Quelle est la différence entre l'inverse et la contraposée ?

Les deux nient les deux parties, mais l'inverse garde l'ordre ($\neg p \to \neg q$) alors que la contraposée l'échange en plus ($\neg q \to \neg p$). La contraposée est équivalente à l'énoncé de départ ; l'inverse est équivalente à la réciproque.

Si l'énoncé de départ est faux, la contraposée est-elle fausse aussi ?

Oui. Ils sont équivalents, donc ils ont toujours la même valeur de vérité. "Si un nombre est pair, alors il est divisible par $4$" est faux ($6$ est un contre-exemple), et "Si un nombre n'est pas divisible par $4$, alors il n'est pas pair" l'est aussi, avec le même contre-exemple $6$.

La contraposée, est-ce la même chose qu'un raisonnement par l'absurde ?

Non. Avec la contraposée, tu démontres directement $\neg q \to \neg p$ au lieu de $p \to q$. Un raisonnement par l'absurde suppose que tout l'énoncé est faux et aboutit à un résultat impossible. Les deux méthodes apparaissent dans le thème des démonstrations.

Ressources enseignants

Contraposée

Q: Pourquoi la contraposée est-elle toujours vraie quand l'énoncé de départ est vrai ?

L'énoncé $p \to q$ dit : chaque fois que $p$ se produit, $q$ se produit aussi. Donc si $q$ ne s'est pas produit, $p$ n'a pas pu se produire non plus, sinon $q$ aurait suivi. C'est exactement $\neg q \to \neg p$. La table de vérité le confirme dans les quatre cas.

Apprends à former la contraposée d'une implication "si... alors", à comprendre pourquoi elle a toujours la même valeur de vérité que l'énoncé de départ et à t'en servir pour raisonner sur les nombres.

Intermédiaire25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La contraposée d'un énoncé conditionnel (implication) "Si

p

, alors

q

" (

p \to q

) est l'énoncé "Si non

q

, alors non

p

" :

\neg q \to \neg p

Pour la construire, tu fais deux choses : tu échanges l'hypothèse et la conclusion, et tu nies les deux.

Fait essentiel : un énoncé et sa contraposée sont logiquement équivalents. Ils sont toujours vrais tous les deux ou faux tous les deux. La table de vérité le montre ligne par ligne (V = vrai, F = faux) :

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & \neg p & \neg q & p \to q & \neg q \to \neg p \\ \hline V & V & F & F & V & V \\ V & F & F & V & F & F \\ F & V & V & F & V & V \\ F & F & V & V & V & V \end{array}

Les deux dernières colonnes sont identiques, on écrit donc

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

. (La table interactive de cette leçon le vérifie pour toi : sa dernière colonne,

(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)

, vaut V à chaque ligne.)

Les quatre énoncés associés à

p \to q

Énoncé de départ : $p \to q$
Réciproque : $q \to p$ (on échange seulement)
Inverse : $\neg p \to \neg q$ (on nie seulement)
Contraposée : $\neg q \to \neg p$ (on échange et on nie)

L'énoncé de départ et la contraposée sont toujours d'accord. La réciproque et l'inverse sont aussi toujours d'accord entre elles, car l'inverse est la contraposée de la réciproque.

Essaie tout de suite

Quelle est la contraposée de

p \to q

Exemples résolus

Écris la contraposée de : "Si un nombre est divisible par $10$ , alors il se termine par $0$ ."

Repère l'hypothèse $p$ et la conclusion $q$

$p$ : un nombre est divisible par $10$ . $q$ : il se termine par $0$ . → Deux parties trouvées

Nie les deux parties

$\neg p$ : le nombre n'est pas divisible par $10$ . $\neg q$ : il ne se termine pas par $0$ . → Les deux parties sont niées

Échange l'ordre et écris $\neg q \to \neg p$

Place la conclusion niée en premier et l'hypothèse niée en second. → Si un nombre ne se termine pas par $0$ , alors il n'est pas divisible par $10$ .

Réponse: Si un nombre ne se termine pas par $0$ , alors il n'est pas divisible par $10$ . Comme l'énoncé de départ, cet énoncé est vrai : par exemple, $73$ ne se termine pas par $0$ et $73 \div 10 = 7{,}3$ n'est pas un nombre entier.

Erreurs courantes

Échanger seulement les parties et appeler $q \to p$ la contraposée

Pourquoi c'est faux: Échanger sans nier donne la réciproque, qui peut être fausse même quand l'énoncé de départ est vrai.

Correct: Échange et nie les deux parties : la contraposée de $p \to q$ est $\neg q \to \neg p$ .

Nier " $x > 5$ " en " $x < 5$ "

Pourquoi c'est faux: On oublie le cas $x = 5$ . Tout nombre est soit plus grand que $5$ , soit pas plus grand que $5$ , et "pas plus grand" inclut $5$ lui-même.

Correct: La négation de $x > 5$ est $x \le 5$ , et la négation de $x \ge 5$ est $x < 5$ .

Croire que la réciproque d'un énoncé vrai est aussi vraie

Pourquoi c'est faux: "Si $x = 4$ , alors $x^2 = 16$ " est vrai, mais "Si $x^2 = 16$ , alors $x = 4$ " est faux, car $x = -4$ convient aussi.

Correct: Seule la contraposée a à coup sûr la même valeur de vérité que l'énoncé de départ. La réciproque doit être vérifiée à part.

Se perdre dans les doubles négations

Pourquoi c'est faux: Pour "S'il ne pleut pas, alors je vais à l'école à pied", certains écrivent "Si je ne vais pas à pied, alors non il ne pleut pas" et s'y perdent, ou oublient une négation par erreur.

Correct: La négation de "il ne pleut pas" est "il pleut". La contraposée est : "Si je ne vais pas à l'école à pied, alors il pleut."

Visuel interactif

Table de vérité

Expressionp → q ↔ ¬q → ¬p

p	q	p → q	¬q	¬p	¬q → ¬p	p → q ↔ ¬q → ¬p
V	V	V	F	F	V	V
V	F	F	V	F	F	V
F	V	V	F	V	V	V
F	F	V	V	V	V	V

V= VraiF= Faux

Table de vérité

Choisir l'opérateur

p → q

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

V= VraiF= Faux

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle est la contraposée de $p \to q$ ?

Exercices pratiques: Contraposée

1. Quelle est la contraposée de p → q ?
2. Règle : si un nombre est un multiple de 4, alors il est pair. Sa contraposée dit : si un nombre n'est pas pair, alors ce n'est pas un multiple de 4. Lequel des nombres 12, 15, 20, 28 peux-tu écarter avec la contraposée seule ?
3. Règle : si un nombre est divisible par 10, alors son dernier chiffre est 0. Utilise la contraposée pour décider si 7345 est divisible par 10.
4. Quel énoncé est la contraposée de "Si un nombre se termine par 5, alors il est divisible par 5" ?
5. Une implication est vraie. En dehors de l'énoncé lui-même, combien des trois autres énoncés associés (réciproque, inverse, contraposée) sont à coup sûr vrais aussi ?
6. Énoncé : si x = 3, alors 2x = 6. Sa contraposée est : si 2x ≠ 6, alors x ≠ 3. Tu sais que 2x = 14. Montre que x n'est pas 3 et trouve x.
7. On sait qu'une implication p → q est vraie. Quel énoncé associé doit alors être vrai aussi ?
8. Écris 1 pour vrai et 0 pour faux. Dans la ligne de la table de vérité où p = 1 et q = 0, trouve les valeurs de la contraposée et de l'énoncé de départ.
9. Une table de vérité de \neg q \to \neg p a 4 lignes. Dans combien de ces lignes \neg q \to \neg p est-elle vraie ?
10. Écris 1 pour vrai et 0 pour faux. Dans la ligne où p = 0 et q = 1, l'énoncé de départ p → q vaut 1. Trouve la contraposée et la réciproque dans cette ligne.
11. Dans la ligne de la table de vérité où p est vrai et q est faux, quelles sont les valeurs de p \to q et de \neg q \to \neg p ?
12. Règle : si un nombre est un multiple de 6, alors c'est un multiple de 3. Pour montrer par contraposée que 50 n'est pas un multiple de 6, tu vérifies que 50 n'est pas un multiple de 3. Quel est le reste de la division de 50 par 3 ?
13. Règle : si un nombre est divisible par 3, alors la somme de ses chiffres est divisible par 3. Utilise la contraposée pour décider si 2471 est divisible par 3.
14. Énoncé de départ : "Si x = 4, alors x² = 16." Lesquels des quatre énoncés associés (énoncé de départ, réciproque, inverse, contraposée) sont vrais ?
15. L'énoncé "Si 3x + 2 > 20, alors x > 6" est vrai. Sa contraposée est "Si x ≤ 6, alors 3x + 2 ≤ 20." Vérifie la contraposée pour x = 6 et x = 5.
16. La contraposée de "Si n² est pair, alors n est pair" est "Si n est impair, alors n² est impair." Vérifie-la pour n = 13 : écris 13² sous la forme 2m + 1. Combien vaut m ?
17. Pour voir pourquoi "Si n² est pair, alors n est pair" est vrai, vérifie sa contraposée "Si n est impair, alors n² est impair" pour n = 9, avec la forme n = 2k + 1.
18. Pour des nombres entiers a, b ≥ 0 : "Si a + b ≥ 10, alors a ≥ 5 ou b ≥ 5." Sa contraposée est "Si a < 5 et b < 5, alors a + b < 10." Trouve la plus grande valeur possible de a + b quand a < 5 et b < 5.

Pourquoi c'est important

La contraposée t'offre une deuxième porte vers le même énoncé, et parfois cette porte s'ouvre beaucoup plus facilement :

Les nombres : pour montrer que $2750$ n'est pas divisible par $6$ , il suffit de voir qu'il n'est pas divisible par $3$
Vérifier son travail : si une bonne réponse doit être un nombre entier et que tu obtiens $4{,}5$ , tu sais que quelque chose ne va pas
Les programmes informatiques : "Si le mot de passe est correct, la porte s'ouvre." La porte est restée fermée, donc le mot de passe était faux
Les démonstrations : plus tard, tu démontreras des énoncés comme "Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" en démontrant plutôt la contraposée

Savoir quels énoncés associés sont d'accord te protège aussi d'une erreur très fréquente : croire que la réciproque d'un énoncé vrai est forcément vraie.

Applications dans le monde réel

Critères de divisibilité et chiffres de contrôle

Beaucoup de codes et de vérifications rapides de calcul mental reposent sur des critères de divisibilité, et la contraposée permet d'écarter un nombre sans faire la division.

Exemple:

Règle : si un nombre est divisible par $9$ , alors la somme de ses chiffres est divisible par $9$ . La somme des chiffres de $5812$ est $16$ , donc $5812$ ne peut pas être divisible par $9$ .

1Essaie par toi-même

Règle : si un nombre est divisible par $9$ , alors la somme de ses chiffres est divisible par $9$ . Un employé vérifie le numéro de code $4372$ .

Est-ce que $4372$ est divisible par $9$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la somme des chiffres de $4372$ sous forme d'addition :

Règles de livraison gratuite

Les boutiques en ligne ont souvent des règles comme "Si ta commande atteint 50 € ou plus, la livraison est gratuite." La contraposée te dit ce que signifient des frais de port sur ta facture.

Exemple:

Contraposée : si tu as payé des frais de port, ta commande faisait moins de 50 €. Une facture avec des frais de port prouve que la commande était sous la limite.

2Essaie par toi-même

Règle : si une commande atteint au total 50 € ou plus, la livraison est gratuite. Anna a payé des frais de port. Son panier contenait un livre à 18 € et une lampe à 27 €.

Quel était le total de sa commande, et combien lui manquait-il pour la livraison gratuite ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le total de la commande sous forme d'addition :

Lire un classement sportif

Les fans de sport utilisent la contraposée pour exclure des possibilités à partir du classement, sans regarder chaque match.

Exemple:

Dans un championnat avec $3$ points pour une victoire, $1$ pour un match nul et $0$ pour une défaite : si une équipe a gagné ses $5$ matchs, elle a $15$ points. Une équipe avec moins de $15$ points n'a pas gagné tous ses matchs.

3Essaie par toi-même

Règle : si une équipe gagne ses $5$ matchs, alors elle a $15$ points ( $3$ par victoire, $1$ par match nul, $0$ par défaite). L'équipe Bleue a $13$ points après $5$ matchs.

L'équipe Bleue a-t-elle gagné tous ses matchs, et combien de matchs a-t-elle pu gagner au maximum ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris les points pour $5$ victoires sous forme de multiplication :

Points clés

1La contraposée de $p \to q$ est $\neg q \to \neg p$ : on échange les deux parties et on nie les deux
2Un énoncé et sa contraposée sont logiquement équivalents : ils sont toujours vrais tous les deux ou faux tous les deux
3La table de vérité le montre : $p \to q$ et $\neg q \to \neg p$ ne sont fausses que dans la ligne $p$ vrai, $q$ faux
4La réciproque $q \to p$ et l'inverse $\neg p \to \neg q$ sont d'accord entre elles, mais pas forcément avec l'énoncé de départ
5Nie avec soin : le contraire de $x > 5$ est $x \le 5$ , et le contraire de impair est pair
6Quand un énoncé est difficile à vérifier directement, vérifie plutôt sa contraposée, par exemple "si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair"

Questions fréquentes

L'énoncé

p \to q

dit : chaque fois que

p

se produit,

q

se produit aussi. Donc si

q

ne s'est pas produit,

p

n'a pas pu se produire non plus, sinon

q

aurait suivi. C'est exactement

\neg q \to \neg p

. La table de vérité le confirme dans les quatre cas.

Glossaire

Contraposée: L'énoncé $\neg q \to \neg p$ obtenu à partir de $p \to q$ en échangeant et en niant les deux parties
Réciproque: L'énoncé $q \to p$ , obtenu en échangeant l'hypothèse et la conclusion
Inverse: L'énoncé $\neg p \to \neg q$ , obtenu en niant l'hypothèse et la conclusion sans les échanger
Négation: Le contraire d'un énoncé, noté $\neg p$ ; elle est vraie exactement quand $p$ est faux
Logiquement équivalents: Deux énoncés qui ont la même valeur de vérité dans chaque ligne d'une table de vérité, notés avec $\equiv$

Carte des formules

Contraposée

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

Échanger et nier les deux parties ; toujours équivalente à l'énoncé de départ

Réciproque et inverse

q \to p \equiv \neg p \to \neg q

Équivalentes entre elles, mais pas forcément à l'énoncé de départ

Nier une inégalité

\neg(x > a) \iff x \le a

La négation de "strictement plus grand que" est "plus petit ou égal à"

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