Former une contraposée

Écris la contraposée de : "Si un nombre est divisible par $10$, alors il se termine par $0$."

Repère l'hypothèse $p$ et la conclusion $q$: $p$ : un nombre est divisible par $10$. $q$ : il se termine par $0$. = Deux parties trouvées

Nie les deux parties: $\neg p$ : le nombre n'est pas divisible par $10$. $\neg q$ : il ne se termine pas par $0$. = Les deux parties sont niées

Échange l'ordre et écris $\neg q \to \neg p$: Place la conclusion niée en premier et l'hypothèse niée en second. = Si un nombre ne se termine pas par $0$, alors il n'est pas divisible par $10$.

Answer: Si un nombre ne se termine pas par $0$, alors il n'est pas divisible par $10$. Comme l'énoncé de départ, cet énoncé est vrai : par exemple, $73$ ne se termine pas par $0$ et $73 \div 10 = 7{,}3$ n'est pas un nombre entier.

Les quatre énoncés associés

Pars de "Si une figure est un carré, alors elle a quatre angles droits." Écris la réciproque, l'inverse et la contraposée, et décide si chacune est vraie.

Vérifie l'énoncé de départ $p \to q$: Tout carré a quatre angles droits. = Vrai

Réciproque $q \to p$: Si une figure a quatre angles droits, alors c'est un carré. Un rectangle de $3$ sur $5$ a quatre angles droits mais n'est pas un carré. = Faux

Inverse $\neg p \to \neg q$: Si une figure n'est pas un carré, alors elle n'a pas quatre angles droits. Le même rectangle de $3$ sur $5$ est un contre-exemple. = Faux

Contraposée $\neg q \to \neg p$: Si une figure n'a pas quatre angles droits, alors ce n'est pas un carré. = Vrai

Answer: L'énoncé de départ et la contraposée sont vrais, la réciproque et l'inverse sont fausses. Un seul contre-exemple (le rectangle) fait tomber la réciproque et l'inverse en même temps, parce qu'elles sont équivalentes entre elles.

Démontrer l'équivalence avec une table de vérité

Montre que $p \to q$ et $\neg q \to \neg p$ ont la même valeur de vérité dans tous les cas possibles.

Liste toutes les combinaisons de $p$ et $q$: $(V,V)$, $(V,F)$, $(F,V)$, $(F,F)$ = 4 lignes

Remplis $p \to q$: Une implication n'est fausse que si l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse : ligne $(V,F)$. = $V, F, V, V$

Remplis $\neg q$ et $\neg p$: Inverse chaque valeur : $\neg q$ vaut $F, V, F, V$ et $\neg p$ vaut $F, F, V, V$. = Deux colonnes intermédiaires

Remplis $\neg q \to \neg p$: Elle n'est fausse que là où $\neg q$ vaut $V$ et $\neg p$ vaut $F$, ce qui n'arrive que dans la ligne $(V,F)$. = $V, F, V, V$

Compare les deux colonnes: Les deux colonnes donnent $V, F, V, V$. = Identiques dans les 4 lignes

Answer: Les colonnes coïncident à chaque ligne, donc $p \to q \equiv \neg q \to \neg p$. L'énoncé et sa contraposée sont logiquement équivalents.

Utiliser la contraposée sur un nombre

La règle "Si un nombre est divisible par $6$, alors il est divisible par $3$" est vraie. Utilise sa contraposée pour décider si $2750$ est divisible par $6$.

Écris la contraposée: On échange et on nie. = Si un nombre n'est pas divisible par $3$, alors il n'est pas divisible par $6$.

Teste la divisibilité par $3$ avec la somme des chiffres: $2 + 7 + 5 + 0 = 14$, et $14$ n'est pas divisible par $3$. = $2750$ n'est pas divisible par $3$

Vérifie par une division: $2750 = 3 \times 916 + 2$ = Reste $2$

Applique la contraposée: L'hypothèse "non divisible par $3$" est vraie pour $2750$. = $2750$ n'est pas divisible par $6$

Answer: $2750$ n'est pas divisible par $6$. Remarque que $2750$ est pair : la divisibilité par $2$ seule n'aurait donc pas suffi à trancher. La contraposée, si.

Si n au carré est pair, alors n est pair

Explique pourquoi "Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" est vrai pour tout nombre entier $n$ en regardant sa contraposée.

Écris la contraposée: Pour les nombres entiers, non pair signifie impair. = Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.

Écris un nombre impair sous forme générale: $n = 2k + 1$ pour un nombre entier $k$, donc $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ = $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Mets $2$ en facteur: $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ = Le double d'un entier plus $1$, donc $n^2$ est impair

Vérifie avec $n = 7$: $k = 3$ : $7^2 = 49 = 2 \times 24 + 1$ = $49$ est impair

Conclus: La contraposée est vraie, et elle est équivalente à l'énoncé de départ. = L'énoncé de départ est vrai

Answer: Tout nombre impair a un carré impair, donc la contraposée est vraie, et par conséquent l'énoncé de départ l'est aussi. La voie directe (en partant de $n^2$ pair) est bien plus difficile. Démontrer un énoncé de cette façon s'appelle un raisonnement par contraposée, que tu verras dans le thème des démonstrations.

Mistake: Échanger seulement les parties et appeler $q \to p$ la contraposée

Why: Échanger sans nier donne la réciproque, qui peut être fausse même quand l'énoncé de départ est vrai.

Correct: Échange **et** nie les deux parties : la contraposée de $p \to q$ est $\neg q \to \neg p$.

Mistake: Nier "$x > 5$" en "$x < 5$"

Why: On oublie le cas $x = 5$. Tout nombre est soit plus grand que $5$, soit pas plus grand que $5$, et "pas plus grand" inclut $5$ lui-même.

Correct: La négation de $x > 5$ est $x \le 5$, et la négation de $x \ge 5$ est $x < 5$.

Mistake: Croire que la réciproque d'un énoncé vrai est aussi vraie

Why: "Si $x = 4$, alors $x^2 = 16$" est vrai, mais "Si $x^2 = 16$, alors $x = 4$" est faux, car $x = -4$ convient aussi.

Correct: Seule la contraposée a à coup sûr la même valeur de vérité que l'énoncé de départ. La réciproque doit être vérifiée à part.

Mistake: Se perdre dans les doubles négations

Why: Pour "S'il ne pleut pas, alors je vais à l'école à pied", certains écrivent "Si je ne vais pas à pied, alors non il ne pleut pas" et s'y perdent, ou oublient une négation par erreur.

Correct: La négation de "il ne pleut pas" est "il pleut". La contraposée est : "Si je ne vais pas à l'école à pied, alors il pleut."

Critères de divisibilité et chiffres de contrôle

Beaucoup de codes et de vérifications rapides de calcul mental reposent sur des critères de divisibilité, et la contraposée permet d'écarter un nombre sans faire la division.

Règle : si un nombre est divisible par $9$, alors la somme de ses chiffres est divisible par $9$. La somme des chiffres de $5812$ est $16$, donc $5812$ ne peut pas être divisible par $9$.

Règles de livraison gratuite

Les boutiques en ligne ont souvent des règles comme "Si ta commande atteint 50 € ou plus, la livraison est gratuite." La contraposée te dit ce que signifient des frais de port sur ta facture.

Contraposée : si tu as payé des frais de port, ta commande faisait moins de 50 €. Une facture avec des frais de port prouve que la commande était sous la limite.

Lire un classement sportif

Les fans de sport utilisent la contraposée pour exclure des possibilités à partir du classement, sans regarder chaque match.

Dans un championnat avec $3$ points pour une victoire, $1$ pour un match nul et $0$ pour une défaite : si une équipe a gagné ses $5$ matchs, elle a $15$ points. Une équipe avec moins de $15$ points n'a pas gagné tous ses matchs.

Q: Pourquoi la contraposée est-elle toujours vraie quand l'énoncé de départ est vrai ?

A: L'énoncé $p \to q$ dit : chaque fois que $p$ se produit, $q$ se produit aussi. Donc si $q$ ne s'est pas produit, $p$ n'a pas pu se produire non plus, sinon $q$ aurait suivi. C'est exactement $\neg q \to \neg p$. La table de vérité le confirme dans les quatre cas.

Q: Quelle est la différence entre l'inverse et la contraposée ?

A: Les deux nient les deux parties, mais l'inverse garde l'ordre ($\neg p \to \neg q$) alors que la contraposée l'échange en plus ($\neg q \to \neg p$). La contraposée est équivalente à l'énoncé de départ ; l'inverse est équivalente à la réciproque.

Q: Si l'énoncé de départ est faux, la contraposée est-elle fausse aussi ?

A: Oui. Ils sont équivalents, donc ils ont toujours la même valeur de vérité. "Si un nombre est pair, alors il est divisible par $4$" est faux ($6$ est un contre-exemple), et "Si un nombre n'est pas divisible par $4$, alors il n'est pas pair" l'est aussi, avec le même contre-exemple $6$.

Q: La contraposée, est-ce la même chose qu'un raisonnement par l'absurde ?

A: Non. Avec la contraposée, tu démontres directement $\neg q \to \neg p$ au lieu de $p \to q$. Un raisonnement par l'absurde suppose que tout l'énoncé est faux et aboutit à un résultat impossible. Les deux méthodes apparaissent dans le thème des démonstrations.