Tracer une parabole simple

Trace $f(x) = x^2 - 4x + 3$ et identifie toutes les caractéristiques clés.

Identifier les coefficients: $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$ = La parabole s'ouvre vers le haut (puisque $a > 0$)

Trouver l'axe de symétrie: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$ = Axe de symétrie : $x = 2$

Trouver le sommet: $f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$ = Sommet : $(2, -1)$

Trouver l'ordonnée à l'origine: $f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3$ = Ordonnée à l'origine : $(0, 3)$

Trouver les racines: $x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0$ = Racines : $(1, 0)$ et $(3, 0)$

Placer les points et tracer la parabole: Placer le sommet $(2, -1)$, l'ordonnée à l'origine $(0, 3)$, les racines $(1, 0)$ et $(3, 0)$ = Courbe en U s'ouvrant vers le haut

Answer: La parabole a pour sommet $(2, -1)$, axe de symétrie $x = 2$, s'ouvre vers le haut, coupe l'axe des x en $x = 1$ et $x = 3$, et coupe l'axe des y en $y = 3$.

Parabole s'ouvrant vers le bas

Trace $f(x) = -x^2 + 2x + 8$ et trouve la valeur maximale.

Identifier les coefficients: $a = -1$, $b = 2$, $c = 8$ = La parabole s'ouvre vers le bas (puisque $a < 0$)

Trouver l'axe de symétrie: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$ = Axe de symétrie : $x = 1$

Trouver le sommet (point maximum): $f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$ = Sommet : $(1, 9)$ - c'est le maximum

Trouver l'ordonnée à l'origine: $f(0) = -(0)^2 + 2(0) + 8 = 8$ = Ordonnée à l'origine : $(0, 8)$

Trouver les racines: $-x^2 + 2x + 8 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0$ = Racines : $(4, 0)$ et $(-2, 0)$

Answer: La parabole s'ouvre vers le bas avec un sommet à $(1, 9)$, qui est la valeur maximale de la fonction. Elle coupe l'axe des x en $x = -2$ et $x = 4$.

Utiliser le discriminant

Sans tracer, détermine combien de racines $f(x) = x^2 - 6x + 9$ possède.

Identifier les coefficients: $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$ = Prêt à calculer le discriminant

Calculer le discriminant: $\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$ = $\Delta = 0$

Interpréter le discriminant: $\Delta = 0$ signifie exactement une racine (le sommet touche l'axe des x) = Une racine (racine double)

Trouver la racine: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ = La parabole touche l'axe des x en $(3, 0)$

Answer: La fonction a exactement une racine en $x = 3$. La parabole touche l'axe des x à son sommet - on appelle cela une "racine double".

Mistake: Oublier le signe négatif lors du calcul de l'axe de symétrie

Why: La formule $x = -\frac{b}{2a}$ contient un signe négatif facile à oublier, surtout quand $b$ est déjà négatif.

Correct: Écris toujours la formule avec le signe négatif d'abord : $x = -\frac{b}{2a}$. Si $b = -4$ et $a = 1$, alors $x = -\frac{-4}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Mistake: Confondre le sommet avec l'ordonnée à l'origine

Why: L'ordonnée à l'origine $(0, c)$ est souvent plus facile à trouver, mais ce n'est pas le sommet sauf si l'axe de symétrie est $x = 0$.

Correct: Le sommet est à $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$. Calcule d'abord la coordonnée x, puis substitue pour trouver la coordonnée y.

Mistake: Penser que toutes les paraboles s'ouvrent vers le haut

Why: Beaucoup d'élèves oublient que le signe de $a$ détermine la direction.

Correct: Vérifie toujours le signe de $a$ d'abord : $a > 0$ s'ouvre vers le haut (minimum), $a < 0$ s'ouvre vers le bas (maximum).

Mistake: Supposer que chaque parabole coupe l'axe des x

Why: Toutes les fonctions quadratiques n'ont pas de racines réelles. Le discriminant détermine cela.

Correct: Vérifie $\Delta = b^2 - 4ac$ : si $\Delta > 0$, deux racines ; si $\Delta = 0$, une ; si $\Delta < 0$, aucune.

Mouvement des projectiles

Lorsque tu lances une balle, sa hauteur au fil du temps suit une trajectoire parabolique à cause de la gravité.

Une balle lancée vers le haut a une hauteur $h(t) = -5t^2 + 20t + 1,5$ mètres après $t$ secondes. Le sommet donne la hauteur maximale, et la racine positive donne quand elle atterrit.

Revenus d'entreprise

Les entreprises utilisent des fonctions quadratiques pour modéliser comment les changements de prix affectent les revenus.

Si les revenus d'une entreprise sont $R(p) = -2p^2 + 100p$ où $p$ est le prix en euros, le sommet montre le prix qui maximise les revenus.

Q: Quelle est la différence entre une fonction quadratique et une équation quadratique ?

A: Une fonction quadratique est $f(x) = ax^2 + bx + c$ et produit des sorties pour toute entrée. Une équation quadratique est $ax^2 + bx + c = 0$ et on la résout pour trouver des valeurs de x spécifiques (les racines).

Q: Pourquoi l'appelle-t-on une parabole ?

A: Le mot vient du grec 'parabole' signifiant 'comparaison' ou 'placer côté à côté'. Il a été nomme par le mathématicien grec Apollonius vers 200 av. J.-C. lors de l'étude des sections coniques.

Q: Une parabole peut-elle n'avoir aucune racine ?

A: Oui ! Quand le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est négatif, la parabole ne coupe jamais l'axe des x. Par exemple, $f(x) = x^2 + 1$ a son point le plus bas à $(0, 1)$, qui est au-dessus de l'axe des x.