Tracer des fonctions quadratiques (paraboles)

Apprends à tracer des fonctions quadratiques, à identifier les caractéristiques clés comme le sommet et l'axe de symétrie, et à comprendre comment les coefficients affectent la forme des paraboles.

Avancé25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une fonction quadratique est une fonction polynomiale de degré 2, écrite sous la forme :
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
où aa, bb et cc sont des constantes et a≠0a \neq 0.
Le graphique d'une fonction quadratique s'appelle une parabole - une courbe symétrique en forme de U.
Caractéristiques clés d'une parabole :
CaractéristiqueDescriptionFormule
SommetLe point le plus haut ou le plus bas(−b2a,f(−b2a))\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)
Axe de symétrieLigne verticale passant par le sommetx=−b2ax = -\frac{b}{2a}
DirectionS'ouvre vers le haut si a>0a > 0, vers le bas si a<0a < 0Signe de aa
Ordonnée à l'origineOù le graphique coupe l'axe des y(0,c)(0, c)
Racines (zéros)Où le graphique coupe l'axe des xRésoudre ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

Essaie tout de suite

Pour la fonction f(x)=2x2+3x−5f(x) = 2x^2 + 3x - 5, quelle est la valeur du coefficient aa ?

Exemples résolus

Trace f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 et identifie toutes les caractéristiques clés.
1

Identifier les coefficients

a=1a = 1, b=−4b = -4, c=3c = 3 → La parabole s'ouvre vers le haut (puisque a>0a > 0)
2

Trouver l'axe de symétrie

x=−b2a=−−42(1)=42=2x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 → Axe de symétrie : x=2x = 2
3

Trouver le sommet

f(2)=(2)2−4(2)+3=4−8+3=−1f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 → Sommet : (2,−1)(2, -1)
4

Trouver l'ordonnée à l'origine

f(0)=(0)2−4(0)+3=3f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3 → Ordonnée à l'origine : (0,3)(0, 3)
5

Trouver les racines

x2−4x+3=0⇒(x−1)(x−3)=0x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 → Racines : (1,0)(1, 0) et (3,0)(3, 0)
6

Placer les points et tracer la parabole

Placer le sommet (2,−1)(2, -1), l'ordonnée à l'origine (0,3)(0, 3), les racines (1,0)(1, 0) et (3,0)(3, 0) → Courbe en U s'ouvrant vers le haut

Erreurs courantes

Oublier le signe négatif lors du calcul de l'axe de symétrie

Pourquoi c'est faux: La formule x=−b2ax = -\frac{b}{2a} contient un signe négatif facile à oublier, surtout quand bb est déjà négatif.

Correct: Écris toujours la formule avec le signe négatif d'abord : x=−b2ax = -\frac{b}{2a}. Si b=−4b = -4 et a=1a = 1, alors x=−−42=42=2x = -\frac{-4}{2} = \frac{4}{2} = 2.

Confondre le sommet avec l'ordonnée à l'origine

Pourquoi c'est faux: L'ordonnée à l'origine (0,c)(0, c) est souvent plus facile à trouver, mais ce n'est pas le sommet sauf si l'axe de symétrie est x=0x = 0.

Correct: Le sommet est à (−b2a,f(−b2a))\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right). Calcule d'abord la coordonnée x, puis substitue pour trouver la coordonnée y.

Penser que toutes les paraboles s'ouvrent vers le haut

Pourquoi c'est faux: Beaucoup d'élèves oublient que le signe de aa détermine la direction.

Correct: Vérifie toujours le signe de aa d'abord : a>0a > 0 s'ouvre vers le haut (minimum), a<0a < 0 s'ouvre vers le bas (maximum).

Supposer que chaque parabole coupe l'axe des x

Pourquoi c'est faux: Toutes les fonctions quadratiques n'ont pas de racines réelles. Le discriminant détermine cela.

Correct: Vérifie Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac : si Δ>0\Delta > 0, deux racines ; si Δ=0\Delta = 0, une ; si Δ<0\Delta < 0, aucune.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-4-202468-10-50510xy(1 ; 0)(3 ; 0)(2 ; -1)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

  • Axe de symétrie x = 2
  • Δ = b² − 4ac = 4
f(x) = ax² + bx + c
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (1 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (3 ; 0)
  • Sommet : (2 ; -1)

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

x^2 - 4x + 3

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Pour la fonction f(x)=2x2+3x−5f(x) = 2x^2 + 3x - 5, quelle est la valeur du coefficient aa ?

Pourquoi c'est important

Les fonctions quadratiques apparaissent partout dans le monde réel :
  • Physique : La trajectoire d'une balle lancée suit une parabole à cause de la gravité
  • Ingénierie : Les antennes paraboliques et les phares de voiture utilisent des formes paraboliques pour concentrer les signaux et la lumière
  • Affaires : Les modèles de revenus et de profits impliquent souvent des fonctions quadratiques
  • Architecture : Les arches et les ponts utilisent des courbes paraboliques pour la résistance structurelle
  • Sports : La trajectoire d'un tir de basketball, d'une balle de golf ou d'un coup de pied au football est parabolique
Comprendre les paraboles t'aide à analyser le mouvement des projectiles, optimiser des conceptions et résoudre des problèmes réels !

Applications dans le monde réel

Mouvement des projectiles

Lorsque tu lances une balle, sa hauteur au fil du temps suit une trajectoire parabolique à cause de la gravité.

Exemple:

Une balle lancée vers le haut a une hauteur h(t)=−5t2+20t+1,5h(t) = -5t^2 + 20t + 1,5 mètres après tt secondes. Le sommet donne la hauteur maximale, et la racine positive donne quand elle atterrit.

1Essaie par toi-même

Un ballon de football est frappe avec une hauteur modélisée par h(t)=−4,9t2+14,7th(t) = -4,9t^2 + 14,7t mètres.

Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve quand le ballon atteint sa hauteur maximale en utilisant t=−b2at = -\frac{b}{2a} :

Revenus d'entreprise

Les entreprises utilisent des fonctions quadratiques pour modéliser comment les changements de prix affectent les revenus.

Exemple:

Si les revenus d'une entreprise sont R(p)=−2p2+100pR(p) = -2p^2 + 100p où pp est le prix en euros, le sommet montre le prix qui maximise les revenus.

2Essaie par toi-même

Les revenus quotidiens d'un café sont modélisés par R(p)=−50p2+400pR(p) = -50p^2 + 400p euros, où pp est le prix par tasse.

Quel prix maximise les revenus quotidiens ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise la formule du sommet pour trouver le prix optimal :

Points clés

  • 1Une fonction quadratique a la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c où a≠0a \neq 0
  • 2Le graphique est une parabole : en forme de U si a>0a > 0, U inversé si a<0a < 0
  • 3L'axe de symétrie est la ligne verticale x=−b2ax = -\frac{b}{2a}
  • 4Le sommet est à (−b2a,f(−b2a))\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) - soit un minimum soit un maximum
  • 5L'ordonnée à l'origine est (0,c)(0, c)
  • 6Le discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac détermine le nombre de racines

Questions fréquentes

Une fonction quadratique est f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c et produit des sorties pour toute entrée. Une équation quadratique est ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 et on la résout pour trouver des valeurs de x spécifiques (les racines).
Une fonction quadratique est f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c et produit des sorties pour toute entrée. Une équation quadratique est ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 et on la résout pour trouver des valeurs de x spécifiques (les racines).
Le mot vient du grec 'parabole' signifiant 'comparaison' ou 'placer côté à côté'. Il a été nomme par le mathématicien grec Apollonius vers 200 av. J.-C. lors de l'étude des sections coniques.
Oui ! Quand le discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac est négatif, la parabole ne coupe jamais l'axe des x. Par exemple, f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 a son point le plus bas à (0,1)(0, 1), qui est au-dessus de l'axe des x.

Glossaire

Fonction quadratique
Une fonction polynomiale de degré 2 de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c où a≠0a \neq 0
Parabole
La courbe en forme de U qui est le graphique d'une fonction quadratique
Sommet
Le point le plus haut ou le plus bas d'une parabole, situé à (−b2a,f(−b2a))\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)
Axe de symétrie
La ligne verticale x=−b2ax = -\frac{b}{2a} qui divise la parabole en deux moitiés en miroir
Discriminant
La valeur Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac qui détermine le nombre de racines
Racines (zéros)
Les valeurs de x où f(x)=0f(x) = 0, aussi appelées abscisses à l'origine

Carte des formules

Forme standard

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c

La forme générale d'une fonction quadratique

Axe de symétrie

x=−b2ax = -\frac{b}{2a}

Ligne verticale passant par le sommet

Sommet

(−b2a,f(−b2a))\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)

Le point le plus haut ou le plus bas

Discriminant

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

Détermine le nombre de racines

Formule quadratique

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Trouve les racines

Défi du jourUn problème, trois essais