Combien d'exemples faut-il avant de pouvoir faire confiance à une conjecture ?

Aucun nombre d'exemples ne suffit pour être certain. $n^2 + n + 41$ marche $40$ fois puis échoue. Plus d'exemples, et des exemples variés, rendent une conjecture plus crédible, mais seule une démonstration la rend certaine.

Le raisonnement par récurrence est-il une forme de raisonnement inductif ?

Non. Malgré son autre nom d'induction mathématique, c'est une démonstration déductive : tu démontres l'initialisation et tu démontres que chaque cas entraîne le suivant, donc la propriété est certaine pour tous les entiers naturels.

Existe-t-il des conjectures célèbres que personne n'a encore démontrées ?

Oui. La conjecture de Goldbach affirme que tout nombre pair supérieur à $2$ est la somme de deux nombres premiers, comme $10 = 3 + 7$. Des ordinateurs l'ont vérifiée pour tous les nombres pairs jusqu'à $4 \times 10^{18}$, mais elle n'est toujours pas démontrée.

Ressources enseignants

Le raisonnement inductif

Apprends à formuler une conjecture à partir de cas particuliers, à la tester sur de nouveaux cas et à la réfuter par un contre-exemple.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Le raisonnement inductif consiste à observer des cas particuliers, à repérer une régularité et à en tirer une idée générale. Cette idée générale s'appelle une conjecture.

Le raisonnement inductif se déroule en quatre étapes :

1.Observer des cas particuliers : $1 = 1$ , $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$
2.Formuler une conjecture : la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$
3.Tester sur de nouveaux cas : $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$ , toujours vrai
4.La démontrer ou la réfuter : une démonstration prouve qu'elle est toujours vraie, un seul contre-exemple prouve qu'elle est fausse

Une conjecture obtenue par raisonnement inductif est seulement probablement vraie, jamais certaine. L'expression

n^2 + n + 41

donne un nombre premier pour

n = 0, 1, 2, \ldots, 39

, quarante cas de suite, et pourtant pour

n = 40

elle donne

1681 = 41 \times 41

, qui n'est pas premier.

Le raisonnement déductif fait le chemin inverse : il part de faits dont on sait qu'ils sont vrais et arrive à une conclusion qui est forcément vraie. Le raisonnement inductif trouve des idées, le raisonnement déductif les démontre.

Attention aux noms : le raisonnement par récurrence (thème Démonstrations), appelé aussi induction mathématique, est une méthode de démonstration déductive, pas du raisonnement inductif.

Essaie tout de suite

Lequel de ces exemples est un raisonnement inductif ?

Exemples résolus

Additionne les premiers nombres impairs : $1$ , $1 + 3$ , $1 + 3 + 5$ , $1 + 3 + 5 + 7$ . Formule une conjecture et utilise-la pour prévoir la somme des $10$ premiers nombres impairs.

Observe les cas

$1 = 1$ , $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$ , $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ → Sommes : $1, 4, 9, 16$

Cherche une régularité

$1 = 1^2$ , $4 = 2^2$ , $9 = 3^2$ , $16 = 4^2$ → Chaque somme est un carré parfait

Formule une conjecture

Avec $n$ nombres impairs, la somme semble valoir $n \times n$ → Somme des $n$ premiers nombres impairs $= n^2$

Teste-la sur un nouveau cas

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$ → La conjecture résiste au test

Utilise-la pour prévoir

$n = 10$ : $10^2 = 100$

Réponse: Conjecture : la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$ . La somme des $10$ premiers nombres impairs devrait être $100$ (et cette conjecture a bien été démontrée).

Erreurs courantes

Croire qu'une conjecture est démontrée parce qu'elle a marché dans beaucoup de cas

Pourquoi c'est faux: Les exemples peuvent seulement appuyer une conjecture. $n^2 + n + 41$ est premier pour $40$ valeurs de suite et échoue quand même pour $n = 40$ .

Correct: Appelle-la conjecture tant qu'elle n'est pas démontrée. Dis "probablement vrai", pas "vrai".

Croire qu'un seul contre-exemple ne suffit pas pour rejeter une conjecture

Pourquoi c'est faux: Une conjecture affirme quelque chose sur tous les cas. Si un seul cas échoue, l'affirmation "toujours" est fausse.

Correct: Un contre-exemple suffit. $2$ est premier et pair, donc "tous les nombres premiers sont impairs" est faux.

Tester seulement des nombres entiers positifs faciles

Pourquoi c'est faux: Beaucoup de conjectures échouent pour $0$ , pour les nombres négatifs ou pour les fractions. "Élever au carré rend un nombre plus grand" marche pour $2, 3, 10$ mais pas pour $\frac{1}{2}$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ .

Correct: Teste exprès des cas particuliers : $0$ , $1$ , des nombres négatifs, des fractions et de grands nombres.

Confondre le raisonnement par récurrence et le raisonnement inductif

Pourquoi c'est faux: Les deux font penser au mot induction, mais le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration déductive avec une initialisation et une hérédité.

Correct: Le raisonnement inductif formule une conjecture à partir d'exemples. Le raisonnement par récurrence démontre une propriété pour tous les entiers naturels.

Visuel interactif

Explorateur de suites

Premier terme (a₁ = 1)

Raison (d = 2)

11,

13,

, ...

Formule

a_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1

Formule de somme: S_8 = 8/2 × (2×1 + 7×2) = 64

Sommes partielles

S₁ = 1S₂ = 4S₃ = 9S₄ = 16S₅ = 25S₆ = 36S₇ = 49S₈ = 64

a_1

a_5

a_10

a_20

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Lequel de ces exemples est un raisonnement inductif ?

Exercices pratiques: Le raisonnement inductif

1. Lequel de ces exemples est un raisonnement inductif ?
2. Utilise la conjecture "la somme des n premiers nombres impairs vaut n²" pour trouver 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 sans additionner terme à terme.
3. Des points sont disposés en triangles : la figure 1 a 1 point, la figure 2 a 3 points, la figure 3 a 6 points et la figure 4 a 10 points. Si la régularité continue, combien de points la figure 6 a-t-elle ?
4. Quel nombre est un contre-exemple à la conjecture "tous les nombres premiers sont impairs" ?
5. Conjecture : "doubler un nombre le rend toujours plus grand". Quel nombre est égal à son double et est donc un contre-exemple ?
6. Un tournesol mesure 2 cm après la semaine 1, 5 cm après la semaine 2, 8 cm après la semaine 3 et 11 cm après la semaine 4. Si la régularité continue, quelle sera sa hauteur après la semaine 8 (en cm) ?
7. Conjecture : la somme des n premiers nombres impairs vaut n². Teste-la avec n = 5, puis utilise-la pour prévoir la somme des 20 premiers nombres impairs.
8. Tom calcule 1 + 5, 9 + 3 et 15 + 7, obtient chaque fois un nombre pair et conclut : "la somme de deux nombres impairs est toujours paire". Quel type de raisonnement Tom a-t-il utilisé ?
9. Un triangle a 0 diagonale, un quadrilatère 2, un pentagone 5, un hexagone 9, un heptagone 14 et un octogone 20. Prolonge la régularité : combien de diagonales a un ennéagone (9 côtés) ?
10. Observe ces produits : 11 × 11 = 121, 111 × 111 = 12321, 1111 × 1111 = 1234321. Formule une conjecture et prévois 11111 × 11111.
11. Léna affirme : "élever un nombre au carré le rend toujours plus grand". Teste son affirmation avec 1/2 : combien fait (1/2)² ? Écris ta réponse sous forme de fraction.
12. L'expression n² + n + 41 donne un nombre premier pour tout n de 0 à 39. Pour n = 40, elle donne 1681. Quelle affirmation est correcte ?
13. À une fête, chacun serre la main de chaque autre personne exactement une fois. Avec 2 personnes, il y a 1 poignée de main, avec 3 personnes 3, et avec 4 personnes 6. Combien y a-t-il de poignées de main avec 10 personnes ?
14. Teste la conjecture "n² + n + 41 est toujours premier" étape par étape et trouve la valeur qui la réfute pour n = 40.
15. À partir des cas 0, 2, 5, 9 (polygones de 3 à 6 côtés), nous avons conjecturé qu'un polygone à n côtés a (n(n - 3))/2 diagonales. Utilise-la : combien de diagonales a un polygone à 12 côtés ?
16. Sam remarque : 2^2 - 1 = 3, 2^3 - 1 = 7, 2^5 - 1 = 31, 2^7 - 1 = 127, tous premiers. Il conjecture : "si p est premier, alors 2^p - 1 est premier". Quelle valeur de p est un contre-exemple ?
17. Place des points sur un cercle et relie chaque paire de points par un segment. Compte les régions à l'intérieur du cercle : 1 point donne 1 région, 2 points donnent 2, 3 points 4, 4 points 8, 5 points 16. Un dessin soigné avec 6 points, placés de sorte que jamais trois segments ne se coupent en un même point, montre 31 régions. Teste la conjecture du doublement : de combien de régions sa prévision se trompe-t-elle ?
18. Conjecture : "la somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours égale à 3 fois le nombre du milieu". Teste-la de façon inductive, puis utilise la version déductive pour trouver 49 + 50 + 51.

Pourquoi c'est important

La plupart des idées nouvelles commencent par un raisonnement inductif, en mathématiques comme dans la vie :

Météo : les météorologues comparent de nombreux jours passés avec des nuages, un vent et une pression semblables et prévoient ce qui arrivera probablement demain
Sciences : une chercheuse répète une expérience de nombreuses fois et énonce une loi qui correspond à tous les résultats, jusqu'à ce qu'un nouveau résultat la contredise
Mathématiques : de célèbres théorèmes ont commencé comme des conjectures trouvées en testant des exemples ; certaines, comme la conjecture de Goldbach, ne sont toujours pas démontrées
Vie quotidienne : si le bus a été en retard tous les matins cette semaine, tu pars plus tôt demain

Connaître ses limites est tout aussi important : un seul contre-exemple suffit à faire tomber une conjecture, peu importe le nombre d'exemples qui la soutenaient.

Applications dans le monde réel

Prévisions météo

Les météorologues comparent la journée avec de nombreux jours passés qui lui ressemblaient. Ce qui s'est passé le plus souvent ensuite devient la prévision, c'est pourquoi les prévisions donnent des probabilités et non des certitudes.

Exemple:

S'il a plu le lendemain lors de $80$ des $100$ jours passés avec ces nuages et ce vent, la prévision annonce $80\%$ de risque de pluie.

1Essaie par toi-même

La température du matin était de $8°C$ lundi, $10°C$ mardi, $12°C$ mercredi et $14°C$ jeudi.

Si la régularité continue, quelle sera la température samedi matin ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pars des $14$ degrés de jeudi et ajoute $2$ jours de $2$ degrés :

Les expériences en sciences

Les scientifiques répètent des mesures, cherchent une régularité et énoncent une règle. On fait confiance à la règle tant qu'aucune expérience ne la contredit.

Exemple:

Si l'on accroche $1$ , $2$ puis $3$ masses identiques à un ressort, il s'allonge de $3$ cm, $6$ cm et $9$ cm. La conjecture : $3$ cm d'allongement par masse. Avec trop de masses, le ressort s'abîme et la règle ne marche plus.

2Essaie par toi-même

Un ressort s'allonge de $3$ cm avec $1$ masse, de $6$ cm avec $2$ masses et de $9$ cm avec $3$ masses.

D'après la conjecture, de combien s'allongera-t-il avec $7$ masses ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie l'allongement par masse par le nombre de masses :

Organiser un tournoi

Dans un tournoi toutes rondes, chaque équipe rencontre chaque autre équipe une seule fois. Les organisateurs peuvent trouver le nombre de matchs à partir de petits cas et d'une conjecture.

Exemple:

$2$ équipes jouent $1$ match, $3$ équipes $3$ matchs, $4$ équipes $6$ matchs. La conjecture $\frac{n(n - 1)}{2}$ convient aux trois cas, et ici on peut même la démontrer : chacune des $n$ équipes affronte $n - 1$ autres, et chaque match est compté deux fois.

3Essaie par toi-même

Le club d'échecs d'un collège compte $8$ joueurs. Chaque joueur affronte chaque autre joueur exactement une fois.

Combien de parties seront jouées ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise la conjecture $\frac{n(n - 1)}{2}$ avec $n = 8$ :

Points clés

1Le raisonnement inductif va de cas particuliers à une conjecture générale
2Teste une conjecture sur de nouveaux cas, en particulier $0$ , les nombres négatifs, les fractions et les grands nombres
3Beaucoup d'exemples rendent une conjecture probablement vraie, mais ne la démontrent jamais
4Un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'une conjecture est fausse
5Le raisonnement déductif démontre une conjecture : l'inductif trouve l'idée, le déductif la rend certaine
6Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration déductive, pas du raisonnement inductif

Questions fréquentes

Parce que c'est ainsi qu'on trouve des idées qui valent la peine d'être démontrées. Le raisonnement déductif a besoin d'un énoncé de départ, et cet énoncé vient le plus souvent d'une régularité remarquée dans des exemples.

Glossaire

Raisonnement inductif: Raisonnement qui va de cas particuliers à une conclusion générale probablement vraie, mais pas certaine
Conjecture: Énoncé général qui semble vrai d'après des exemples mais qui n'a pas été démontré
Contre-exemple: Un cas pour lequel un énoncé est faux ; il montre que l'énoncé n'est pas toujours vrai
Raisonnement déductif: Raisonnement qui part de faits et de règles connus pour arriver à une conclusion forcément vraie
Démonstration: Argument déductif qui montre qu'un énoncé est vrai dans tous les cas

Carte des formules

Le cycle inductif

\text{observer} \to \text{conjecturer} \to \text{tester} \to \text{démontrer ou réfuter}

Les exemples mènent à une conjecture ; les tests et la démonstration décident si elle tient

Somme des n premiers nombres impairs

1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2

Trouvée par raisonnement inductif à partir d'exemples, démontrée ensuite

Diagonales d'un polygone

d = \frac{n(n - 3)}{2}

Nombre de diagonales d'un polygone à $n$ côtés

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Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Visuel interactif

Explorateur de suites

Formule

Sommes partielles

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Historique

Exercices pratiques

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Prévisions météo

Les expériences en sciences

Organiser un tournoi

Points clés

Questions fréquentes

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Carte des formules

Le cycle inductif

Somme des n premiers nombres impairs

Diagonales d'un polygone

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