Le mot "alors" doit-il toujours être là ?

Non. "S'il pleut, je reste à la maison", "Je reste à la maison quand il pleut" et "La pluie signifie que je reste à la maison" sont la même implication. L'écrire avec "si" et "alors" permet juste de bien voir l'hypothèse et la conclusion.

Combien de contre-exemples faut-il pour montrer qu'un énoncé est faux ?

Un seul. Une implication affirme que la conclusion suit chaque fois que l'hypothèse est vraie, donc un seul cas V → F suffit pour la réfuter.

Que se passe-t-il si j'échange l'hypothèse et la conclusion ?

Tu obtiens un nouvel énoncé qui peut avoir une autre valeur de vérité. "Si une figure est un carré, alors c'est un rectangle" est vrai, mais "si une figure est un rectangle, alors c'est un carré" est faux. Échanger et nier les parties est le sujet des prochaines leçons, Réciproque et inverse et Contraposée.

Ressources enseignants

Les énoncés si... alors

Q: Pourquoi "si $p$, alors $q$" est-elle vraie quand $p$ est fausse ?

Parce que l'énoncé ne fait une promesse que pour le cas où $p$ se réalise. Si tu dis "s'il pleut, je prends un parapluie" et qu'il ne pleut pas, tu n'as pas manqué à ta parole, quoi que tu fasses.

Apprends à écrire des énoncés sous la forme si... alors, à repérer l'hypothèse et la conclusion, et à décider quand une implication est fausse.

Intermédiaire25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une implication, aussi appelée énoncé conditionnel ou énoncé si... alors, relie deux propositions avec les mots si et alors :

\text{Si } p\text{, alors } q.

La partie après "si" est l'hypothèse ( $p$ ), la condition.
La partie après "alors" est la conclusion ( $q$ ), ce qui doit en découler.

En symboles, on écrit

p \to q

et on lit "si

p

, alors

q

" ou "

p

implique

q

Exemple : Si un nombre se termine par 0, alors il est divisible par 10.

Hypothèse $p$ : un nombre se termine par 0
Conclusion $q$ : ce nombre est divisible par 10

Vois une implication comme une promesse. La promesse n'est rompue que si l'hypothèse se réalise et que la conclusion ne se réalise pas. Donc

p \to q

est fausse dans un seul cas :

p

est vraie et

q

est fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie.

$p$	$q$	$p \to q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

La table de vérité interactive de cette leçon donne les quatre mêmes lignes dans l'ordre inverse, en commençant par F, F. Les deux ordres sont corrects.

Un cas où l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse s'appelle un contre-exemple. Un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'une implication est fausse.

Essaie tout de suite

Quelle est l'hypothèse de l'énoncé "S'il pleut, alors le match de foot est annulé" ?

Exemples résolus

Repère l'hypothèse et la conclusion : "Si un triangle a un angle droit, alors c'est un triangle rectangle."

Trouve la partie après "si"

"un triangle a un angle droit" → Hypothèse $p$ : un triangle a un angle droit

Trouve la partie après "alors"

"c'est un triangle rectangle" → Conclusion $q$ : le triangle est rectangle

Écris-la en symboles

La condition vient d'abord, le résultat ensuite → $p \to q$

Réponse: Hypothèse : un triangle a un angle droit. Conclusion : c'est un triangle rectangle. En symboles : $p \to q$ .

Erreurs courantes

Prendre la première partie de la phrase pour l'hypothèse, comme dans "Je prends un parapluie s'il pleut" → hypothèse "je prends un parapluie"

Pourquoi c'est faux: L'hypothèse est la partie qui suit le mot "si" (ou "quand", "chaque fois que"), où qu'elle se trouve dans la phrase.

Correct: Trouve d'abord la condition : "il pleut". Puis écris : S'il pleut, alors je prends un parapluie.

Penser que $p \to q$ est fausse dès que l'hypothèse est fausse

Pourquoi c'est faux: Une implication ne promet quelque chose que dans le cas où $p$ se réalise. Si $p$ ne se réalise pas, la promesse ne peut pas être rompue.

Correct: $p \to q$ n'est fausse que dans le cas V → F. Quand $p$ est fausse, l'implication est vraie, quelle que soit $q$ .

Utiliser comme contre-exemple un nombre qui ne vérifie pas l'hypothèse, par exemple $x = 0$ contre "si $x > 3$ , alors $x > 1$ "

Pourquoi c'est faux: Pour $x = 0$ , la conclusion $x > 1$ est fausse, mais l'hypothèse $x > 3$ est fausse elle aussi, donc ce cas ne peut pas réfuter l'énoncé.

Correct: Un contre-exemple doit rendre l'hypothèse vraie et la conclusion fausse. Pour "si $x > 3$ , alors $x > 1$ ", un tel nombre n'existe pas, donc l'énoncé est vrai.

Croire qu'un exemple qui marche prouve l'énoncé

Pourquoi c'est faux: "Si $n$ est un entier naturel, alors $2^n + 1$ est premier" marche pour $n = 1$ ( $3$ ) et $n = 2$ ( $5$ ), mais $n = 3$ donne $9$ , qui n'est pas premier.

Correct: Les exemples peuvent seulement appuyer un énoncé. Pour le prouver, il faut un argument général, mais un seul contre-exemple suffit pour le réfuter.

Visuel interactif

Table de vérité

Choisir l'opérateur

p → q

p	q	p → q
F	F	V
F	V	V
V	F	F
V	V	V

V= VraiF= Faux

Table de vérité

Choisir l'opérateur

p → q

p	q	p → q
F	F
F	V
V	F
V	V

V= VraiF= Faux

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle est l'hypothèse de l'énoncé "S'il pleut, alors le match de foot est annulé" ?

Exercices pratiques: Les énoncés si... alors

1. Quelle est l'hypothèse de l'énoncé "S'il pleut, alors le match de foot est annulé" ?
2. Complète l'implication pour qu'elle soit vraie : si x = 4, alors 3x - 2 = \square. Quel nombre va dans la case ?
3. Vérifie l'implication "Si x = 6, alors 2x + 3 = 15" en calculant 2x + 3 pour x = 6.
4. Quelle phrase est "Tous les carrés sont des rectangles" écrite sous la forme si... alors ?
5. La table de vérité de p → q a 4 lignes. Dans combien de ces lignes p → q est-elle fausse ?
6. La règle d'une boutique : si ta commande atteint au moins 30 €, alors la livraison est gratuite. Tu achètes un livre à 12 € et un jeu à 15 €. Combien d'euros dois-tu encore dépenser pour que la livraison soit gratuite ?
7. Dans quel cas l'implication p → q est-elle fausse ?
8. L'énoncé "Si un entier naturel est plus grand que 5, alors il est plus grand que 8" est faux. Quel est le plus petit entier naturel qui est un contre-exemple ?
9. Affirmation : si un entier naturel est divisible par 2, alors il est divisible par 4. Trouve le plus petit contre-exemple positif.
10. Mia dit : "Si je finis mes devoirs, alors je vais au cinéma." Elle n'a pas fini ses devoirs, mais elle est quand même allée au cinéma. Son énoncé est-il vrai ou faux ?
11. La règle d'un magasin : si tu achètes au moins 3 cahiers, alors chaque cahier coûte 2 € au lieu de 3 €. Tu achètes 4 cahiers. Combien d'euros paies-tu en tout ?
12. Énoncé : si un nombre est un multiple de 6, alors c'est un multiple de 3. Vérifie l'énoncé pour le nombre 42 : divise d'abord 42 par 6, puis par 3. Combien fait 42 ÷ 3 ?
13. Règle : si la température est inférieure à 18 °C, alors le chauffage s'allume. À 7 h, la pièce est à 23 °C et la température baisse de 2 °C par heure. Après combien d'heures entières le chauffage s'allume-t-il pour la première fois ?
14. Quel nombre est un contre-exemple à l'énoncé "Si un nombre est premier, alors il est impair" ?
15. Affirmation : si n est un entier naturel plus grand que 1, alors n² + n + 1 est premier. Quel est le plus petit contre-exemple n ?
16. Affirmation : si n est un entier naturel positif, alors 2ⁿ + 1 est premier. Teste n = 1, 2, 3 et trouve le plus petit contre-exemple.
17. Énoncé : si x > 2, alors x² > 9. Lequel des entiers naturels 3, 4 et 5 est un contre-exemple ?
18. Quatre cartes ont un nombre sur une face et une couleur sur l'autre. Tu vois : 4, 7, rouge, bleu. Règle : si une carte a un nombre pair sur une face, alors son autre face est rouge. Quelles cartes dois-tu retourner pour vérifier la règle, et combien y en a-t-il ?

Pourquoi c'est important

Les implications sont partout, souvent cachées dans des phrases ordinaires :

Achats : "Si ta commande atteint au moins 40 €, alors la livraison est gratuite."
Règles et jeux : "Si tu fais un 6, alors tu rejoues."
Sciences : "Si on chauffe de l'eau à 100 °C au niveau de la mer, alors elle bout."
Programmation : chaque application est pleine de commandes comme "si le mot de passe est correct, alors ouvre le compte".
Mathématiques : presque chaque règle et chaque théorème est une implication, par exemple "si un triangle a un angle droit, alors $a^2 + b^2 = c^2$ " (où $c$ est le plus grand côté).

Dans la leçon Le raisonnement déductif, tu as utilisé des règles si... alors comme prémisses. Maintenant tu vas apprendre comment elles sont construites, comment les écrire toi-même et comment les tester. C'est le point de départ pour la réciproque, l'inverse et la contraposée, qui viennent ensuite dans les leçons Réciproque et inverse et Contraposée.

Applications dans le monde réel

Achats en ligne

Les boutiques utilisent des règles si... alors pour la livraison gratuite, les réductions et les cadeaux. Pour profiter de l'offre, tu dois rendre l'hypothèse vraie.

Exemple:

"Si ta commande atteint au moins 40 €, alors la livraison est gratuite." Une commande de 52 € rend l'hypothèse vraie, donc la livraison doit être gratuite.

1Essaie par toi-même

Une boutique promet : si ta commande atteint au moins 40 €, alors la livraison est gratuite. Ton panier contient un t-shirt à 18 € et une casquette à 15 €.

Combien d'euros dois-tu encore dépenser pour que l'hypothèse devienne vraie ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soustrais ton total de 40 :

Tester des affirmations en mathématiques

Les mathématiciens testent une implication en cherchant un contre-exemple. S'ils en trouvent un, l'affirmation est fausse.

Exemple:

"Si un nombre est premier, alors il est impair" est faux, car 2 est premier et pair.

2Essaie par toi-même

Un camarade affirme : si un entier naturel est un multiple de 3, alors il est impair.

Quel est le plus petit contre-exemple positif ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Les multiples de 3 sont 3, 3 + 3, 3 + 3 + 3, ... Écris le deuxième :

Maison connectée et programmation

Un thermostat fonctionne avec une implication : si la pièce est plus froide qu'une valeur réglée, alors le chauffage s'allume.

Exemple:

"Si la température est inférieure à 18 °C, alors le chauffage s'allume." À 17 °C, l'hypothèse est vraie, donc le chauffage doit s'allumer. À 20 °C, rien n'est promis.

3Essaie par toi-même

La règle est : si la température est inférieure à 18 °C, alors le chauffage s'allume. À 7 h, la pièce est à 22 °C et elle se refroidit de 3 °C par heure.

Quelle est la température après 2 heures, et le chauffage est-il allumé ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pars de 22 et soustrais 3 deux fois :

Points clés

1Une implication a la forme "si $p$ , alors $q$ ", qu'on écrit $p \to q$
2L'hypothèse $p$ est la condition après "si" ; la conclusion $q$ est le résultat après "alors"
3Beaucoup de phrases cachent une implication : "tout A est B" veut dire "si quelque chose est un A, alors c'est un B"
4 $p \to q$ n'est fausse que si $p$ est vraie et $q$ est fausse (V → F) ; dans les trois autres cas, elle est vraie
5Un contre-exemple rend l'hypothèse vraie et la conclusion fausse, et un seul suffit pour réfuter un énoncé
6Des exemples qui marchent appuient un énoncé, mais ils ne le prouvent pas

Questions fréquentes

Parce que l'énoncé ne fait une promesse que pour le cas où

p

se réalise. Si tu dis "s'il pleut, je prends un parapluie" et qu'il ne pleut pas, tu n'as pas manqué à ta parole, quoi que tu fasses.

Glossaire

Énoncé conditionnel: Un énoncé de la forme "si $p$ , alors $q$ ", aussi appelé énoncé si... alors
Hypothèse: La condition d'une implication, la partie après "si" ( $p$ )
Conclusion: Le résultat d'une implication, la partie après "alors" ( $q$ )
Implication: Autre nom de l'énoncé conditionnel ; $p \to q$ se lit " $p$ implique $q$ "
Contre-exemple: Un cas où l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse ; il montre qu'une implication est fausse
Valeur de vérité: Le fait qu'un énoncé soit vrai (V) ou faux (F)

Carte des formules

Implication

p \to q

Se lit "si $p$, alors $q$" : $p$ est l'hypothèse, $q$ la conclusion

Seul cas faux

V \to F = F

Une implication n'est fausse que si l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse

Contre-exemple

p \text{ vraie et } q \text{ fausse}

Un seul cas de ce type suffit pour réfuter $p \to q$

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Implication

Seul cas faux

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