Les sophismes courants

Un **sophisme** (ou raisonnement fallacieux) est une erreur de raisonnement : la conclusion **ne découle pas** des prémisses, même si l'argument semble convaincant. Il en existe deux familles. **1. Les sophismes formels** sont des erreurs dans la **forme** d'un argument. Deux d'entre eux viennent des implications $p \to q$. Compare-les avec les deux formes valides : $$\begin{array}{l|c|c|c} \text{Forme} & \text{Prémisses} & \text{Conclusion} & \\ \hline \text{Modus ponens} & p \to q,\ p & q & \text{valide} \\ \text{Modus tollens} & p \to q,\ \neg q & \neg p & \text{valide} \\ \text{Affirmation du conséquent} & p \to q,\ q & p & \text{non valide} \\ \text{Négation de l'antécédent} & p \to q,\ \neg p & \neg q & \text{non valide} \end{array}$$ L'affirmation du conséquent est l'erreur de la réciproque ($q \to p$), et la négation de l'antécédent est l'erreur de l'inverse ($\neg p \to \neg q$). La table de vérité montre pourquoi elles échouent : dans la ligne où $p$ vaut F (faux) et $q$ vaut T (vrai), l'implication $p \to q$ est vraie et $q$ est vraie, donc les deux prémisses sont vraies, mais $p$ est faux. (La table interactive vérifie l'erreur de la réciproque : sa dernière colonne vaut F exactement dans cette ligne. Elle écrit V pour vrai et F pour faux.) **2. Les sophismes informels** sont des erreurs dans le **contenu** d'un argument : - **Argument ad hominem** : attaquer la personne au lieu de son argument. - **Homme de paille** : déformer l'affirmation de l'autre en une version plus faible, puis attaquer celle-ci. - **Faux dilemme** : ne proposer que deux options alors qu'il y en a d'autres. - **Généralisation hâtive** : une règle générale tirée de trop peu de cas. - **Raisonnement circulaire** : la conclusion est cachée dans les prémisses. - **Pente glissante** : prétendre qu'un petit pas mène forcément à une catastrophe. - **Argument d'autorité** : c'est vrai parce qu'une personne célèbre ou puissante l'a dit. - **Corrélation et causalité** : deux choses arrivent ensemble, donc l'une causerait l'autre. **Important :** un sophisme montre que l'argument ne **prouve** pas sa conclusion. La conclusion elle-même peut quand même être vraie ou fausse.

L'affirmation du conséquent

Argument : si un nombre est divisible par 6, alors il est pair. 14 est pair. Donc 14 est divisible par 6. L'argument est-il valide ?

Nomme les parties: $p$ : le nombre est divisible par 6. $q$ : le nombre est pair. = Règle : $p \to q$

Trouve quelle partie est donnée: On nous dit que 14 est pair, donc la conclusion $q$ est donnée, et l'argument en déduit $p$. = Forme : $p \to q,\ q$, donc $p$

Compare avec les formes valides: Le modus ponens a besoin de $p$ comme prémisse, pas de $q$. C'est une affirmation du conséquent. = Forme non valide

Vérifie par un calcul: $14 \div 6 = 2$ reste $2$ = 14 n'est pas divisible par 6

Answer: L'argument n'est pas valide : il affirme le conséquent. 14 est pair mais pas divisible par 6, la conclusion est même fausse ici.

La négation de l'antécédent

Argument : si un nombre est divisible par 4, alors il est pair. 10 n'est pas divisible par 4. Donc 10 n'est pas pair. Trouve l'erreur et corrige l'argument.

Écris la forme: $p$ : divisible par 4. $q$ : pair. À partir de $\neg p$, l'argument conclut $\neg q$. = Négation de l'antécédent

Teste la conclusion: $10 \div 4 = 2{,}5$, mais $10 \div 2 = 5$ = 10 est pair, la conclusion est fausse

Trouve la forme valide: Le modus tollens utilise $\neg q$ : si un nombre n'est pas pair, alors il n'est pas divisible par 4. = $\neg q \to \neg p$ est valide

Corrige l'argument: 15 n'est pas pair. Donc 15 n'est pas divisible par 4. = Un argument valide

Answer: L'argument nie l'antécédent. Le nombre 10 montre que la conclusion peut être fausse. Une version valide part de pas pair, par exemple : 15 n'est pas pair, donc 15 n'est pas divisible par 4.

Un faux dilemme avec zéro

Argument : tout nombre est soit strictement positif, soit strictement négatif. 0 n'est pas strictement positif. Donc 0 est strictement négatif. Qu'est-ce qui ne va pas ?

Trouve la prémisse soit... soit: La première prémisse n'autorise que deux options : strictement positif ou strictement négatif. = Deux options sont proposées

Cherche une option oubliée: $0$ n'est ni strictement positif ni strictement négatif. = Une troisième option existe

Nomme et corrige le sophisme: La prémisse est un faux dilemme. Version correcte : tout nombre est strictement positif, strictement négatif ou nul. = Faux dilemme

Answer: La première prémisse est un faux dilemme, car zéro est une troisième option. Avec la prémisse corrigée, la conclusion 0 est strictement négatif ne découle plus.

Corrélation n'est pas causalité

Dans un collège de 200 élèves, 120 prennent un petit-déjeuner et 90 d'entre eux réussissent le test de maths. Sur les 80 qui n'en prennent pas, 40 réussissent. Affirmation : prendre un petit-déjeuner cause de meilleurs résultats en maths. Vérifie les nombres et le raisonnement.

Taux de réussite avec petit-déjeuner: $\frac{90}{120} \times 100 = 75$ = $75\,\%$

Taux de réussite sans petit-déjeuner: $\frac{40}{80} \times 100 = 50$ = $50\,\%$

Décris ce que montrent les données: Les deux choses vont ensemble : une corrélation de 25 points de pourcentage. = Corrélation, pas preuve

Cherche un troisième facteur caché: Les élèves qui dorment assez ou qui ont un matin calme prennent peut-être plus souvent un petit-déjeuner et travaillent aussi mieux. = Variable confondante possible

Answer: Les taux de réussite sont de $75\,\%$ et $50\,\%$, il y a donc une corrélation. Elle ne prouve pas la causalité : un troisième facteur, comme le sommeil, pourrait expliquer les deux. Un test équitable comparerait des groupes semblables dans une expérience contrôlée.

Ça a marché pour 4 cas

Une élève remarque que $2^n - 1$ est premier pour les nombres premiers $n = 2, 3, 5, 7$ et conclut : si $n$ est premier, alors $2^n - 1$ est toujours premier. Teste l'affirmation avec $n = 11$.

Vérifie les premiers cas: $2^2 - 1 = 3$, $2^3 - 1 = 7$, $2^5 - 1 = 31$, $2^7 - 1 = 127$. = Les quatre sont premiers

Nomme le type de raisonnement: Quatre cas servent à affirmer une règle pour tous les nombres premiers. = Généralisation hâtive

Teste $n = 11$: $2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047$ = $2047$

Décompose le résultat: $2047 = 23 \times 89$ = Pas premier : un contre-exemple

Answer: L'affirmation est une généralisation hâtive. Les quatre premiers nombres premiers fonctionnent, mais pour $n = 11$ on obtient $2047 = 23 \times 89$. Beaucoup d'exemples ne prouvent jamais une règle, un seul contre-exemple suffit à la réfuter.

Les sophismes sont partout, et beaucoup se cachent derrière des nombres : - **Mathématiques** : vérifier une formule sur 4 cas n'est pas une démonstration. Pour les nombres premiers $n = 2, 3, 5, 7$, le nombre $2^n - 1$ est premier, mais pour $n = 11$ on obtient $2047 = 23 \times 89$. - **Actualité et statistiques** : les gros titres transforment souvent une corrélation en cause, ou donnent de grands totaux sans les diviser par la population. - **Publicité** : 8 utilisateurs sur 10 ont adoré ! semble convaincant, jusqu'à ce que tu apprennes que seulement 10 personnes ont été interrogées. - **Débats et réseaux sociaux** : les attaques personnelles et les hommes de paille remplacent les vrais arguments, et les faux dilemmes cachent de meilleures options. - **Sciences** : les chercheurs utilisent des groupes témoins justement parce que corrélation n'est pas causalité. Dès que tu sais nommer un sophisme, tu peux expliquer exactement ce qui manque et comment réparer l'argument.

Mistake: Croire qu'un sophisme prouve que la conclusion est fausse

Why: Un sophisme montre seulement que l'argument ne prouve pas sa conclusion. Prends la règle : si $x = 2$, alors $x^2 = 4$. Conclure $x = 2$ à partir de $x^2 = 4$ n'est pas valide, et pourtant $x$ pourrait valoir $2$.

Correct: Dis que la conclusion ne découle pas. Pour montrer qu'elle est fausse, il faut un contre-exemple, ici $x = -2$.

Mistake: Confondre l'affirmation du conséquent avec le modus ponens

Why: Les deux utilisent $p \to q$ et se ressemblent. La différence est la partie donnée comme prémisse.

Correct: Si $p$ est donné, tu peux conclure $q$ (valide). Si $q$ est donné, tu ne peux pas conclure $p$ (affirmation du conséquent).

Mistake: Prendre beaucoup d'exemples pour une démonstration

Why: Vérifier 3 cas, ou même 100, reste une généralisation hâtive si l'affirmation porte sur tous les nombres.

Correct: Utilise les exemples pour formuler une conjecture, puis démontre-la avec un raisonnement qui couvre tous les cas, ou trouve un contre-exemple.

Mistake: Qualifier toute mention d'un expert d'argument d'autorité

Why: Citer un expert compétent avec des preuves est normal. Le sophisme consiste à utiliser un nom à la place des preuves, surtout en dehors du domaine de la personne.

Correct: Demande-toi : cette personne est-elle experte de ce sujet précis, et quelles preuves soutiennent l'affirmation ?

Les promesses publicitaires

La publicité adore les pourcentages et les visages connus. Un petit échantillon et une célébrité, c'est une généralisation hâtive et un argument d'autorité réunis.

Une pub dit : 80 % des utilisateurs ont de meilleures notes, affirme un footballeur célèbre ! Le joueur n'est pas un expert de l'apprentissage, et les 80 % viennent peut-être de très peu de personnes.

Gros titres et totaux

Les gros titres comparent souvent des totaux sans les diviser par la taille du groupe. Les grandes villes ont de gros totaux pour presque tout.

La ville A compte 4000 décès par an et la ville B seulement 300, alors un journal titre : la ville A est bien plus dangereuse. Mais la ville A a 2000000 d'habitants et la ville B 100000.

Les statistiques de la sécurité routière

Une affirmation célèbre dit que la plupart des accidents ont lieu près de chez soi, donc que conduire près de chez soi est dangereux. Elle ignore le taux de base : la part de la conduite qui se fait près de chez soi.

Si 85 % de tous les kilomètres sont parcourus près de chez soi, on s'attend à y trouver environ 85 % des accidents, même si le risque était le même partout.

Un sophisme est une erreur de raisonnement : la conclusion ne découle pas des prémisses

L'affirmation du conséquent ($p \to q$, $q$, donc $p$) et la négation de l'antécédent ($p \to q$, $\neg p$, donc $\neg q$) sont des formes non valides

Le modus ponens ($p \to q$, $p$, donc $q$) et le modus tollens ($p \to q$, $\neg q$, donc $\neg p$) sont les formes valides

Parmi les sophismes informels : l'argument ad hominem, l'homme de paille, le faux dilemme, la généralisation hâtive, le raisonnement circulaire, la pente glissante et l'argument d'autorité

Corrélation n'est pas causalité : cherche un troisième facteur et compare des taux, pas des totaux

Des exemples ne prouvent jamais une règle générale, mais un seul contre-exemple la réfute

Q: Si un argument contient un sophisme, sa conclusion est-elle fausse ?

A: Pas forcément. Le sophisme montre que l'argument ne prouve pas la conclusion. Elle peut quand même être vraie pour d'autres raisons, il te faut donc un contre-exemple pour montrer qu'elle est fausse.

Q: Quelle est la différence entre un sophisme formel et un sophisme informel ?

A: Un sophisme formel est faux à cause de sa structure, quel que soit le sujet : l'affirmation du conséquent n'est pas valide pour les nombres, la météo ou n'importe quoi d'autre. Un sophisme informel est faux à cause de son contenu, comme une option oubliée ou une attaque contre une personne.

Q: Combien de cas dois-je vérifier pour démontrer une règle ?

A: Aucun nombre de cas ne suffit pour une règle portant sur une infinité de nombres. $2^n - 1$ est premier pour les nombres premiers $n = 2, 3, 5, 7$ et échoue quand même pour $n = 11$. Les exemples t'aident à deviner, une démonstration rend la règle certaine.

Q: Comment distinguer corrélation et causalité ?

A: Pose trois questions : un troisième facteur pourrait-il causer les deux, la cause pourrait-elle aller dans l'autre sens, et y a-t-il eu une expérience contrôlée ? Sans comparaison équitable, une corrélation montre seulement que deux choses arrivent ensemble.

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Les sophismes courants

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Logique & Ensembles / Raisonnement logique

Les sophismes courants

Apprends à repérer et à corriger les sophismes les plus courants, de l'affirmation du conséquent à la confusion entre corrélation et causalité, avec des exemples mathématiques.

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