Tracer des fonctions quadratiques (paraboles)
Apprenez à tracer des fonctions quadratiques, à identifier les caractéristiques clés comme le sommet et l'axe de symétrie, et à comprendre comment les coefficients affectent la forme des paraboles.
Définition
| Caractéristique | Description | Formule |
|---|---|---|
| Sommet | Le point le plus haut ou le plus bas | |
| Axe de symétrie | Ligne verticale passant par le sommet | |
| Direction | S'ouvre vers le haut si , vers le bas si | Signe de |
| Ordonnée à l'origine | Où le graphique coupe l'axe des y | |
| Racines (zéros) | Où le graphique coupe l'axe des x | Résoudre |
Essaie tout de suite
Exemples résolus
Tracez et identifiez toutes les caracteristiques cles.
Identifier les coefficients
, , → La parabole s'ouvre vers le haut (puisque )
Trouver l'axe de symetrie
→ Axe de symetrie :
Trouver le sommet
→ Sommet :
Trouver l'ordonnee a l'origine
→ Ordonnee a l'origine :
Trouver les racines
→ Racines : et
Placer les points et tracer la parabole
Placer le sommet , l'ordonnee a l'origine , les racines et → Courbe en U s'ouvrant vers le haut
Réponse: La parabole a pour sommet , axe de symetrie , s'ouvre vers le haut, coupe l'axe des x en et , et coupe l'axe des y en .
Erreurs courantes
Oublier le signe negatif lors du calcul de l'axe de symetrie
Pourquoi c'est faux: La formule contient un signe negatif facile a oublier, surtout quand est deja negatif.
Correct: Ecrivez toujours la formule avec le signe negatif d'abord : . Si et , alors .
Confondre le sommet avec l'ordonnee a l'origine
Pourquoi c'est faux: L'ordonnee a l'origine est souvent plus facile a trouver, mais ce n'est pas le sommet sauf si l'axe de symetrie est .
Correct: Le sommet est a . Calculez d'abord la coordonnee x, puis substituez pour trouver la coordonnee y.
Penser que toutes les paraboles s'ouvrent vers le haut
Pourquoi c'est faux: Beaucoup d'eleves oublient que le signe de determine la direction.
Correct: Verifiez toujours le signe de d'abord : s'ouvre vers le haut (minimum), s'ouvre vers le bas (maximum).
Supposer que chaque parabole coupe l'axe des x
Pourquoi c'est faux: Toutes les fonctions quadratiques n'ont pas de racines reelles. Le discriminant determine cela.
Correct: Verifiez : si , deux racines ; si , une ; si , aucune.
Visuel interactif
Explorateur de fonction lineaire
| x | y |
|---|---|
| -2 | -2 |
| -1 | -1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
Bac à sable interactif
Grapheur interactif
Essayez ces exemples:
y = 2x + 1
m=2, b=1
Calculateur d'expressions
Essayez ceux-ci:
Historique
Aucun calcul encore
Exercices pratiques
16 exercicesPour la fonction , quelle est la valeur du coefficient ?
Pourquoi c'est important
- Physique : La trajectoire d'une balle lancée suit une parabole à cause de la gravité
- Ingénierie : Les antennes paraboliques et les phares de voiture utilisent des formes paraboliques pour concentrer les signaux et la lumière
- Affaires : Les modèles de revenus et de profits impliquent souvent des fonctions quadratiques
- Architecture : Les arches et les ponts utilisent des courbes paraboliques pour la résistance structurelle
- Sports : La trajectoire d'un tir de basketball, d'une balle de golf ou d'un coup de pied au football est parabolique
Applications dans le monde réel
Mouvement des projectiles
Lorsque vous lancez une balle, sa hauteur au fil du temps suit une trajectoire parabolique a cause de la gravite.
Exemple:
Une balle lancee vers le haut a une hauteur metres apres secondes. Le sommet donne la hauteur maximale, et la racine positive donne quand elle atterrit.
Un ballon de football est frappe avec une hauteur modelisee par metres.
Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Trouvez quand le ballon atteint sa hauteur maximale en utilisant :
Revenus d'entreprise
Les entreprises utilisent des fonctions quadratiques pour modeliser comment les changements de prix affectent les revenus.
Exemple:
Si les revenus d'une entreprise sont ou est le prix en euros, le sommet montre le prix qui maximise les revenus.
Les revenus quotidiens d'un cafe sont modelises par euros, ou est le prix par tasse.
Quel prix maximise les revenus quotidiens ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Utilisez la formule du sommet pour trouver le prix optimal :
Points clés
- 1Une fonction quadratique a la forme ou
- 2Le graphique est une parabole : en forme de U si , U inverse si
- 3L'axe de symetrie est la ligne verticale
- 4Le sommet est a - soit un minimum soit un maximum
- 5L'ordonnee a l'origine est
- 6Le discriminant determine le nombre de racines
Questions fréquentes
Glossaire
- Fonction quadratique
- Une fonction polynomiale de degre 2 de la forme ou
- Parabole
- La courbe en forme de U qui est le graphique d'une fonction quadratique
- Sommet
- Le point le plus haut ou le plus bas d'une parabole, situe a
- Axe de symetrie
- La ligne verticale qui divise la parabole en deux moities en miroir
- Discriminant
- La valeur qui determine le nombre de racines
- Racines (zeros)
- Les valeurs de x ou , aussi appelees abscisses a l'origine
Carte des formules
Forme standard
La forme generale d'une fonction quadratique
Axe de symetrie
Ligne verticale passant par le sommet
Sommet
Le point le plus haut ou le plus bas
Discriminant
Determine le nombre de racines
Formule quadratique
Trouve les racines