Est-ce que je peux mettre des parenthèses partout ?

Oui. Des parenthèses qui suivent la priorité des opérateurs ne changent jamais la valeur, et elles rendent l'expression plus facile à lire. $A \lor (B \land C)$ est identique à $A \lor B \land C$, mais la première écriture montre l'ordre au premier coup d'œil.

Est-ce que 1 et 0 veulent dire vrai et faux ?

Oui. 1 représente vrai et 0 représente faux. Les ordinateurs utilisent 1 et 0 car ils stockent tout sous forme de bits. Les tables interactives de cette leçon utilisent aussi 1 et 0.

Existe-t-il un moyen plus rapide que la table de vérité pour montrer que deux expressions sont équivalentes ?

Oui. L'algèbre de Boole possède des lois (comme les lois de De Morgan) qui transforment une expression en une autre étape par étape. Tu les découvriras dans la leçon Algèbre de Boole. Une table de vérité est plus lente, mais elle marche toujours.

Ressources enseignants

Expressions booléennes

Apprends à écrire et à évaluer des expressions booléennes avec 1 et 0, à appliquer la priorité NON, ET, OU et à construire leur table de vérité complète.

Avancé25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une expression booléenne est une formule construite avec des variables booléennes (des lettres comme

A

B

C

), les valeurs

1

(vrai) et

0

(faux) et les opérateurs ET (

\land

), OU (

\lor

) et NON (

\neg

). Comme

3 + 4 \times 2

en arithmétique, une expression booléenne a une seule valeur, mais cette valeur est toujours

1

0

Les trois opérateurs avec 1 et 0 :

$\neg A$ inverse la valeur : $\neg 1 = 0$ et $\neg 0 = 1$
$A \land B$ vaut $1$ seulement quand $A$ et $B$ valent tous les deux $1$
$A \lor B$ vaut $1$ quand au moins l'un des deux vaut $1$

Priorité des opérateurs : d'abord les parenthèses, puis NON, puis ET, puis OU.

(\;) \;\to\; \neg \;\to\; \land \;\to\; \lor

Ainsi,

A \lor B \land C

signifie

A \lor (B \land C)

, et

\neg A \land B

signifie

(\neg A) \land B

Exemple : évalue

A \lor B \land \neg C

pour

A = 0

B = 1

C = 0

0 \lor 1 \land \neg 0 = 0 \lor 1 \land 1 = 0 \lor 1 = 1

Une expression à

n

variables a

2^n

combinaisons d'entrées. Sa table de vérité donne la valeur de l'expression pour chacune d'elles, en commençant par la ligne où toutes les variables valent

0

. Deux expressions sont équivalentes quand leurs colonnes finales sont identiques à chaque ligne. (La leçon Tables de vérité commençait plutôt par la ligne où tout est vrai ; tout ordre fixe convient. Les tables de vérité interactives de cette leçon utilisent aussi

1

0

Essaie tout de suite

Dans

A \lor B \land \neg C

(sans parenthèses), quelle opération fait-on en premier ?

Exemples résolus

Évalue $A \land \neg B$ pour $A = 1$ et $B = 0$ .

Remplacer les variables

Remplace $A$ par $1$ et $B$ par $0$ → $1 \land \neg 0$

D'abord NON

$\neg 0 = 1$ → $1 \land 1$

Ensuite ET

Les deux valeurs valent $1$ , donc ET donne $1$

Réponse: $A \land \neg B = 1$ (vrai) pour $A = 1$ , $B = 0$ .

Erreurs courantes

Calculer de gauche à droite : $1 \lor 0 \land 0 = (1 \lor 0) \land 0 = 0$

Pourquoi c'est faux: ET passe avant OU, comme la multiplication passe avant l'addition. Sans parenthèses, la partie ET se calcule en premier.

Correct: $1 \lor 0 \land 0 = 1 \lor (0 \land 0) = 1 \lor 0 = 1$

Appliquer NON à tout ce qui suit : lire $\neg A \land B$ comme $\neg(A \land B)$

Pourquoi c'est faux: Sans parenthèses, NON s'applique seulement à la variable juste après lui.

Correct: $\neg A \land B = (\neg A) \land B$ . Pour nier tout le ET, écris $\neg(A \land B)$ .

Additionner comme des nombres : $1 \lor 1 = 2$

Pourquoi c'est faux: Une expression booléenne ne peut valoir que $1$ ou $0$ . OU demande si au moins une valeur vaut $1$ , il ne les compte pas.

Correct: $1 \lor 1 = 1$ , $1 \land 1 = 1$ et $\neg 1 = 0$ . Le résultat est toujours $1$ ou $0$ .

Déclarer deux expressions équivalentes après avoir testé seulement une ou deux entrées

Pourquoi c'est faux: $A \land (B \lor C)$ et $A \land B \lor C$ ont la même valeur sur 6 des 8 lignes, et pourtant elles sont différentes.

Correct: Construis la table complète avec $2^n$ lignes et compare chaque ligne. Une ligne différente signifie : pas équivalentes.

Visuel interactif

Table de vérité

ExpressionA ∨ B ∧ ¬C

A	B	C	¬C	B ∧ ¬C	A ∨ B ∧ ¬C
0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1

1= Vrai0= Faux

Table de vérité

ExpressionA ∨ ¬A ∧ B

A	B	A ∨ ¬A ∧ B
0	0
0	1
1	0
1	1

1= Vrai0= Faux

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Dans $A \lor B \land \neg C$ (sans parenthèses), quelle opération fait-on en premier ?

Pourquoi c'est important

Les expressions booléennes sont le langage que les ordinateurs utilisent pour prendre des décisions :

Programmation : chaque condition if est une expression booléenne, par exemple (au moins 12 ans ET NON exclu) OU accompagné d'un parent. Si tu oublies les parenthèses, le programme laisse entrer les mauvaises personnes
Recherche et filtres : les boutiques en ligne et les bibliothèques combinent des filtres comme en stock ET (rouge OU bleu)
Tableurs : des fonctions comme ET(), OU() et NON() décident quelles lignes sont mises en couleur
Électronique : chaque puce transforme des expressions booléennes en circuits de portes logiques, comme tu le verras dans la leçon Portes logiques
Jeux et maison connectée : une porte s'ouvre ou une lampe s'allume quand une expression de plusieurs capteurs vaut 1

Si tu connais la priorité des opérateurs et sais construire une table de vérité, tu peux prévoir exactement ce que fait une règle dans chaque situation possible.

Applications dans le monde réel

Les règles d'un programme

Les programmeurs écrivent des règles sous forme d'expressions booléennes et testent chaque combinaison d'entrées avant la mise en ligne du programme.

Exemple:

Un manège de parc d'attractions te laisse monter si $T \land (H \lor P)$ : $T$ = tu as un billet, $H$ = tu es assez grand, $P$ = un parent monte avec toi.

1Essaie par toi-même

La règle est $T \land (H \lor P)$ . Un enfant a un billet ( $T = 1$ ), n'est pas assez grand ( $H = 0$ ) et monte avec un parent ( $P = 1$ ).

Combien de cas de test la règle a-t-elle, et l'enfant peut-il monter ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre de cas de test comme une puissance de 2 :

Les filtres anti-spam

Une messagerie décide grâce à une expression booléenne si un message va dans le dossier spam.

Exemple:

Un filtre classe un e-mail comme spam si $L \lor S \land \neg K$ : $L$ = l'expéditeur est sur une liste noire, $S$ = mots suspects, $K$ = l'expéditeur est dans tes contacts.

2Essaie par toi-même

La règle est $L \lor S \land \neg K$ . Un e-mail d'une amie présente dans tes contacts ( $K = 1$ ) contient un mot suspect ( $S = 1$ ), et l'expéditrice n'est pas sur la liste noire ( $L = 0$ ). Avec 0 et 1, ET fonctionne comme la multiplication et NON comme $1 - x$ .

L'e-mail va-t-il dans les spams ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris $S \land \neg K$ sous forme de calcul :

Les règles de la maison connectée

Deux expressions différentes peuvent commander un appareil exactement de la même façon. Une table de vérité montre quand une règle longue peut être remplacée par une règle courte.

Exemple:

Une lampe de jardin utilise la règle $M \lor M \land N$ : $M$ = mouvement détecté, $N$ = il fait nuit.

3Essaie par toi-même

Une ingénieure veut remplacer la règle $M \lor M \land N$ par la règle plus courte $M$ .

Les deux règles allument-elles toujours la lampe de la même façon ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre de lignes comme une puissance de 2 :

Points clés

1Une expression booléenne combine des variables, les valeurs 1 (vrai) et 0 (faux) et les opérateurs $\land$ , $\lor$ , $\neg$
2La valeur d'une expression booléenne est toujours 1 ou 0, jamais 2 ou plus
3Priorité des opérateurs : d'abord les parenthèses, puis NON, puis ET, puis OU
4NON s'applique seulement à ce qui le suit directement : $\neg A \land B$ n'est pas $\neg(A \land B)$
5Une expression à $n$ variables a une table de vérité de $2^n$ lignes, en commençant par la ligne où toutes les variables valent 0
6Deux expressions sont équivalentes quand leurs colonnes finales sont identiques à chaque ligne

Questions fréquentes

C'est une convention, comme la multiplication avant l'addition. Avec 0 et 1, ET se comporte comme la multiplication (

1 \times 0 = 0

), et OU est souvent comparé à l'addition, donc le même ordre paraît naturel.

Glossaire

Variable booléenne: Une lettre comme $A$ , $B$ ou $C$ qui ne peut prendre que les valeurs 1 (vrai) ou 0 (faux)
Expression booléenne: Une formule composée de variables booléennes, des valeurs 1 et 0 et des opérateurs $\land$ , $\lor$ , $\neg$
Priorité des opérateurs: La règle qui dit quel opérateur se calcule en premier : parenthèses, puis NON, puis ET, puis OU
Table de vérité: Un tableau qui donne la valeur d'une expression pour les $2^n$ combinaisons de ses variables
Équivalentes: Deux expressions sont équivalentes quand elles ont la même valeur à chaque ligne de la table de vérité

Carte des formules

Priorité des opérateurs

(\;) \;\to\; \neg \;\to\; \land \;\to\; \lor

D'abord les parenthèses, puis NON, puis ET, puis OU

NON

\neg 0 = 1, \quad \neg 1 = 0

Inverse la valeur de ce qui le suit directement

ET et OU

1 \land 1 = 1, \quad 0 \lor 0 = 0

ET vaut 1 seulement si les deux valent 1 ; OU vaut 0 seulement si les deux valent 0

Nombre de lignes

\text{lignes} = 2^n

$n$ est le nombre de variables : $2^2 = 4$, $2^3 = 8$

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ET et OU

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