Sommes de nombres impairs

Additionne les premiers nombres impairs : $1$, $1 + 3$, $1 + 3 + 5$, $1 + 3 + 5 + 7$. Formule une conjecture et utilise-la pour prévoir la somme des $10$ premiers nombres impairs.

Observe les cas: $1 = 1$, $1 + 3 = 4$, $1 + 3 + 5 = 9$, $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ = Sommes : $1, 4, 9, 16$

Cherche une régularité: $1 = 1^2$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $16 = 4^2$ = Chaque somme est un carré parfait

Formule une conjecture: Avec $n$ nombres impairs, la somme semble valoir $n \times n$ = Somme des $n$ premiers nombres impairs $= n^2$

Teste-la sur un nouveau cas: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$ = La conjecture résiste au test

Utilise-la pour prévoir: $n = 10$ : $10^2 = 100$ = $100$

Answer: Conjecture : la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$. La somme des $10$ premiers nombres impairs devrait être $100$ (et cette conjecture a bien été démontrée).

Réfuter une conjecture avec zéro et les nombres négatifs

Léo teste l'affirmation "doubler un nombre le rend toujours plus grand" avec $3$, $10$ et $25$. L'affirmation est-elle vraie ?

Vérifie les cas de Léo: $3 \to 6$, $10 \to 20$, $25 \to 50$ = Les trois sont devenus plus grands

Essaie un autre type de nombre : zéro: $2 \times 0 = 0$ = $0$ n'est pas plus grand que $0$

Essaie un nombre négatif: $2 \times (-5) = -10$, et $-10 < -5$ = Le double est plus petit

Conclus: Un seul contre-exemple suffit = L'affirmation est fausse

Answer: L'affirmation est fausse : $0$ et $-5$ sont des contre-exemples. Une conjecture corrigée serait "doubler un nombre positif le rend plus grand".

Diagonales des polygones

Un triangle a $0$ diagonale, un quadrilatère $2$, un pentagone $5$ et un hexagone $9$. Prévois le nombre de diagonales d'un octogone.

Liste les cas: $3$ côtés : $0$, $4$ côtés : $2$, $5$ côtés : $5$, $6$ côtés : $9$ = $0, 2, 5, 9$

Calcule les différences: $2 - 0 = 2$, $5 - 2 = 3$, $9 - 5 = 4$ = Les différences augmentent de $1$

Prolonge la régularité: Heptagone : $9 + 5 = 14$, octogone : $14 + 6 = 20$ = Prévision : $20$

Vérifie avec une formule qui convient à tous les cas: $\frac{n(n - 3)}{2}$ : $\frac{6 \times 3}{2} = 9$, $\frac{8 \times 5}{2} = 20$ = Les deux méthodes donnent $20$

Answer: Un octogone devrait avoir $20$ diagonales. Les compter sur un dessin le confirme.

Quarante cas et pourtant faux

Teste la conjecture "$n^2 + n + 41$ est toujours un nombre premier" pour $n = 0, 1, 2, 3$, puis pour $n = 40$.

Teste de petites valeurs: $n = 0$ : $41$, $n = 1$ : $43$, $n = 2$ : $47$, $n = 3$ : $53$ = Tous premiers

Remarque jusqu'où cela marche: On obtient des nombres premiers jusqu'à $n = 39$ = $40$ cas de suite fonctionnent

Teste $n = 40$: $40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41$ = $1681$

Vérifie si $1681$ est premier: $1681 = 41 \times 41$ = Pas premier : un contre-exemple

Answer: La conjecture est fausse. $n = 40$ est un contre-exemple, même si les $40$ premiers cas fonctionnaient tous.

Inductif et déductif côte à côte

Mia remarque : $3 + 5 = 8$, $7 + 9 = 16$, $11 + 1 = 12$. Que peut-elle conclure sur la somme de deux nombres impairs, et comment peut-elle en être sûre ?

Raisonne de façon inductive: $8$, $16$ et $12$ sont tous pairs = Conjecture : impair $+$ impair est pair

Vois la limite: Trois cas ne peuvent pas vérifier toutes les paires de nombres impairs = Seulement probablement vrai pour l'instant

Raisonne de façon déductive: Les nombres impairs s'écrivent $2a + 1$ et $2b + 1$ : $(2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1)$ = Toujours un multiple de $2$

Compare: Les exemples ont donné l'idée, l'algèbre a donné la démonstration = Maintenant c'est certain

Answer: Le raisonnement inductif donne la conjecture "impair $+$ impair est pair". Le raisonnement déductif avec $2(a + b + 1)$ la démontre pour tous les nombres impairs.

Mistake: Croire qu'une conjecture est démontrée parce qu'elle a marché dans beaucoup de cas

Why: Les exemples peuvent seulement appuyer une conjecture. $n^2 + n + 41$ est premier pour $40$ valeurs de suite et échoue quand même pour $n = 40$.

Correct: Appelle-la conjecture tant qu'elle n'est pas démontrée. Dis "probablement vrai", pas "vrai".

Mistake: Croire qu'un seul contre-exemple ne suffit pas pour rejeter une conjecture

Why: Une conjecture affirme quelque chose sur tous les cas. Si un seul cas échoue, l'affirmation "toujours" est fausse.

Correct: Un contre-exemple suffit. $2$ est premier et pair, donc "tous les nombres premiers sont impairs" est faux.

Mistake: Tester seulement des nombres entiers positifs faciles

Why: Beaucoup de conjectures échouent pour $0$, pour les nombres négatifs ou pour les fractions. "Élever au carré rend un nombre plus grand" marche pour $2, 3, 10$ mais pas pour $\frac{1}{2}$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Correct: Teste exprès des cas particuliers : $0$, $1$, des nombres négatifs, des fractions et de grands nombres.

Mistake: Confondre le raisonnement par récurrence et le raisonnement inductif

Why: Les deux font penser au mot induction, mais le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration déductive avec une initialisation et une hérédité.

Correct: Le raisonnement inductif formule une conjecture à partir d'exemples. Le raisonnement par récurrence démontre une propriété pour tous les entiers naturels.

Prévisions météo

Les météorologues comparent la journée avec de nombreux jours passés qui lui ressemblaient. Ce qui s'est passé le plus souvent ensuite devient la prévision, c'est pourquoi les prévisions donnent des probabilités et non des certitudes.

S'il a plu le lendemain lors de $80$ des $100$ jours passés avec ces nuages et ce vent, la prévision annonce $80\%$ de risque de pluie.

Les expériences en sciences

Les scientifiques répètent des mesures, cherchent une régularité et énoncent une règle. On fait confiance à la règle tant qu'aucune expérience ne la contredit.

Si l'on accroche $1$, $2$ puis $3$ masses identiques à un ressort, il s'allonge de $3$ cm, $6$ cm et $9$ cm. La conjecture : $3$ cm d'allongement par masse. Avec trop de masses, le ressort s'abîme et la règle ne marche plus.

Organiser un tournoi

Dans un tournoi toutes rondes, chaque équipe rencontre chaque autre équipe une seule fois. Les organisateurs peuvent trouver le nombre de matchs à partir de petits cas et d'une conjecture.

$2$ équipes jouent $1$ match, $3$ équipes $3$ matchs, $4$ équipes $6$ matchs. La conjecture $\frac{n(n - 1)}{2}$ convient aux trois cas, et ici on peut même la démontrer : chacune des $n$ équipes affronte $n - 1$ autres, et chaque match est compté deux fois.

Q: Si le raisonnement inductif peut se tromper, pourquoi l'utilise-t-on ?

A: Parce que c'est ainsi qu'on trouve des idées qui valent la peine d'être démontrées. Le raisonnement déductif a besoin d'un énoncé de départ, et cet énoncé vient le plus souvent d'une régularité remarquée dans des exemples.

Q: Combien d'exemples faut-il avant de pouvoir faire confiance à une conjecture ?

A: Aucun nombre d'exemples ne suffit pour être certain. $n^2 + n + 41$ marche $40$ fois puis échoue. Plus d'exemples, et des exemples variés, rendent une conjecture plus crédible, mais seule une démonstration la rend certaine.

Q: Le raisonnement par récurrence est-il une forme de raisonnement inductif ?

A: Non. Malgré son autre nom d'induction mathématique, c'est une démonstration déductive : tu démontres l'initialisation et tu démontres que chaque cas entraîne le suivant, donc la propriété est certaine pour tous les entiers naturels.

Q: Existe-t-il des conjectures célèbres que personne n'a encore démontrées ?

A: Oui. La conjecture de Goldbach affirme que tout nombre pair supérieur à $2$ est la somme de deux nombres premiers, comme $10 = 3 + 7$. Des ordinateurs l'ont vérifiée pour tous les nombres pairs jusqu'à $4 \times 10^{18}$, mais elle n'est toujours pas démontrée.