Quelle est la différence entre un sophisme formel et un sophisme informel ?

Un sophisme formel est faux à cause de sa structure, quel que soit le sujet : l'affirmation du conséquent n'est pas valide pour les nombres, la météo ou n'importe quoi d'autre. Un sophisme informel est faux à cause de son contenu, comme une option oubliée ou une attaque contre une personne.

Combien de cas dois-je vérifier pour démontrer une règle ?

Aucun nombre de cas ne suffit pour une règle portant sur une infinité de nombres. $2^n - 1$ est premier pour les nombres premiers $n = 2, 3, 5, 7$ et échoue quand même pour $n = 11$. Les exemples t'aident à deviner, une démonstration rend la règle certaine.

Comment distinguer corrélation et causalité ?

Pose trois questions : un troisième facteur pourrait-il causer les deux, la cause pourrait-elle aller dans l'autre sens, et y a-t-il eu une expérience contrôlée ? Sans comparaison équitable, une corrélation montre seulement que deux choses arrivent ensemble.

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Les sophismes courants

Apprends à repérer et à corriger les sophismes les plus courants, de l'affirmation du conséquent à la confusion entre corrélation et causalité, avec des exemples mathématiques.

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Définition

Un sophisme (ou raisonnement fallacieux) est une erreur de raisonnement : la conclusion ne découle pas des prémisses, même si l'argument semble convaincant. Il en existe deux familles.

1. Les sophismes formels sont des erreurs dans la forme d'un argument. Deux d'entre eux viennent des implications

p \to q

. Compare-les avec les deux formes valides :

\begin{array}{l|c|c|c} \text{Forme} & \text{Prémisses} & \text{Conclusion} & \\ \hline \text{Modus ponens} & p \to q,\ p & q & \text{valide} \\ \text{Modus tollens} & p \to q,\ \neg q & \neg p & \text{valide} \\ \text{Affirmation du conséquent} & p \to q,\ q & p & \text{non valide} \\ \text{Négation de l'antécédent} & p \to q,\ \neg p & \neg q & \text{non valide} \end{array}

L'affirmation du conséquent est l'erreur de la réciproque (

q \to p

), et la négation de l'antécédent est l'erreur de l'inverse (

\neg p \to \neg q

). La table de vérité montre pourquoi elles échouent : dans la ligne où

p

vaut F (faux) et

q

vaut T (vrai), l'implication

p \to q

est vraie et

q

est vraie, donc les deux prémisses sont vraies, mais

p

est faux. (La table interactive vérifie l'erreur de la réciproque : sa dernière colonne vaut F exactement dans cette ligne. Elle écrit V pour vrai et F pour faux.)

2. Les sophismes informels sont des erreurs dans le contenu d'un argument :

Argument ad hominem : attaquer la personne au lieu de son argument.
Homme de paille : déformer l'affirmation de l'autre en une version plus faible, puis attaquer celle-ci.
Faux dilemme : ne proposer que deux options alors qu'il y en a d'autres.
Généralisation hâtive : une règle générale tirée de trop peu de cas.
Raisonnement circulaire : la conclusion est cachée dans les prémisses.
Pente glissante : prétendre qu'un petit pas mène forcément à une catastrophe.
Argument d'autorité : c'est vrai parce qu'une personne célèbre ou puissante l'a dit.
Corrélation et causalité : deux choses arrivent ensemble, donc l'une causerait l'autre.

Important : un sophisme montre que l'argument ne prouve pas sa conclusion. La conclusion elle-même peut quand même être vraie ou fausse.

Essaie tout de suite

Argument : s'il pleut, le sol est mouillé. Le sol est mouillé. Donc il a plu. De quel sophisme s'agit-il ?

Exemples résolus

Argument : si un nombre est divisible par 6, alors il est pair. 14 est pair. Donc 14 est divisible par 6. L'argument est-il valide ?

Nomme les parties

$p$ : le nombre est divisible par 6. $q$ : le nombre est pair. → Règle : $p \to q$

Trouve quelle partie est donnée

On nous dit que 14 est pair, donc la conclusion $q$ est donnée, et l'argument en déduit $p$ . → Forme : $p \to q,\ q$ , donc $p$

Compare avec les formes valides

Le modus ponens a besoin de $p$ comme prémisse, pas de $q$ . C'est une affirmation du conséquent. → Forme non valide

Vérifie par un calcul

$14 \div 6 = 2$ reste $2$ → 14 n'est pas divisible par 6

Réponse: L'argument n'est pas valide : il affirme le conséquent. 14 est pair mais pas divisible par 6, la conclusion est même fausse ici.

Erreurs courantes

Croire qu'un sophisme prouve que la conclusion est fausse

Pourquoi c'est faux: Un sophisme montre seulement que l'argument ne prouve pas sa conclusion. Prends la règle : si $x = 2$ , alors $x^2 = 4$ . Conclure $x = 2$ à partir de $x^2 = 4$ n'est pas valide, et pourtant $x$ pourrait valoir $2$ .

Correct: Dis que la conclusion ne découle pas. Pour montrer qu'elle est fausse, il faut un contre-exemple, ici $x = -2$ .

Confondre l'affirmation du conséquent avec le modus ponens

Pourquoi c'est faux: Les deux utilisent $p \to q$ et se ressemblent. La différence est la partie donnée comme prémisse.

Correct: Si $p$ est donné, tu peux conclure $q$ (valide). Si $q$ est donné, tu ne peux pas conclure $p$ (affirmation du conséquent).

Prendre beaucoup d'exemples pour une démonstration

Pourquoi c'est faux: Vérifier 3 cas, ou même 100, reste une généralisation hâtive si l'affirmation porte sur tous les nombres.

Correct: Utilise les exemples pour formuler une conjecture, puis démontre-la avec un raisonnement qui couvre tous les cas, ou trouve un contre-exemple.

Qualifier toute mention d'un expert d'argument d'autorité

Pourquoi c'est faux: Citer un expert compétent avec des preuves est normal. Le sophisme consiste à utiliser un nom à la place des preuves, surtout en dehors du domaine de la personne.

Correct: Demande-toi : cette personne est-elle experte de ce sujet précis, et quelles preuves soutiennent l'affirmation ?

Visuel interactif

Table de vérité

Expression(p → q) ∧ q → p

p	q	p → q	(p → q) ∧ q	(p → q) ∧ q → p
F	F	V	F	V
F	V	V	V	F
V	F	F	F	V
V	V	V	V	V

V= VraiF= Faux

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Argument : s'il pleut, le sol est mouillé. Le sol est mouillé. Donc il a plu. De quel sophisme s'agit-il ?

Exercices pratiques: Les sophismes courants

1. Argument : s'il pleut, le sol est mouillé. Le sol est mouillé. Donc il a plu. De quel sophisme s'agit-il ?
2. Une pub dit : 4 utilisateurs sur 5 ont amélioré leurs notes ! Combien font 4 sur 5 en pourcentage ?
3. Argument : si x = 4, alors x² = 16. On sait que x² = 16. Donc x = 4. Trouve un contre-exemple.
4. Maya montre que x = 5 est solution de 2x + 3 = 13. Léo répond : ne l'écoute pas, elle a raté le dernier contrôle. Quel sophisme Léo utilise-t-il ?
5. Après avoir vérifié 3, 5 et 7, Tom affirme : tout nombre impair supérieur à 1 est premier. Quel est le plus petit nombre impair supérieur à 1 qui lui donne tort ?
6. Argument : tout entier est soit strictement positif, soit strictement négatif. Trouve l'option que ce faux dilemme oublie.
7. Ana : on devrait vérifier notre réponse avec une deuxième méthode. Ben : donc tu penses qu'on ne peut jamais faire confiance à aucun calcul ? C'est ridicule. Quel sophisme Ben utilise-t-il ?
8. Un collège compte 500 élèves, dont 450 utilisent l'application StudyFast. 60 élèves ont eu la meilleure note en maths, et 54 d'entre eux utilisent l'application. Une pub dit : 90 % des meilleurs élèves utilisent StudyFast, donc l'application donne de meilleures notes ! Quel pourcentage des utilisateurs de l'application a eu la meilleure note ?
9. Argument : si un nombre est un multiple de 10, alors c'est un multiple de 5. 15 n'est pas un multiple de 10. Donc 15 n'est pas un multiple de 5. Montre que l'argument échoue.
10. Affirmation : cette formule est juste parce qu'elle donne toujours les bons résultats, et on sait que les résultats sont bons parce qu'ils viennent de cette formule. De quel sophisme s'agit-il ?
11. Règle : si un nombre est divisible par 6, alors il est pair. Quelqu'un affirme le conséquent et considère tout nombre pair comme divisible par 6. Combien de nombres pairs de 1 à 20 sont des contre-exemples (pairs mais pas divisibles par 6) ?
12. Dans une classe de 40 élèves, 25 jouent d'un instrument et 20 d'entre eux ont plus de 80 points en maths. Sur les 15 qui n'en jouent pas, 6 ont plus de 80 points. Affirmation : jouer d'un instrument rend meilleur en maths. Compare les deux groupes.
13. Une pente glissante : si tu sautes un devoir, tu vas prendre du retard, puis rater le prochain contrôle, puis rater toute l'année. Suppose que chacune de ces trois étapes arrive vraiment avec une probabilité de 0,5, de façon indépendante. Quelle est la probabilité, en pourcentage, que les trois arrivent ?
14. Argument : si un nombre se termine par 0, alors il est divisible par 5. 35 est divisible par 5. Donc 35 se termine par 0. Vérifie l'argument.
15. Argument : si un nombre est divisible par 9, alors il est divisible par 3. 21 n'est pas divisible par 9. Donc 21 n'est pas divisible par 3. Quelle affirmation est correcte ?
16. Une élève teste n² - n + 11 pour n = 1 à 10 et n'obtient que des nombres premiers : 11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 101. Elle affirme que le résultat est toujours premier. Que vaut n² - n + 11 pour n = 11 ?
17. Un gros titre annonce : le risque double ! Un effet secondaire passe de 1 personne sur 10000 à 2 personnes sur 10000. Découvre l'ampleur réelle du changement.
18. Une maladie touche 20 personnes sur 1000. Un test est positif pour 18 des 20 malades, et par erreur aussi pour 42 des 980 personnes en bonne santé. Affirmation : le test détecte 90 % des malades, donc un résultat positif signifie 90 % de chances d'être malade. Quelle est la vraie probabilité, en pourcentage ?

Pourquoi c'est important

Les sophismes sont partout, et beaucoup se cachent derrière des nombres :

Mathématiques : vérifier une formule sur 4 cas n'est pas une démonstration. Pour les nombres premiers $n = 2, 3, 5, 7$ , le nombre $2^n - 1$ est premier, mais pour $n = 11$ on obtient $2047 = 23 \times 89$ .
Actualité et statistiques : les gros titres transforment souvent une corrélation en cause, ou donnent de grands totaux sans les diviser par la population.
Publicité : 8 utilisateurs sur 10 ont adoré ! semble convaincant, jusqu'à ce que tu apprennes que seulement 10 personnes ont été interrogées.
Débats et réseaux sociaux : les attaques personnelles et les hommes de paille remplacent les vrais arguments, et les faux dilemmes cachent de meilleures options.
Sciences : les chercheurs utilisent des groupes témoins justement parce que corrélation n'est pas causalité.

Dès que tu sais nommer un sophisme, tu peux expliquer exactement ce qui manque et comment réparer l'argument.

Applications dans le monde réel

Les promesses publicitaires

La publicité adore les pourcentages et les visages connus. Un petit échantillon et une célébrité, c'est une généralisation hâtive et un argument d'autorité réunis.

Exemple:

Une pub dit : 80 % des utilisateurs ont de meilleures notes, affirme un footballeur célèbre ! Le joueur n'est pas un expert de l'apprentissage, et les 80 % viennent peut-être de très peu de personnes.

1Essaie par toi-même

Une application de révision a 5000 utilisateurs. Les 80 % de la pub viennent d'un sondage auprès de 10 utilisateurs, dont 8 ont répondu oui.

Quel pourcentage de tous les utilisateurs a vraiment été interrogé ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la part des utilisateurs interrogés, en pourcentage :

Gros titres et totaux

Les gros titres comparent souvent des totaux sans les diviser par la taille du groupe. Les grandes villes ont de gros totaux pour presque tout.

Exemple:

La ville A compte 4000 décès par an et la ville B seulement 300, alors un journal titre : la ville A est bien plus dangereuse. Mais la ville A a 2000000 d'habitants et la ville B 100000.

2Essaie par toi-même

Ville A : 2000000 d'habitants, 4000 décès par an. Ville B : 100000 habitants, 300 décès par an. Compare les taux pour 1000 habitants.

Quelle ville a le taux de mortalité le plus élevé pour 1000 habitants ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le taux pour 1000 habitants de la ville A :

Les statistiques de la sécurité routière

Une affirmation célèbre dit que la plupart des accidents ont lieu près de chez soi, donc que conduire près de chez soi est dangereux. Elle ignore le taux de base : la part de la conduite qui se fait près de chez soi.

Exemple:

Si 85 % de tous les kilomètres sont parcourus près de chez soi, on s'attend à y trouver environ 85 % des accidents, même si le risque était le même partout.

3Essaie par toi-même

Dans une région, 700 accidents sur 1000 ont lieu à moins de 10 km du domicile, et 85 % de toute la conduite se fait à moins de 10 km du domicile.

Les données montrent-elles que conduire près de chez soi est plus dangereux ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre d'accidents attendus près de chez soi si le risque était le même partout :

Points clés

1Un sophisme est une erreur de raisonnement : la conclusion ne découle pas des prémisses
2L'affirmation du conséquent ( $p \to q$ , $q$ , donc $p$ ) et la négation de l'antécédent ( $p \to q$ , $\neg p$ , donc $\neg q$ ) sont des formes non valides
3Le modus ponens ( $p \to q$ , $p$ , donc $q$ ) et le modus tollens ( $p \to q$ , $\neg q$ , donc $\neg p$ ) sont les formes valides
4Parmi les sophismes informels : l'argument ad hominem, l'homme de paille, le faux dilemme, la généralisation hâtive, le raisonnement circulaire, la pente glissante et l'argument d'autorité
5Corrélation n'est pas causalité : cherche un troisième facteur et compare des taux, pas des totaux
6Des exemples ne prouvent jamais une règle générale, mais un seul contre-exemple la réfute

Questions fréquentes

Pas forcément. Le sophisme montre que l'argument ne prouve pas la conclusion. Elle peut quand même être vraie pour d'autres raisons, il te faut donc un contre-exemple pour montrer qu'elle est fausse.

Glossaire

Sophisme: Une erreur de raisonnement qui empêche un argument de prouver sa conclusion
Sophisme formel: Une erreur dans la forme d'un argument, par exemple l'affirmation du conséquent
Sophisme informel: Une erreur dans le contenu d'un argument, par exemple un homme de paille ou un faux dilemme
Affirmation du conséquent: La forme non valide $p \to q$ , $q$ , donc $p$
Négation de l'antécédent: La forme non valide $p \to q$ , $\neg p$ , donc $\neg q$
Variable confondante (facteur caché): Un troisième facteur caché qui agit sur deux choses et les fait paraître liées

Carte des formules

Modus ponens (valide)

p \to q,\ p \ \therefore\ q

L'hypothèse est donnée, donc la conclusion suit

Modus tollens (valide)

p \to q,\ \neg q \ \therefore\ \neg p

La conclusion est fausse, donc l'hypothèse est fausse

Affirmation du conséquent (non valide)

p \to q,\ q \ \therefore\ p

L'erreur de la réciproque : $q$ peut être vraie alors que $p$ est fausse

Négation de l'antécédent (non valide)

p \to q,\ \neg p \ \therefore\ \neg q

L'erreur de l'inverse : $q$ peut être vraie alors que $p$ est fausse

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Gros titres et totaux

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Points clés

Questions fréquentes

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Carte des formules

Modus ponens (valide)

Modus tollens (valide)

Affirmation du conséquent (non valide)

Négation de l'antécédent (non valide)

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