

Trouve la sortie minimale: Puisque $x^2 \geq 0$ pour tout x, le minimum de $x^2 - 1$ est $0 - 1 = -1$ = Valeur minimale de y : $-1$

Indique l'image: La parabole s'ouvre vers le haut depuis $y = -1$ = Image : $[-1, \infty)$

Answer: Domaine : $(-\infty, \infty)$, Image : $[-1, \infty)$

Mistake: Confondre domaine et image

Why: Les deux termes décrivent des ensembles de valeurs, mais s'appliquent à des variables différentes.

Correct: Domaine = valeurs de x (horizontal, entrées). Image = valeurs de y (vertical, sorties). Retiens : "D" pour domaine vient avant "I" pour image, comme x vient avant y.

Mistake: Oublier d'exclure les valeurs qui annulent le dénominateur

Why: La division par zéro est indéfinie, donc ces valeurs de x ne peuvent pas être dans le domaine.

Correct: Vérifie toujours s'il y a une variable au dénominateur. Pose dénominateur $\neq 0$ et résous.

Mistake: Utiliser la mauvaise notation de crochets

Why: Les crochets $[ ]$ incluent les bornes ; les parenthèses $( )$ les excluent.

Correct: $[a, b]$ signifie $a \leq x \leq b$ (inclut a et b). $(a, b)$ signifie $a < x < b$ (exclut a et b). Utilise toujours $( )$ avec $\infty$.

Mistake: Supposer que toutes les fonctions ont le domaine $(-\infty, \infty)$

Why: Beaucoup de fonctions ont des restrictions naturelles dues aux fractions, racines carrées ou contextes réels.

Correct: Vérifie : division par zéro, racines carrées de nombres négatifs, logarithmes de nombres non positifs, et limites contextuelles.

Mouvement de projectile

Quand une balle est lancée, sa hauteur en fonction du temps est une fonction avec domaine et image restreints.

Si $h(t) = -5t^2 + 20t$ modélise la hauteur en mètres après t secondes, le domaine est $[0, 4]$ (temps du lancer à l'atterrissage) et l'image est $[0, 20]$ (niveau du sol à la hauteur maximale).

Fonctions de prix

Les entreprises utilisent des fonctions pour modéliser les prix, avec des domaines restreints aux quantités réalistes.

Si $P(x) = 100 - 2x$ donne le prix unitaire quand on vend x unités, le domaine pourrait être $[0, 50]$ (on ne peut pas vendre des unités négatives, et le prix ne peut pas descendre sous zéro).

Q: Comment savoir si une borne doit utiliser un crochet ou une parenthèse ?

A: Utilise un crochet $[ ]$ si la borne est incluse dans l'ensemble (point plein sur le graphique, $\leq$ ou $\geq$ dans l'inéquation). Utilise une parenthèse $( )$ si elle est exclue (point vide, $<$ ou $>$). Utilise toujours des parenthèses avec l'infini car l'infini n'est pas un nombre.

Q: Et si une fonction n'a pas de restrictions ?

A: Alors le domaine est tous les réels : $(-\infty, \infty)$ ou $\mathbb{R}$. C'est courant pour les polynômes sans fractions ni racines, comme $f(x) = 2x + 3$ ou $g(x) = x^3 - x$.

Q: Comment trouver l'image sans tracer le graphique ?

A: Considère quelles sorties sont possibles. Pour les fonctions quadratiques, trouve le sommet (minimum ou maximum). Pour les racines carrées, les sorties sont toujours $\geq 0$. Pour les fonctions rationnelles, vérifie les asymptotes horizontales. Parfois, tracer le graphique est la méthode la plus simple !