Algèbre de Boole

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle loi dit que $A \land \neg A = 0$ ?
1. a)Loi du complément
2. b)Loi d'idempotence
3. c)Loi d'absorption
4. d)Loi de l'élément neutre
Réponse: Loi du complément
La loi du complément : une variable ET sa propre négation vaut toujours 0, car $A$ et $\neg A$ ne sont jamais vrais en même temps. Sa forme OU est $A \lor \neg A = 1$ .
2.
Que vaut $A \lor 1$ , quelle que soit la valeur de $A$ ? Écris 1 pour vrai ou 0 pour faux.
Réponse: 1
Loi de l'élément absorbant : $A \lor 1 = 1$ . Si $A = 0$ , alors $0 \lor 1 = 1$ ; si $A = 1$ , alors $1 \lor 1 = 1$ .
3.
Simplifie $(A \lor 0) \land (B \lor 1)$ et vérifie deux lignes.
Réponse: 0
1. D'après la loi de l'élément absorbant, $B \lor 1$ est une constante. Laquelle ? Écris 0 ou 1. 1
2. L'expression vaut donc $A \land 1 = A$ . Vérification : que vaut l'expression de départ pour $A = 1$ , $B = 0$ ? 1
3. Et pour $A = 0$ , $B = 0$ ? 0
4.
$A \lor A$ se simplifie en :
1. a) $2A$
2. b) $A$
3. c) $\neg A$
4. d) $A^2$
Réponse: $A$
Idempotence : $A \lor A = A$ , car $0 \lor 0 = 0$ et $1 \lor 1 = 1$ . $2A$ et $A^2$ viennent de l'algèbre ordinaire et ne s'appliquent pas ici.
5.
Simplifie $\neg\neg A \land 0$ . Le résultat est une constante : écris 0 ou 1.
Réponse: 0
La double négation donne $\neg\neg A = A$ , et la loi de l'élément absorbant donne $A \land 0 = 0$ . La valeur de $A$ n'a pas d'importance.
6.
Vérifie la loi de De Morgan $\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$ pour $A = 1$ et $B = 0$ .
Réponse: 1
1. Que vaut $A \land B$ ? 0
2. Que vaut donc $\neg(A \land B)$ ? 1
3. Que vaut $\neg A$ ? 0
4. Que vaut $\neg A \lor \neg B$ ? 1
7.
Quelle expression est équivalente à $\neg(A \lor B)$ ?
1. a) $\neg A \land \neg B$
2. b) $A \land B$
3. c) $\neg A \lor \neg B$
4. d) $\neg A \lor B$
Réponse: $\neg A \land \neg B$
Loi de De Morgan : $\neg(A \lor B) = \neg A \land \neg B$ . NON (A OU B) n'est vrai que si aucun des deux n'est vrai. $\neg A \lor \neg B$ est au contraire la négation de $A \land B$ .
8.
Quelle expression est égale à $A \lor (B \land C)$ ?
1. a) $A \land (B \lor C)$
2. b) $(A \lor B) \land C$
3. c) $(A \lor B) \land (A \lor C)$
4. d) $(A \land B) \lor (A \land C)$
Réponse: $(A \lor B) \land (A \lor C)$
Distributivité (OU sur ET) : $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ . Vérifie $A = 1$ : les deux membres valent 1. Vérifie $A = 0$ : les deux membres valent $B \land C$ .
9.
Quelle est la valeur de $\neg(A \land \neg B)$ pour $A = 1$ et $B = 0$ ? Écris 0 ou 1.
Réponse: 0
$\neg B = 1$ , donc $A \land \neg B = 1 \land 1 = 1$ et $\neg 1 = 0$ . Avec De Morgan : $\neg A \lor B = 0 \lor 0 = 0$ , la même valeur.
10.
$(A \land B) \lor (A \land \neg B)$ se simplifie en $A$ . En comptant une porte pour chaque $\land$ , $\lor$ et $\neg$ , combien de portes la simplification économise-t-elle ?
Réponse: 4
Départ : deux ET, un NON et un OU, donc 4 portes. $A$ demande 0 porte. Économie : $4 - 0 = 4$ .
11.
Vérifie la loi d'absorption $A \land (A \lor B) = A$ ligne par ligne.
Réponse: 2
1. Pour $A = 0$ , que vaut $A \land (A \lor B)$ , quel que soit $B$ ? 0
2. Pour $A = 1$ et $B = 0$ , que vaut $A \land (A \lor B)$ ? 1
3. Et pour $A = 1$ et $B = 1$ ? 1
4. Sur combien des 4 lignes $A \land (A \lor B)$ est-il vrai ? 2
12.
Simplifie $(A \lor B) \land (A \lor \neg B)$ et vérifie le résultat.
Réponse: 2
1. La distributivité donne $A \lor (B \land \neg B)$ . Quelle constante vaut $B \land \neg B$ ? Écris 0 ou 1. 0
2. L'expression vaut donc $A \lor 0 = A$ . Vérifie la ligne $A = 0$ , $B = 1$ : que vaut l'expression de départ ? 0
3. Vérifie la ligne $A = 1$ , $B = 0$ : 1
4. Sur combien des 4 lignes l'expression de départ est-elle vraie ? 2
13.
Simplifie $\neg(A \lor \neg B)$ avec la loi de De Morgan.
Réponse: 1
1. La loi de De Morgan donne $\neg A \land \neg\neg B$ . Combien de signes $\neg$ contient cette forme ? 3
2. Après la double négation, l'expression est $\neg A \land B$ . Combien de signes $\neg$ reste-t-il ? 1
3. $\neg A \land B$ n'est vraie que sur une ligne. Que vaut $A$ sur cette ligne ? Écris 0 ou 1. 0
4. Et que vaut $B$ sur cette ligne ? 1
14.
Quelle expression n'est PAS équivalente à $A$ ?
1. a) $(A \lor B) \land (A \lor \neg B)$
2. b) $A \lor (A \land B)$
3. c) $A \land (A \lor B)$
4. d) $A \lor (\neg A \land B)$
Réponse: $A \lor (\neg A \land B)$
Les deux premières sont les lois d'absorption, et $(A \lor B) \land (A \lor \neg B) = A \lor (B \land \neg B) = A$ . Mais $A \lor (\neg A \land B) = (A \lor \neg A) \land (A \lor B) = A \lor B$ , qui vaut 1 pour $A = 0$ , $B = 1$ .
15.
Sur combien des 4 lignes $(A \lor B) \land (A \lor \neg B) \land (\neg A \lor B)$ est-elle vraie ?
Réponse: 1
$(A \lor B) \land (A \lor \neg B) = A$ . Ensuite $A \land (\neg A \lor B) = (A \land \neg A) \lor (A \land B) = 0 \lor (A \land B) = A \land B$ , qui n'est vraie que sur la ligne $A = 1$ , $B = 1$ .
16.
Simplifie $\neg(A \land B) \land (A \lor \neg B)$ et compte les portes économisées.
Réponse: 4
1. De Morgan donne $(\neg A \lor \neg B) \land (A \lor \neg B)$ , et la distributivité donne $\neg B \lor (\neg A \land A)$ . Quelle constante vaut $\neg A \land A$ ? 0
2. L'expression vaut donc $\neg B \lor 0 = \neg B$ . Vérifie $A = 1$ , $B = 1$ : que vaut l'expression de départ ? 0
3. Vérifie $A = 0$ , $B = 0$ : 1
4. En comptant une porte pour chaque $\land$ , $\lor$ et $\neg$ , combien de portes utilise l'expression de départ ? 5
5. Combien de portes économise-t-on en utilisant $\neg B$ à la place ? 4
17.
Simplifie $A \lor (\neg A \land B)$ .
Réponse: 3
1. La distributivité donne $(A \lor \neg A) \land (A \lor B)$ . Quelle constante vaut $A \lor \neg A$ ? 1
2. L'expression vaut donc $1 \land (A \lor B) = A \lor B$ . Vérifie $A = 0$ , $B = 1$ : que vaut l'expression de départ ? 1
3. Sur combien des 4 lignes $A \lor B$ est-elle vraie ? 3
18.
Simplifie $(A \land B) \lor (A \land \neg B \land C)$ et compte les lignes où elle est vraie.
Réponse: 3
1. Factoriser $A$ donne $A \land (B \lor (\neg B \land C))$ , et la distributivité transforme la parenthèse en $(B \lor \neg B) \land (B \lor C)$ . Quelle constante vaut $B \lor \neg B$ ? 1
2. L'expression vaut donc $A \land (B \lor C)$ . En comptant une porte pour chaque $\land$ , $\lor$ et $\neg$ , combien de portes utilise-t-elle ? 2
3. Une table pour $A$ , $B$ et $C$ a 8 lignes. Sur combien d'entre elles a-t-on $A = 1$ ? 4
4. Parmi ces lignes, $B \lor C$ n'est fausse que pour $B = 0$ et $C = 0$ . Sur combien de lignes l'expression est-elle vraie ? 3