Tracer une parabole simple

Tracez $f(x) = x^2 - 4x + 3$ et identifiez toutes les caracteristiques cles.

Identifier les coefficients: $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$ = La parabole s'ouvre vers le haut (puisque $a > 0$)

Trouver l'axe de symetrie: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$ = Axe de symetrie : $x = 2$

Trouver le sommet: $f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$ = Sommet : $(2, -1)$

Trouver l'ordonnee a l'origine: $f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3$ = Ordonnee a l'origine : $(0, 3)$

Trouver les racines: $x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0$ = Racines : $(1, 0)$ et $(3, 0)$

Placer les points et tracer la parabole: Placer le sommet $(2, -1)$, l'ordonnee a l'origine $(0, 3)$, les racines $(1, 0)$ et $(3, 0)$ = Courbe en U s'ouvrant vers le haut

Answer: La parabole a pour sommet $(2, -1)$, axe de symetrie $x = 2$, s'ouvre vers le haut, coupe l'axe des x en $x = 1$ et $x = 3$, et coupe l'axe des y en $y = 3$.

Parabole s'ouvrant vers le bas

Tracez $f(x) = -x^2 + 2x + 8$ et trouvez la valeur maximale.

Identifier les coefficients: $a = -1$, $b = 2$, $c = 8$ = La parabole s'ouvre vers le bas (puisque $a < 0$)

Trouver l'axe de symetrie: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$ = Axe de symetrie : $x = 1$

Trouver le sommet (point maximum): $f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$ = Sommet : $(1, 9)$ - c'est le maximum

Trouver l'ordonnee a l'origine: $f(0) = -(0)^2 + 2(0) + 8 = 8$ = Ordonnee a l'origine : $(0, 8)$

Trouver les racines: $-x^2 + 2x + 8 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0$ = Racines : $(4, 0)$ et $(-2, 0)$

Answer: La parabole s'ouvre vers le bas avec un sommet a $(1, 9)$, qui est la valeur maximale de la fonction. Elle coupe l'axe des x en $x = -2$ et $x = 4$.

Utiliser le discriminant

Sans tracer, determinez combien de racines $f(x) = x^2 - 6x + 9$ possede.

Identifier les coefficients: $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$ = Pret a calculer le discriminant

Calculer le discriminant: $\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$ = $\Delta = 0$

Interpreter le discriminant: $\Delta = 0$ signifie exactement une racine (le sommet touche l'axe des x) = Une racine (racine double)

Trouver la racine: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ = La parabole touche l'axe des x en $(3, 0)$

Answer: La fonction a exactement une racine en $x = 3$. La parabole touche l'axe des x a son sommet - on appelle cela une "racine double".

Mistake: Oublier le signe negatif lors du calcul de l'axe de symetrie

Why: La formule $x = -\frac{b}{2a}$ contient un signe negatif facile a oublier, surtout quand $b$ est deja negatif.

Correct: Ecrivez toujours la formule avec le signe negatif d'abord : $x = -\frac{b}{2a}$. Si $b = -4$ et $a = 1$, alors $x = -\frac{-4}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Mistake: Confondre le sommet avec l'ordonnee a l'origine

Why: L'ordonnee a l'origine $(0, c)$ est souvent plus facile a trouver, mais ce n'est pas le sommet sauf si l'axe de symetrie est $x = 0$.

Correct: Le sommet est a $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$. Calculez d'abord la coordonnee x, puis substituez pour trouver la coordonnee y.

Mistake: Penser que toutes les paraboles s'ouvrent vers le haut

Why: Beaucoup d'eleves oublient que le signe de $a$ determine la direction.

Correct: Verifiez toujours le signe de $a$ d'abord : $a > 0$ s'ouvre vers le haut (minimum), $a < 0$ s'ouvre vers le bas (maximum).

Mistake: Supposer que chaque parabole coupe l'axe des x

Why: Toutes les fonctions quadratiques n'ont pas de racines reelles. Le discriminant determine cela.

Correct: Verifiez $\Delta = b^2 - 4ac$ : si $\Delta > 0$, deux racines ; si $\Delta = 0$, une ; si $\Delta < 0$, aucune.

Mouvement des projectiles

Lorsque vous lancez une balle, sa hauteur au fil du temps suit une trajectoire parabolique a cause de la gravite.

Une balle lancee vers le haut a une hauteur $h(t) = -5t^2 + 20t + 1,5$ metres apres $t$ secondes. Le sommet donne la hauteur maximale, et la racine positive donne quand elle atterrit.

Revenus d'entreprise

Les entreprises utilisent des fonctions quadratiques pour modeliser comment les changements de prix affectent les revenus.

Si les revenus d'une entreprise sont $R(p) = -2p^2 + 100p$ ou $p$ est le prix en euros, le sommet montre le prix qui maximise les revenus.

Q: Quelle est la difference entre une fonction quadratique et une equation quadratique ?

A: Une fonction quadratique est $f(x) = ax^2 + bx + c$ et produit des sorties pour toute entree. Une equation quadratique est $ax^2 + bx + c = 0$ et on la resout pour trouver des valeurs de x specifiques (les racines).

Q: Pourquoi l'appelle-t-on une parabole ?

A: Le mot vient du grec 'parabole' signifiant 'comparaison' ou 'placer cote a cote'. Il a ete nomme par le mathematicien grec Apollonius vers 200 av. J.-C. lors de l'etude des sections coniques.

Q: Une parabole peut-elle n'avoir aucune racine ?

A: Oui ! Quand le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est negatif, la parabole ne coupe jamais l'axe des x. Par exemple, $f(x) = x^2 + 1$ a son point le plus bas a $(0, 1)$, qui est au-dessus de l'axe des x.