Domaine et image

Apprends à identifier le domaine (valeurs d'entrée) et l'image (valeurs de sortie) d'une fonction.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'entrée (valeurs de x) que la fonction peut accepter.
L'image d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie (valeurs de y) que la fonction peut produire.
Pense à une fonction comme une machine :
  • Domaine : Ce que tu peux mettre DANS la machine
  • Image : Ce qui SORT de la machine
Domaine→fonctionImage\text{Domaine} \xrightarrow{\text{fonction}} \text{Image}
x→ff(x)=yx \xrightarrow{f} f(x) = y

Essaie tout de suite

Que représente le domaine d'une fonction ?

Exemples résolus

Trouve le domaine de la fonction représentée : son graphique commence par un point plein en x=−3x = -3 et se termine par un point plein en x=5x = 5.
1

Identifie la plus petite valeur de x

Le graphique commence à x=−3x = -3 → Borne gauche : −3-3
2

Identifie la plus grande valeur de x

Le graphique se termine à x=5x = 5 → Borne droite : 55
3

Écris en notation d'intervalle

Toutes les valeurs de x de −3-3 à 55, incluses → [−3,5][-3, 5]
4

Écris en notation ensembliste (alternative)

{x∣−3≤x≤5}\{x \mid -3 \leq x \leq 5\} → "x tel que x est entre -3 et 5"

Erreurs courantes

Confondre domaine et image

Pourquoi c'est faux: Les deux termes décrivent des ensembles de valeurs, mais s'appliquent à des variables différentes.

Correct: Domaine = valeurs de x (horizontal, entrées). Image = valeurs de y (vertical, sorties). Retiens : "D" pour domaine vient avant "I" pour image, comme x vient avant y.

Oublier d'exclure les valeurs qui annulent le dénominateur

Pourquoi c'est faux: La division par zéro n'est pas définie, donc ces valeurs de x ne peuvent pas être dans le domaine.

Correct: Vérifie toujours s'il y a une variable au dénominateur. Pose dénominateur ≠0\neq 0 et résous.

Utiliser la mauvaise notation de crochets

Pourquoi c'est faux: Les crochets [][ ] incluent les bornes ; les parenthèses ()( ) les excluent.

Correct: [a,b][a, b] signifie a≤x≤ba \leq x \leq b (inclut a et b). (a,b)(a, b) signifie a<x<ba < x < b (exclut a et b). Utilise toujours ()( ) avec ∞\infty.

Supposer que toutes les fonctions ont le domaine (−∞,∞)(-\infty, \infty)

Pourquoi c'est faux: Beaucoup de fonctions ont des restrictions naturelles dues aux fractions, racines carrées ou contextes réels.

Correct: Vérifie : division par zéro, racines carrées de nombres négatifs, logarithmes de nombres non positifs, et limites contextuelles.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-4-2024-202468xy(0 ; -1)(-3 ; 0)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

f(x) = x² − 1g(x) = √(x + 3)
  • Sommet : (0 ; -1)
à

x < 2 ou x > 2·(−∞, 2) ∪ (2, ∞)

Clique sur les nombres pour les sélectionner. Ajuste la plage pour explorer différentes valeurs.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

x^2 - 1

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Que représente le domaine d'une fonction ?

Pourquoi c'est important

Comprendre le domaine et l'image t'aide à :
  • Éviter les erreurs mathématiques : Tu ne peux pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif (dans les réels), donc f(x)=xf(x) = \sqrt{x} a des restrictions de domaine
  • Interpréter des situations réelles : Une fonction modélisant la hauteur en fonction du temps a une image limitée par des contraintes physiques
  • Comprendre le comportement des fonctions : Le domaine te dit où une fonction "vit" sur l'axe des x ; l'image te dit son étendue verticale
  • Résoudre les problèmes correctement : Beaucoup de problèmes contextualisés nécessitent de trouver des valeurs réalistes dans le domaine et l'image d'une fonction

Applications dans le monde réel

Mouvement de projectile

Quand une balle est lancée, sa hauteur en fonction du temps est une fonction avec domaine et image restreints.

Exemple:

Si h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t modélise la hauteur en mètres après t secondes, le domaine est [0,4][0, 4] (temps du lancer à l'atterrissage) et l'image est [0,20][0, 20] (niveau du sol à la hauteur maximale).

1Essaie par toi-même

La hauteur d'une fusée est modélisée par h(t)=−4t2+32th(t) = -4t^2 + 32t où t est en secondes.

Quelle est la hauteur maximale (sommet de l'image) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve l'instant du sommet t=−b2at = \frac{-b}{2a}, puis la hauteur hh à cet instant :

Fonctions de prix

Les entreprises utilisent des fonctions pour modéliser les prix, avec des domaines restreints aux quantités réalistes.

Exemple:

Si P(x)=100−2xP(x) = 100 - 2x donne le prix unitaire quand on vend x unités, le domaine pourrait être [0,50][0, 50] (on ne peut pas vendre des unités négatives, et le prix ne peut pas descendre sous zéro).

2Essaie par toi-même

La fonction de bénéfice d'un magasin est P(x)=−x2+50x−400P(x) = -x^2 + 50x - 400, où x est le nombre d'articles vendus.

Le magasin ne veut pas perdre d'argent, donc P(x)≥0P(x) \geq 0. Quel est le plus grand nombre d'articles de ce domaine réaliste ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous −x2+50x−400≥0-x^2 + 50x - 400 \geq 0 et donne la borne de droite :

Points clés

  • 1Le domaine est l'ensemble de toutes les valeurs d'entrée valides (valeurs de x) pour une fonction
  • 2L'image est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles (valeurs de y) qu'une fonction peut produire
  • 3Restrictions courantes de domaine : dénominateurs ≠0\neq 0, arguments de racine ≥0\geq 0
  • 4Utilise la notation d'intervalle avec [][ ] pour les bornes incluses et ()( ) pour les bornes exclues
  • 5Utilise toujours des parenthèses avec l'infini : (−∞,a](-\infty, a] ou [b,∞)[b, \infty)

Questions fréquentes

Utilise un crochet [][ ] si la borne est incluse dans l'ensemble (point plein sur le graphique, ≤\leq ou ≥\geq dans l'inéquation). Utilise une parenthèse ()( ) si elle est exclue (point vide, << ou >>). Utilise toujours des parenthèses avec l'infini car l'infini n'est pas un nombre.
Utilise un crochet [][ ] si la borne est incluse dans l'ensemble (point plein sur le graphique, ≤\leq ou ≥\geq dans l'inéquation). Utilise une parenthèse ()( ) si elle est exclue (point vide, << ou >>). Utilise toujours des parenthèses avec l'infini car l'infini n'est pas un nombre.
Alors le domaine est tous les réels : (−∞,∞)(-\infty, \infty) ou R\mathbb{R}. C'est courant pour les polynômes sans fractions ni racines, comme f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 ou g(x)=x3−xg(x) = x^3 - x.
Considère quelles sorties sont possibles. Pour les fonctions quadratiques, trouve le sommet (minimum ou maximum). Pour les racines carrées, les sorties sont toujours ≥0\geq 0. Pour les fonctions rationnelles, vérifie les asymptotes horizontales. Parfois, tracer le graphique est la méthode la plus simple !

Glossaire

Domaine
L'ensemble de toutes les valeurs d'entrée valides (valeurs de x) pour une fonction
Image
L'ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles (valeurs de y) d'une fonction
Notation d'intervalle
Une façon d'écrire des ensembles en utilisant crochets et parenthèses, ex. [−3,5)[-3, 5)
Notation ensembliste
Une façon de décrire des ensembles en utilisant des conditions, ex. {x∣x>0}\{x \mid x > 0\}
Restriction
Une valeur qui ne peut pas être dans le domaine en raison de règles mathématiques
Défi du jourUn problème, trois essais

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