Expressions booléennes

Une **expression booléenne** est une formule construite avec des **variables booléennes** (des lettres comme $A$, $B$, $C$), les valeurs $1$ (vrai) et $0$ (faux) et les opérateurs ET ($\land$), OU ($\lor$) et NON ($\neg$). Comme $3 + 4 \times 2$ en arithmétique, une expression booléenne a une seule valeur, mais cette valeur est toujours $1$ ou $0$. **Les trois opérateurs avec 1 et 0 :** - $\neg A$ inverse la valeur : $\neg 1 = 0$ et $\neg 0 = 1$ - $A \land B$ vaut $1$ seulement quand $A$ et $B$ valent tous les deux $1$ - $A \lor B$ vaut $1$ quand au moins l'un des deux vaut $1$ **Priorité des opérateurs :** d'abord les parenthèses, puis NON, puis ET, puis OU. $$(\;) \;\to\; \neg \;\to\; \land \;\to\; \lor$$ Ainsi, $A \lor B \land C$ signifie $A \lor (B \land C)$, et $\neg A \land B$ signifie $(\neg A) \land B$. **Exemple :** évalue $A \lor B \land \neg C$ pour $A = 0$, $B = 1$, $C = 0$ : $$0 \lor 1 \land \neg 0 = 0 \lor 1 \land 1 = 0 \lor 1 = 1$$ Une expression à $n$ variables a $2^n$ combinaisons d'entrées. Sa **table de vérité** donne la valeur de l'expression pour chacune d'elles, en commençant par la ligne où toutes les variables valent $0$. Deux expressions sont **équivalentes** quand leurs colonnes finales sont identiques à chaque ligne. (La leçon Tables de vérité commençait plutôt par la ligne où tout est vrai ; tout ordre fixe convient. Les tables de vérité interactives de cette leçon utilisent aussi $1$ et $0$.)

Évaluer avec 1 et 0

Évalue $A \land \neg B$ pour $A = 1$ et $B = 0$.

Remplacer les variables: Remplace $A$ par $1$ et $B$ par $0$ = $1 \land \neg 0$

D'abord NON: $\neg 0 = 1$ = $1 \land 1$

Ensuite ET: Les deux valeurs valent $1$, donc ET donne $1$ = $1$

Answer: $A \land \neg B = 1$ (vrai) pour $A = 1$, $B = 0$.

ET avant OU

Évalue $A \lor B \land C$ pour $A = 1$, $B = 0$, $C = 0$.

Remplacer les variables: Remplace chaque lettre par sa valeur = $1 \lor 0 \land 0$

ET avant OU: $0 \land 0 = 0$ = $1 \lor 0$

Ensuite OU: Au moins une valeur vaut $1$ = $1$

Comparer avec un calcul de gauche à droite: De gauche à droite, on obtiendrait $(1 \lor 0) \land 0 = 1 \land 0 = 0$ = Un résultat différent et faux

Answer: $A \lor B \land C = 1$. Un calcul de gauche à droite donne $0$, ce qui est faux, car ET passe avant OU.

Les parenthèses changent le résultat

Évalue $\neg(A \land B)$ et $\neg A \land B$ pour $A = 0$ et $B = 0$.

Première expression : d'abord la parenthèse: $A \land B = 0 \land 0 = 0$ = $\neg(0)$

Puis NON: $\neg 0 = 1$ = $\neg(A \land B) = 1$

Deuxième expression : NON s'applique seulement à $A$: $\neg A = \neg 0 = 1$ = $1 \land B$

Puis ET: $1 \land 0 = 0$ = $\neg A \land B = 0$

Answer: $\neg(A \land B) = 1$ mais $\neg A \land B = 0$. Les parenthèses décident à quoi s'applique NON.

Une table de vérité complète et l'équivalence

Construis la table de vérité de $A \lor \neg A \land B$ et compare-la avec $A \lor B$.

Compter les lignes: 2 variables, donc $2^2 = 4$ lignes = $AB$ : 00, 01, 10, 11

Colonne auxiliaire $\neg A$: Inverser $A$ : 0, 0, 1, 1 = $\neg A$ : 1, 1, 0, 0

Colonne auxiliaire $\neg A \land B$ (ET avant OU): $\neg A$ : 1, 1, 0, 0 ET $B$ : 0, 1, 0, 1 = 0, 1, 0, 0

Colonne finale $A \lor (\neg A \land B)$: $A$ : 0, 0, 1, 1 OU 0, 1, 0, 0 = 0, 1, 1, 1

Colonne de $A \lor B$ et comparaison: $A \lor B$ : 0, 1, 1, 1 = Identiques sur les 4 lignes

Answer: Les deux colonnes finales sont 0, 1, 1, 1, donc $A \lor \neg A \land B$ et $A \lor B$ sont équivalentes : l'expression la plus courte fait le même travail.

Trois variables : où placer les parenthèses

Construis les tables de vérité de $A \land (B \lor C)$ et de $A \land B \lor C$. Sont-elles équivalentes ?

Compter les lignes: 3 variables, donc $2^3 = 8$ lignes : 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 = 8 lignes

Colonne auxiliaire $B \lor C$: $B \lor C$ vaut $0$ seulement quand $B = C = 0$ = 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1

Colonne finale $A \land (B \lor C)$: $A$ vaut $1$ seulement dans les 4 dernières lignes = 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1

Colonne finale $A \land B \lor C = (A \land B) \lor C$: $A \land B$ : 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1. OU avec $C$ : 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 = 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1

Comparer les colonnes: Elles diffèrent à la ligne 2 (001) et à la ligne 4 (011) = Pas équivalentes

Answer: Les expressions ne sont pas équivalentes : pour $A = 0$, $B = 0$, $C = 1$, la première donne $0$ et la seconde donne $1$. Une seule ligne différente suffit.

Les expressions booléennes sont le langage que les ordinateurs utilisent pour prendre des décisions : - **Programmation** : chaque condition if est une expression booléenne, par exemple (au moins 12 ans ET NON exclu) OU accompagné d'un parent. Si tu oublies les parenthèses, le programme laisse entrer les mauvaises personnes - **Recherche et filtres** : les boutiques en ligne et les bibliothèques combinent des filtres comme en stock ET (rouge OU bleu) - **Tableurs** : des fonctions comme ET(), OU() et NON() décident quelles lignes sont mises en couleur - **Électronique** : chaque puce transforme des expressions booléennes en circuits de portes logiques, comme tu le verras dans la leçon Portes logiques - **Jeux et maison connectée** : une porte s'ouvre ou une lampe s'allume quand une expression de plusieurs capteurs vaut 1 Si tu connais la priorité des opérateurs et sais construire une table de vérité, tu peux prévoir exactement ce que fait une règle dans chaque situation possible.

Mistake: Calculer de gauche à droite : $1 \lor 0 \land 0 = (1 \lor 0) \land 0 = 0$

Why: ET passe avant OU, comme la multiplication passe avant l'addition. Sans parenthèses, la partie ET se calcule en premier.

Correct: $1 \lor 0 \land 0 = 1 \lor (0 \land 0) = 1 \lor 0 = 1$

Mistake: Appliquer NON à tout ce qui suit : lire $\neg A \land B$ comme $\neg(A \land B)$

Why: Sans parenthèses, NON s'applique seulement à la variable juste après lui.

Correct: $\neg A \land B = (\neg A) \land B$. Pour nier tout le ET, écris $\neg(A \land B)$.

Mistake: Additionner comme des nombres : $1 \lor 1 = 2$

Why: Une expression booléenne ne peut valoir que $1$ ou $0$. OU demande si au moins une valeur vaut $1$, il ne les compte pas.

Correct: $1 \lor 1 = 1$, $1 \land 1 = 1$ et $\neg 1 = 0$. Le résultat est toujours $1$ ou $0$.

Mistake: Déclarer deux expressions équivalentes après avoir testé seulement une ou deux entrées

Why: $A \land (B \lor C)$ et $A \land B \lor C$ ont la même valeur sur 6 des 8 lignes, et pourtant elles sont différentes.

Correct: Construis la table complète avec $2^n$ lignes et compare chaque ligne. Une ligne différente signifie : pas équivalentes.

Les règles d'un programme

Les programmeurs écrivent des règles sous forme d'expressions booléennes et testent chaque combinaison d'entrées avant la mise en ligne du programme.

Un manège de parc d'attractions te laisse monter si $T \land (H \lor P)$ : $T$ = tu as un billet, $H$ = tu es assez grand, $P$ = un parent monte avec toi.

Les filtres anti-spam

Une messagerie décide grâce à une expression booléenne si un message va dans le dossier spam.

Un filtre classe un e-mail comme spam si $L \lor S \land \neg K$ : $L$ = l'expéditeur est sur une liste noire, $S$ = mots suspects, $K$ = l'expéditeur est dans tes contacts.

Les règles de la maison connectée

Deux expressions différentes peuvent commander un appareil exactement de la même façon. Une table de vérité montre quand une règle longue peut être remplacée par une règle courte.

Une lampe de jardin utilise la règle $M \lor M \land N$ : $M$ = mouvement détecté, $N$ = il fait nuit.

Une expression booléenne combine des variables, les valeurs 1 (vrai) et 0 (faux) et les opérateurs $\land$, $\lor$, $\neg$

La valeur d'une expression booléenne est toujours 1 ou 0, jamais 2 ou plus

Priorité des opérateurs : d'abord les parenthèses, puis NON, puis ET, puis OU

NON s'applique seulement à ce qui le suit directement : $\neg A \land B$ n'est pas $\neg(A \land B)$

Une expression à $n$ variables a une table de vérité de $2^n$ lignes, en commençant par la ligne où toutes les variables valent 0

Deux expressions sont équivalentes quand leurs colonnes finales sont identiques à chaque ligne

Q: Pourquoi ET passe-t-il avant OU ?

A: C'est une convention, comme la multiplication avant l'addition. Avec 0 et 1, ET se comporte comme la multiplication ($1 \times 0 = 0$), et OU est souvent comparé à l'addition, donc le même ordre paraît naturel.

Q: Est-ce que je peux mettre des parenthèses partout ?

A: Oui. Des parenthèses qui suivent la priorité des opérateurs ne changent jamais la valeur, et elles rendent l'expression plus facile à lire. $A \lor (B \land C)$ est identique à $A \lor B \land C$, mais la première écriture montre l'ordre au premier coup d'œil.

Q: Est-ce que 1 et 0 veulent dire vrai et faux ?

A: Oui. 1 représente vrai et 0 représente faux. Les ordinateurs utilisent 1 et 0 car ils stockent tout sous forme de bits. Les tables interactives de cette leçon utilisent aussi 1 et 0.

Q: Existe-t-il un moyen plus rapide que la table de vérité pour montrer que deux expressions sont équivalentes ?

A: Oui. L'algèbre de Boole possède des lois (comme les lois de De Morgan) qui transforment une expression en une autre étape par étape. Tu les découvriras dans la leçon Algèbre de Boole. Une table de vérité est plus lente, mais elle marche toujours.

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Apprends à écrire et à évaluer des expressions booléennes avec 1 et 0, à appliquer la priorité NON, ET, OU et à construire leur table de vérité complète.

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