Trouver l'hypothèse et la conclusion

Repère l'hypothèse et la conclusion : "Si un triangle a un angle droit, alors c'est un triangle rectangle."

Trouve la partie après "si": "un triangle a un angle droit" = Hypothèse $p$ : un triangle a un angle droit

Trouve la partie après "alors": "c'est un triangle rectangle" = Conclusion $q$ : le triangle est rectangle

Écris-la en symboles: La condition vient d'abord, le résultat ensuite = $p \to q$

Answer: Hypothèse : un triangle a un angle droit. Conclusion : c'est un triangle rectangle. En symboles : $p \to q$.

Reformuler une phrase de tous les jours

Écris sous la forme si... alors : "Je prends un parapluie chaque fois qu'il pleut."

Trouve la condition: Les mots "chaque fois que" introduisent la condition : il pleut = Hypothèse : il pleut

Trouve ce qui découle de la condition: Que se passe-t-il quand il pleut ? Je prends un parapluie = Conclusion : je prends un parapluie

Place l'hypothèse après "si" et la conclusion après "alors": La phrase commençait par la conclusion, donc on change l'ordre = S'il pleut, alors je prends un parapluie.

Answer: S'il pleut, alors je prends un parapluie. Dans la phrase de départ, l'hypothèse n'est pas toujours au début.

Reformuler une phrase mathématique et la vérifier

Écris "Tout multiple de 10 est pair" sous la forme si... alors et vérifie-la avec le nombre 70.

Trouve ce dont on part: On part d'un nombre qui est un multiple de 10 = $p$ : un nombre est un multiple de 10

Trouve ce qu'on affirme sur lui: Un tel nombre est pair = $q$ : ce nombre est pair

Écris l'implication: Si $p$, alors $q$ = Si un nombre est un multiple de 10, alors il est pair.

Vérifie avec 70: $70 = 10 \times 7$, donc l'hypothèse est vraie. $70 \div 2 = 35$, donc 70 est pair = La conclusion est vraie pour 70

Answer: Si un nombre est un multiple de 10, alors il est pair. Pour 70, les deux parties sont vraies, ce cas est donc en accord avec l'énoncé.

Quand une promesse est-elle rompue ?

Une professeure dit : "Si tu obtiens au moins 80 points, alors tu reçois un autocollant." Quatre élèves : Ana a 85 points et reçoit un autocollant, Ben a 90 points et n'en reçoit pas, Cléo a 70 points et reçoit un autocollant, Dan a 60 points et n'en reçoit pas. Qui montre que la professeure a rompu sa promesse ?

Détermine l'hypothèse $p$ pour chaque élève: $p$ : points $\geq 80$. Ana $85$, Ben $90$ : vraie. Cléo $70$, Dan $60$ : fausse = $p$ n'est vraie que pour Ana et Ben

Détermine la conclusion $q$ pour chaque élève: $q$ : reçoit un autocollant. Ana et Cléo : vraie. Ben et Dan : fausse = $q$ est fausse pour Ben et Dan

Cherche le seul cas faux : $p$ vraie et $q$ fausse: Ana : V, V. Ben : V, F. Cléo : F, V. Dan : F, F = Seul Ben a V et F

Answer: Seul Ben montre que la promesse est rompue : il a au moins 80 points mais n'a pas reçu d'autocollant. Que Cléo reçoive un autocollant avec 70 points ne la rompt pas, car la promesse ne dit rien des scores inférieurs à 80.

Réfuter un énoncé avec un contre-exemple

Cet énoncé est-il vrai ? "Si $x^2 = 25$, alors $x = 5$."

Cherche des valeurs qui rendent l'hypothèse vraie: Quels nombres au carré donnent 25 ? $5^2 = 25$ et $(-5)^2 = 25$ = $x = 5$ ou $x = -5$

Teste la conclusion pour chaque valeur: Pour $x = 5$, la conclusion $x = 5$ est vraie. Pour $x = -5$, la conclusion $x = 5$ est fausse = $x = -5$ donne V et F

Décide: Un seul cas avec une hypothèse vraie et une conclusion fausse suffit = $x = -5$ est un contre-exemple

Answer: L'énoncé est faux. Le contre-exemple $x = -5$ rend l'hypothèse $x^2 = 25$ vraie mais la conclusion $x = 5$ fausse.

Mistake: Prendre la première partie de la phrase pour l'hypothèse, comme dans "Je prends un parapluie s'il pleut" → hypothèse "je prends un parapluie"

Why: L'hypothèse est la partie qui suit le mot "si" (ou "quand", "chaque fois que"), où qu'elle se trouve dans la phrase.

Correct: Trouve d'abord la condition : "il pleut". Puis écris : S'il pleut, alors je prends un parapluie.

Mistake: Penser que $p \to q$ est fausse dès que l'hypothèse est fausse

Why: Une implication ne promet quelque chose que dans le cas où $p$ se réalise. Si $p$ ne se réalise pas, la promesse ne peut pas être rompue.

Correct: $p \to q$ n'est fausse que dans le cas V → F. Quand $p$ est fausse, l'implication est vraie, quelle que soit $q$.

Mistake: Utiliser comme contre-exemple un nombre qui ne vérifie pas l'hypothèse, par exemple $x = 0$ contre "si $x > 3$, alors $x > 1$"

Why: Pour $x = 0$, la conclusion $x > 1$ est fausse, mais l'hypothèse $x > 3$ est fausse elle aussi, donc ce cas ne peut pas réfuter l'énoncé.

Correct: Un contre-exemple doit rendre l'hypothèse vraie et la conclusion fausse. Pour "si $x > 3$, alors $x > 1$", un tel nombre n'existe pas, donc l'énoncé est vrai.

Mistake: Croire qu'un exemple qui marche prouve l'énoncé

Why: "Si $n$ est un entier naturel, alors $2^n + 1$ est premier" marche pour $n = 1$ ($3$) et $n = 2$ ($5$), mais $n = 3$ donne $9$, qui n'est pas premier.

Correct: Les exemples peuvent seulement appuyer un énoncé. Pour le prouver, il faut un argument général, mais un seul contre-exemple suffit pour le réfuter.

Achats en ligne

Les boutiques utilisent des règles si... alors pour la livraison gratuite, les réductions et les cadeaux. Pour profiter de l'offre, tu dois rendre l'hypothèse vraie.

"Si ta commande atteint au moins 40 €, alors la livraison est gratuite." Une commande de 52 € rend l'hypothèse vraie, donc la livraison doit être gratuite.

Tester des affirmations en mathématiques

Les mathématiciens testent une implication en cherchant un contre-exemple. S'ils en trouvent un, l'affirmation est fausse.

"Si un nombre est premier, alors il est impair" est faux, car 2 est premier et pair.

Maison connectée et programmation

Un thermostat fonctionne avec une implication : si la pièce est plus froide qu'une valeur réglée, alors le chauffage s'allume.

"Si la température est inférieure à 18 °C, alors le chauffage s'allume." À 17 °C, l'hypothèse est vraie, donc le chauffage doit s'allumer. À 20 °C, rien n'est promis.

Q: Pourquoi "si $p$, alors $q$" est-elle vraie quand $p$ est fausse ?

A: Parce que l'énoncé ne fait une promesse que pour le cas où $p$ se réalise. Si tu dis "s'il pleut, je prends un parapluie" et qu'il ne pleut pas, tu n'as pas manqué à ta parole, quoi que tu fasses.

Q: Le mot "alors" doit-il toujours être là ?

A: Non. "S'il pleut, je reste à la maison", "Je reste à la maison quand il pleut" et "La pluie signifie que je reste à la maison" sont la même implication. L'écrire avec "si" et "alors" permet juste de bien voir l'hypothèse et la conclusion.

Q: Combien de contre-exemples faut-il pour montrer qu'un énoncé est faux ?

A: Un seul. Une implication affirme que la conclusion suit chaque fois que l'hypothèse est vraie, donc un seul cas V → F suffit pour la réfuter.

Q: Que se passe-t-il si j'échange l'hypothèse et la conclusion ?

A: Tu obtiens un nouvel énoncé qui peut avoir une autre valeur de vérité. "Si une figure est un carré, alors c'est un rectangle" est vrai, mais "si une figure est un rectangle, alors c'est un carré" est faux. Échanger et nier les parties est le sujet des prochaines leçons, Réciproque et inverse et Contraposée.