Les parties d'un syllogisme, et valide ne veut pas dire vrai

Tous les oiseaux peuvent voler. Tous les manchots sont des oiseaux. Donc tous les manchots peuvent voler. Nomme les trois termes et les deux prémisses. Le raisonnement est-il valide ? La conclusion est-elle vraie ?

Trouve le petit et le grand terme dans la conclusion: Conclusion : tous les manchots (sujet) sont des animaux qui peuvent voler (prédicat) = $S$ = manchots, $P$ = animaux qui peuvent voler

Trouve le moyen terme: Le terme présent dans les deux prémisses mais pas dans la conclusion est oiseaux = $M$ = oiseaux

Nomme les prémisses: Tous les oiseaux peuvent voler contient $P$ ; tous les manchots sont des oiseaux contient $S$ = Majeure : tous les oiseaux peuvent voler. Mineure : tous les manchots sont des oiseaux.

Écris la forme avec des lettres: Tous les $M$ sont $P$, tous les $S$ sont $M$, donc tous les $S$ sont $P$ = La forme valide classique : le raisonnement est valide

Vérifie si les prémisses sont vraies: La majeure est fausse : les manchots et les autruches sont des oiseaux qui ne volent pas = Valide mais pas fondé, et la conclusion est fausse

Answer: $S$ = manchots, $P$ = animaux qui peuvent voler, $M$ = oiseaux. Le raisonnement est valide (bonne forme), mais la majeure est fausse : il n'est donc pas fondé et sa conclusion est fausse.

Vérifier une forme valide avec le diagramme de Venn

Aucun poisson n'est un mammifère. Tous les requins sont des poissons. Donc aucun requin n'est un mammifère. Teste le raisonnement avec le diagramme à 8 régions.

Attribue les lettres: Conclusion : aucun requin n'est un mammifère = $S$ = requins, $P$ = mammifères, $M$ = poissons

Hachure pour aucun $M$ n'est $P$: L'intersection de $M$ et $P$, ce sont les régions 6 et 7 = Les régions 6 et 7 sont vides

Hachure pour tous les $S$ sont $M$: La partie de $S$ en dehors de $M$, ce sont les régions 1 et 5 = Les régions 1 et 5 sont vides

Lis la conclusion aucun $S$ n'est $P$: L'intersection de $S$ et $P$, ce sont les régions 5 et 7, et les deux sont déjà hachurées = Le diagramme montre la conclusion

Answer: Le raisonnement est valide : après avoir hachuré les régions 1, 5, 6 et 7, toute l'intersection des requins et des mammifères (régions 5 et 7) est vide.

Le moyen terme non distribué

Tous les carrés sont des parallélogrammes. Tous les rectangles sont des parallélogrammes. Donc tous les rectangles sont des carrés. Trouve l'erreur.

Attribue les lettres: Conclusion : tous les rectangles sont des carrés = $S$ = rectangles, $P$ = carrés, $M$ = parallélogrammes

Hachure pour tous les $P$ sont $M$: La partie de $P$ en dehors de $M$, ce sont les régions 3 et 5 = Les régions 3 et 5 sont vides

Hachure pour tous les $S$ sont $M$: La partie de $S$ en dehors de $M$, ce sont les régions 1 et 5 = Les régions 1 et 5 sont vides

Lis la conclusion tous les $S$ sont $P$: Il faudrait que les régions 1 et 4 soient vides, mais la région 4 n'est pas hachurée = Le diagramme ne montre pas la conclusion

Donne un contre-exemple pour la région 4: Un rectangle de côtés $4$ et $2$ est un parallélogramme mais pas un carré = Non valide : moyen terme non distribué

Answer: Non valide. Les deux prémisses disent seulement que les carrés et les rectangles sont quelque part à l'intérieur des parallélogrammes ; elles ne relient jamais les carrés aux rectangles. Cette erreur s'appelle le moyen terme non distribué.

Un syllogisme avec certains

Tous les membres du club d'échecs sont bons en énigmes. Certains élèves de la classe 9B sont membres du club d'échecs. Quelle conclusion en découle : tous les élèves de 9B sont bons en énigmes, ou certains élèves de 9B sont bons en énigmes ?

Attribue les lettres: $S$ = élèves de 9B, $P$ = bons en énigmes, $M$ = membres du club d'échecs = Prémisses : tous les $M$ sont $P$, certains $S$ sont $M$

Hachure d'abord la prémisse avec tous: Tous les $M$ sont $P$ : la partie de $M$ en dehors de $P$, ce sont les régions 2 et 4 = Les régions 2 et 4 sont vides

Place le x pour certains $S$ sont $M$: L'intersection de $S$ et $M$, ce sont les régions 4 et 7, et la région 4 est hachurée = Le x doit aller dans la région 7

Teste certains $S$ sont $P$: La région 7 est à la fois dans $S$ et dans $P$ = Certains $S$ sont $P$ est montré

Teste tous les $S$ sont $P$: Il faudrait que les régions 1 et 4 soient vides, mais la région 1 n'est pas hachurée = Tous les $S$ sont $P$ n'est pas montré

Answer: Seule la conclusion "certains élèves de 9B sont bons en énigmes" en découle. Les prémisses ne disent rien des élèves de 9B qui ne sont pas au club d'échecs.

Enchaîner des énoncés si-alors

Prémisses : si $n$ est divisible par $12$, alors $n$ est divisible par $6$. Si $n$ est divisible par $6$, alors $n$ est divisible par $3$. Si $n$ est divisible par $3$, alors la somme des chiffres de $n$ est divisible par $3$. Qu'en déduit-on, et que dit cette conclusion de $n = 84$ et de $n = 98$ ?

Nomme les énoncés: $p$ : divisible par $12$, $q$ : divisible par $6$, $r$ : divisible par $3$, $s$ : somme des chiffres divisible par $3$ = $p \to q$, $q \to r$, $r \to s$

Relie les deux premières: $p \to q$ et $q \to r$ = $p \to r$

Relie le résultat à la troisième prémisse: $p \to r$ et $r \to s$ = $p \to s$

Vérifie $n = 84$: $84 = 12 \times 7$, et la somme des chiffres vaut $8 + 4 = 12 = 3 \times 4$ = Comme prévu, la somme des chiffres est divisible par $3$

Utilise la contraposée pour $n = 98$: La somme des chiffres $9 + 8 = 17$ n'est pas divisible par $3$, et $\neg s \to \neg p$ = $98$ n'est pas divisible par $12$

Answer: Si $n$ est divisible par $12$, alors la somme des chiffres de $n$ est divisible par $3$ ($p \to s$). Pour $84$, c'est vérifié ($8 + 4 = 12$). Comme la somme des chiffres de $98$ vaut $17$, la contraposée montre que $98$ n'est pas divisible par $12$.

Mistake: Dire qu'un raisonnement est valide parce que sa conclusion est vraie

Why: La validité dépend de la forme, pas des faits. "Toutes les roses sont des fleurs. Certaines fleurs fanent vite. Donc certaines roses fanent vite." a une conclusion crédible, mais la forme n'est pas valide : les fleurs qui fanent vite pourraient toutes être des tulipes.

Correct: Remplace les mots par $S$, $M$, $P$ et teste la forme avec le diagramme de Venn. Ce n'est qu'ensuite que tu te demandes si les prémisses sont vraies.

Mistake: Relier deux groupes par un moyen terme qui n'apparaît que sous la forme "sont $M$" (moyen terme non distribué)

Why: Tous les $S$ sont $M$ et tous les $P$ sont $M$ placent seulement $S$ et $P$ quelque part dans $M$. Ils peuvent se trouver dans des parties de $M$ complètement différentes, comme les chats et les chiens parmi les mammifères.

Correct: Le moyen terme doit couvrir tout son groupe au moins une fois : il doit être le sujet d'un énoncé avec tous ou aucun, ou le prédicat d'un énoncé avec aucun ou certains ne sont pas.

Mistake: Tirer une conclusion de deux prémisses avec certains

Why: Certains $S$ sont $M$ et certains $M$ sont $P$ peuvent parler d'éléments différents de $M$. Avec $S = \{1, 2\}$, $M = \{2, 3\}$, $P = \{3, 4\}$, les deux prémisses sont vraies, mais aucun élément de $S$ n'est dans $P$.

Correct: Au moins une prémisse doit être universelle (tous ou aucun). Deux prémisses particulières, ou deux prémisses négatives, ne donnent jamais de conclusion.

Mistake: Inverser un énoncé avec tous

Why: Tous les carrés sont des rectangles ne veut pas dire que tous les rectangles sont des carrés. Dans le diagramme, tous les $S$ sont $P$ vide seulement la partie de $S$ en dehors de $P$ ; la partie de $P$ en dehors de $S$ peut encore contenir des éléments.

Correct: On peut inverser les énoncés avec aucun et certains (aucun $S$ n'est $P$ signifie aucun $P$ n'est $S$ ; certains $S$ sont $P$ signifie certains $P$ sont $S$), mais pas ceux avec tous ou certains ne sont pas.

Clubs scolaires et sondages

Quand une école compte les membres de ses clubs, des énoncés comme "tous les membres du club de robotique sont au club de maths" indiquent quelles régions du diagramme de Venn sont vides. Tu peux alors compter sans compter personne deux fois.

Aucun membre du club de théâtre n'est au club de maths, et tous les membres du club de robotique sont au club de maths. D'après le syllogisme (aucun $M$ n'est $P$, tous les $S$ sont $M$), aucun membre du club de robotique n'est au club de théâtre.

Filtres de recherche dans les boutiques en ligne

Les catégories d'une boutique forment des groupes dans des groupes. Si chaque article imperméable est aussi un article de plein air, le filtre plein air contient déjà tous les articles imperméables : c'est le syllogisme tous les $S$ sont $M$, tous les $M$ sont $P$ en action.

Toutes les vestes de pluie de la boutique sont des articles imperméables, et tous les articles imperméables sont des articles de plein air. Donc toutes les vestes de pluie apparaissent dans le filtre plein air.

Filtres de courriels et chaînes de règles

Les logiciels de messagerie suivent des chaînes de règles si-alors. Le syllogisme hypothétique ($p \to q$, $q \to r$, donc $p \to r$) te dit où un message va finir sans suivre chaque règle une par une.

Si un courriel contient un lien d'un expéditeur inconnu, il est signalé. Si un courriel est signalé, il va en quarantaine. Donc tout courriel contenant un lien d'un expéditeur inconnu va en quarantaine.

Q: Un syllogisme valide peut-il avoir une conclusion fausse ?

A: Oui, si au moins une prémisse est fausse. "Tous les oiseaux peuvent voler, tous les manchots sont des oiseaux, donc tous les manchots peuvent voler" est valide mais a une conclusion fausse. Ce qui est impossible, c'est un raisonnement valide avec des prémisses vraies et une conclusion fausse.

Q: Est-ce que "certains" veut dire "pas tous" ?

A: Non. En logique, certains $S$ sont $P$ signifie qu'au moins un $S$ est $P$, et l'énoncé reste vrai si tous les $S$ sont $P$. Certains $S$ sont $P$ n'entraîne pas certains $S$ ne sont pas $P$.

Q: De tous les $M$ sont $P$ et tous les $S$ sont $M$, puis-je conclure que certains $S$ sont $P$ ?

A: Seulement si tu sais que $S$ a au moins un élément. En logique moderne, tous les $S$ sont $P$ n'affirme pas qu'il existe un $S$ (toutes les licornes sont des animaux est vrai, même s'il n'existe aucune licorne). Le diagramme de Venn le montre : les prémisses hachurent des régions mais ne placent aucun x.

Q: Combien existe-t-il de syllogismes catégoriques valides ?

A: Chacun des trois énoncés a l'un des quatre types ($4 \times 4 \times 4 = 64$ combinaisons), et le moyen terme peut occuper quatre positions différentes, ce qui donne $64 \times 4 = 256$ formes. Seules $15$ d'entre elles sont valides en logique moderne ($24$ si l'on suppose que chaque groupe a au moins un élément). C'est pourquoi un test avec le diagramme est plus sûr que de se fier à la façon dont un argument sonne.