Est-ce que "certains" veut dire "pas tous" ?

Non. En logique, certains $S$ sont $P$ signifie qu'au moins un $S$ est $P$, et l'énoncé reste vrai si tous les $S$ sont $P$. Certains $S$ sont $P$ n'entraîne pas certains $S$ ne sont pas $P$.

De tous les $M$ sont $P$ et tous les $S$ sont $M$, puis-je conclure que certains $S$ sont $P$ ?

Seulement si tu sais que $S$ a au moins un élément. En logique moderne, tous les $S$ sont $P$ n'affirme pas qu'il existe un $S$ (toutes les licornes sont des animaux est vrai, même s'il n'existe aucune licorne). Le diagramme de Venn le montre : les prémisses hachurent des régions mais ne placent aucun x.

Combien existe-t-il de syllogismes catégoriques valides ?

Chacun des trois énoncés a l'un des quatre types ($4 \times 4 \times 4 = 64$ combinaisons), et le moyen terme peut occuper quatre positions différentes, ce qui donne $64 \times 4 = 256$ formes. Seules $15$ d'entre elles sont valides en logique moderne ($24$ si l'on suppose que chaque groupe a au moins un élément). C'est pourquoi un test avec le diagramme est plus sûr que de se fier à la façon dont un argument sonne.

Ressources enseignants

Les syllogismes

Découvre les quatre énoncés catégoriques et les parties d'un syllogisme, puis teste la validité avec des diagrammes de Venn et le syllogisme hypothétique.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un syllogisme est un raisonnement déductif avec exactement deux prémisses et une conclusion. Un syllogisme catégorique parle de groupes et utilise exactement trois termes :

le petit terme $S$ : le sujet de la conclusion
le grand terme $P$ : le prédicat de la conclusion
le moyen terme $M$ : il apparaît dans les deux prémisses mais jamais dans la conclusion

La prémisse qui contient

P

s'appelle la majeure, la prémisse qui contient

S

s'appelle la mineure.

Chaque énoncé d'un syllogisme catégorique a l'une des quatre formes suivantes (les lettres A, E, I, O sont les codes traditionnels, tirés des mots latins *affirmo*, j'affirme, et *nego*, je nie : A et I affirment, E et O nient) :

Code	Énoncé	Ce qu'il dit des groupes
A	Tous les $S$ sont $P$	aucun élément de $S$ n'est en dehors de $P$
E	Aucun $S$ n'est $P$	$S$ et $P$ n'ont aucun élément commun
I	Certains $S$ sont $P$	au moins un élément est à la fois dans $S$ et dans $P$
O	Certains $S$ ne sont pas $P$	au moins un élément de $S$ est en dehors de $P$

Tester la validité avec un diagramme de Venn. Dessine trois cercles qui se chevauchent,

S

M

P

. Ils forment 8 régions :

Région	À l'intérieur de	À l'extérieur de
1	$S$	$M$ , $P$
2	$M$	$S$ , $P$
3	$P$	$S$ , $M$
4	$S$ , $M$	$P$
5	$S$ , $P$	$M$
6	$M$ , $P$	$S$
7	$S$ , $M$ , $P$	aucun
8	aucun	$S$ , $M$ , $P$

Hachure d'abord (marque comme vide) chaque région exclue par une prémisse avec tous ou aucun. Place ensuite un x pour chaque prémisse avec certains, mais seulement là où le x est forcé dans une seule région. Le syllogisme est valide si le diagramme terminé montre déjà la conclusion, sans rien dessiner de plus.

Forme valide classique :

\text{Tous les } M \text{ sont } P,\quad \text{tous les } S \text{ sont } M \quad\Rightarrow\quad \text{tous les } S \text{ sont } P

La même chaîne fonctionne pour les énoncés si-alors. C'est le syllogisme hypothétique (transitivité de l'implication) :

p \to q,\quad q \to r \quad\Rightarrow\quad p \to r

Essaie tout de suite

Tous les rectangles sont des parallélogrammes. Tous les carrés sont des rectangles. Donc tous les carrés sont des parallélogrammes. Quel est le moyen terme ?

Exemples résolus

Tous les oiseaux peuvent voler. Tous les manchots sont des oiseaux. Donc tous les manchots peuvent voler. Nomme les trois termes et les deux prémisses. Le raisonnement est-il valide ? La conclusion est-elle vraie ?

Trouve le petit et le grand terme dans la conclusion

Conclusion : tous les manchots (sujet) sont des animaux qui peuvent voler (prédicat) → $S$ = manchots, $P$ = animaux qui peuvent voler

Trouve le moyen terme

Le terme présent dans les deux prémisses mais pas dans la conclusion est oiseaux → $M$ = oiseaux

Nomme les prémisses

Tous les oiseaux peuvent voler contient $P$ ; tous les manchots sont des oiseaux contient $S$ → Majeure : tous les oiseaux peuvent voler. Mineure : tous les manchots sont des oiseaux.

Écris la forme avec des lettres

Tous les $M$ sont $P$ , tous les $S$ sont $M$ , donc tous les $S$ sont $P$ → La forme valide classique : le raisonnement est valide

Vérifie si les prémisses sont vraies

La majeure est fausse : les manchots et les autruches sont des oiseaux qui ne volent pas → Valide mais pas fondé, et la conclusion est fausse

Réponse: $S$ = manchots, $P$ = animaux qui peuvent voler, $M$ = oiseaux. Le raisonnement est valide (bonne forme), mais la majeure est fausse : il n'est donc pas fondé et sa conclusion est fausse.

Erreurs courantes

Dire qu'un raisonnement est valide parce que sa conclusion est vraie

Pourquoi c'est faux: La validité dépend de la forme, pas des faits. "Toutes les roses sont des fleurs. Certaines fleurs fanent vite. Donc certaines roses fanent vite." a une conclusion crédible, mais la forme n'est pas valide : les fleurs qui fanent vite pourraient toutes être des tulipes.

Correct: Remplace les mots par $S$ , $M$ , $P$ et teste la forme avec le diagramme de Venn. Ce n'est qu'ensuite que tu te demandes si les prémisses sont vraies.

Relier deux groupes par un moyen terme qui n'apparaît que sous la forme "sont $M$ " (moyen terme non distribué)

Pourquoi c'est faux: Tous les $S$ sont $M$ et tous les $P$ sont $M$ placent seulement $S$ et $P$ quelque part dans $M$ . Ils peuvent se trouver dans des parties de $M$ complètement différentes, comme les chats et les chiens parmi les mammifères.

Correct: Le moyen terme doit couvrir tout son groupe au moins une fois : il doit être le sujet d'un énoncé avec tous ou aucun, ou le prédicat d'un énoncé avec aucun ou certains ne sont pas.

Tirer une conclusion de deux prémisses avec certains

Pourquoi c'est faux: Certains $S$ sont $M$ et certains $M$ sont $P$ peuvent parler d'éléments différents de $M$ . Avec $S = \{1, 2\}$ , $M = \{2, 3\}$ , $P = \{3, 4\}$ , les deux prémisses sont vraies, mais aucun élément de $S$ n'est dans $P$ .

Correct: Au moins une prémisse doit être universelle (tous ou aucun). Deux prémisses particulières, ou deux prémisses négatives, ne donnent jamais de conclusion.

Inverser un énoncé avec tous

Pourquoi c'est faux: Tous les carrés sont des rectangles ne veut pas dire que tous les rectangles sont des carrés. Dans le diagramme, tous les $S$ sont $P$ vide seulement la partie de $S$ en dehors de $P$ ; la partie de $P$ en dehors de $S$ peut encore contenir des éléments.

Correct: On peut inverser les énoncés avec aucun et certains (aucun $S$ n'est $P$ signifie aucun $P$ n'est $S$ ; certains $S$ sont $P$ signifie certains $P$ sont $S$ ), mais pas ceux avec tous ou certains ne sont pas.

Visuel interactif

Diagramme de Venn

Prémisses

ELes poissons ne sont jamais des mammifères
ATous les requins sont des poissons

= vide (aucun élément)x= au moins un élément

Conclusion

E∴ Les requins ne sont jamais des mammifères

Touche une région pour la hachurer (hachurée veut dire vide).

Diagramme de Venn

Prémisses

ATous les carrés sont des parallélogrammes
ATous les rectangles sont des parallélogrammes

= vide (aucun élément)x= au moins un élément

Conclusion

A∴ Tous les rectangles sont des carrés

Touche une région pour la hachurer (hachurée veut dire vide).

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Tous les rectangles sont des parallélogrammes. Tous les carrés sont des rectangles. Donc tous les carrés sont des parallélogrammes. Quel est le moyen terme ?

Exercices pratiques: Les syllogismes

1. Tous les rectangles sont des parallélogrammes. Tous les carrés sont des rectangles. Donc tous les carrés sont des parallélogrammes. Quel est le moyen terme ?
2. Un diagramme de Venn a trois cercles qui se chevauchent, S, M et P. Combien de régions a-t-il, en comptant la région en dehors des trois cercles ?
3. Rappel : A = tous les S sont P, E = aucun S n'est P, I = certains S sont P, O = certains S ne sont pas P. Quelle liste donne, dans l'ordre, les codes de ces quatre énoncés ? (1) Certains rectangles ne sont pas des carrés. (2) Tous les carrés sont des rectangles. (3) Certains rectangles sont des carrés. (4) Aucun triangle n'est un carré.
4. Les 14 membres du club d'échecs sont tous aussi au club de maths. Le club de maths compte 25 membres. Combien de membres du club de maths ne sont pas au club d'échecs ?
5. Aucun nombre premier supérieur à 2 n'est pair. Tous les nombres de l'ensemble T sont des nombres premiers supérieurs à 2. Quelle conclusion en découle ?
6. Tous les multiples de 6 sont des multiples de 3. Tous les multiples de 12 sont des multiples de 6. Donc tous les multiples de 12 sont des multiples de 3. Trouve le moyen terme, puis suis le nombre 60 (un multiple de 12) le long de la chaîne. Combien vaut 60 ÷ 3 ?
7. Tous les poètes sont des rêveurs. Certains rêveurs sont ingénieurs. Donc certains poètes sont ingénieurs. Comment juges-tu ce raisonnement ?
8. Une classe compte 60 élèves. Aucun membre de l'équipe de natation n'est dans l'équipe de football. L'équipe de natation a 16 membres et l'équipe de football 22. Combien d'élèves ne sont dans aucune des deux équipes ?
9. Une classe compte 32 élèves. Les 8 membres du club d'échecs sont tous au club de maths, qui compte 15 membres. Aucun membre du club de maths n'est au club de théâtre, qui compte 10 membres. Combien d'élèves ne sont dans aucun des trois clubs ?
10. Tous les multiples de 4 sont pairs. Tous les multiples de 6 sont pairs. Donc tous les multiples de 6 sont des multiples de 4. Montre avec un contre-exemple que le raisonnement n'est pas valide. Quel est le plus petit multiple positif de 6 qui n'est pas un multiple de 4 ?
11. Tous les multiples de 4 sont des multiples de 8. 12 est un multiple de 4. Donc 12 est un multiple de 8. Quelle description est correcte ?
12. Un orchestre compte 24 membres. Les 9 élèves qui jouent du violon sont tous dans l'orchestre. 4 des violonistes chantent dans la chorale, et 7 autres membres de l'orchestre chantent aussi dans la chorale. Combien de membres de l'orchestre ne chantent pas dans la chorale ?
13. Teste le syllogisme aucun M n'est P, certains S sont M, donc certains S ne sont pas P avec le diagramme à 8 régions (région 4 = seulement dans S et M, région 6 = seulement dans M et P, région 7 = dans les trois). Quel est le code de la conclusion ?
14. Dans le diagramme de Venn à trois cercles pour S, M et P, tu hachures les prémisses tous les S sont M et aucun M n'est P. Combien des 8 régions sont hachurées en tout ?
15. Les énoncés p → q et q → r sont vrais, et r est faux. Quel énoncé est forcément vrai ?
16. Prémisses : si n est divisible par 20, alors n est divisible par 10. Si n est divisible par 10, alors le dernier chiffre de n est 0. Si le dernier chiffre de n est 0, alors n est divisible par 5. Le syllogisme hypothétique donne : si n est divisible par 20, alors n est divisible par 5. Vérifie-le avec n = 140, puis montre que la réciproque n'en découle pas. Quel est le plus petit nombre positif divisible par 5 mais pas par 20 ?
17. Un club de sport compte 70 membres, dont 45 nagent. Les 20 joueurs de tennis sont tous nageurs. 12 joueurs de tennis courent aussi, 8 nageurs qui ne jouent pas au tennis courent, et 15 membres qui ne nagent pas courent. Combien de membres ne nagent pas et ne courent pas ?
18. Montre que certains S sont M, certains M sont P, donc certains S sont P n'est pas valide. Prends S = \{1, 2\}, M = \{2, 3\} et P = \{3, 4\}. Combien d'éléments S et P ont-ils en commun ?

Pourquoi c'est important

Les syllogismes sont les plus petites briques de toute démonstration logique, et ils se cachent dans beaucoup d'arguments de la vie courante :

Démonstrations en géométrie : tout carré est un rectangle et tout rectangle est un parallélogramme, donc tout carré est un parallélogramme. Les longues démonstrations sont des chaînes de telles étapes.
Filtres de recherche et bases de données : si chaque article étiqueté imperméable porte aussi l'étiquette plein air, une recherche des articles plein air contient déjà tous les articles imperméables.
Règles et lois : une règle (tous les visiteurs de moins de 12 ans doivent être accompagnés d'un adulte) et un fait (Mia est une visiteuse de moins de 12 ans) donnent une conclusion sur Mia.
Programmation : si chaque objet Square est un Shape, alors tout ce que tu peux faire avec un Shape, tu peux aussi le faire avec un Square.
Repérer les mauvais arguments : la publicité et les débats utilisent souvent des formes non valides comme "tous les en-cas sains sont pauvres en graisses, notre biscuit est pauvre en graisses, donc notre biscuit est sain". Connaître les formes permet de voir la faille tout de suite.

Un diagramme de Venn transforme une question sur des mots en une question sur des régions hachurées. Tu peux ainsi vérifier un argument au lieu de te fier à la façon dont il sonne.

Applications dans le monde réel

Clubs scolaires et sondages

Quand une école compte les membres de ses clubs, des énoncés comme "tous les membres du club de robotique sont au club de maths" indiquent quelles régions du diagramme de Venn sont vides. Tu peux alors compter sans compter personne deux fois.

Exemple:

Aucun membre du club de théâtre n'est au club de maths, et tous les membres du club de robotique sont au club de maths. D'après le syllogisme (aucun $M$ n'est $P$ , tous les $S$ sont $M$ ), aucun membre du club de robotique n'est au club de théâtre.

1Essaie par toi-même

Une classe compte $50$ élèves. Les $12$ membres du club de robotique sont tous au club de maths, qui a $30$ membres. Aucun membre du club de théâtre ( $9$ élèves) n'est au club de maths.

Combien d'élèves ne sont dans aucun des trois clubs ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre d'élèves sans club sous forme d'une seule expression :

Filtres de recherche dans les boutiques en ligne

Les catégories d'une boutique forment des groupes dans des groupes. Si chaque article imperméable est aussi un article de plein air, le filtre plein air contient déjà tous les articles imperméables : c'est le syllogisme tous les $S$ sont $M$, tous les $M$ sont $P$ en action.

Exemple:

Toutes les vestes de pluie de la boutique sont des articles imperméables, et tous les articles imperméables sont des articles de plein air. Donc toutes les vestes de pluie apparaissent dans le filtre plein air.

2Essaie par toi-même

Une boutique a $120$ articles de plein air. Les $45$ articles imperméables sont tous des articles de plein air. $18$ articles imperméables sont en promotion, et $10$ articles de plein air qui ne sont pas imperméables sont en promotion.

Combien d'articles de plein air sont en promotion, et combien d'articles de plein air ne sont ni imperméables ni en promotion ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre d'articles de plein air en promotion sous forme d'addition :

Filtres de courriels et chaînes de règles

Les logiciels de messagerie suivent des chaînes de règles si-alors. Le syllogisme hypothétique ($p \to q$, $q \to r$, donc $p \to r$) te dit où un message va finir sans suivre chaque règle une par une.

Exemple:

Si un courriel contient un lien d'un expéditeur inconnu, il est signalé. Si un courriel est signalé, il va en quarantaine. Donc tout courriel contenant un lien d'un expéditeur inconnu va en quarantaine.

3Essaie par toi-même

Une école reçoit $200$ courriels en une journée. $35$ d'entre eux contiennent un lien d'un expéditeur inconnu, et chacun de ces courriels est signalé. $15$ autres courriels sont signalés à cause d'une pièce jointe suspecte. Chaque courriel signalé va en quarantaine, et seuls les courriels signalés y vont.

Combien de courriels arrivent dans la boîte de réception ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre de courriels qui arrivent dans la boîte de réception sous forme d'une seule expression :

Points clés

1Un syllogisme a deux prémisses et une conclusion ; un syllogisme catégorique utilise trois termes : le petit terme $S$ , le grand terme $P$ et le moyen terme $M$
2Les quatre types d'énoncés sont A (tous les $S$ sont $P$ ), E (aucun $S$ n'est $P$ ), I (certains $S$ sont $P$ ) et O (certains $S$ ne sont pas $P$ )
3Pour tester la validité, hachure les régions vidées par les prémisses avec tous et aucun, place un x pour les prémisses avec certains, puis regarde si le diagramme montre déjà la conclusion
4Tous les $M$ sont $P$ , tous les $S$ sont $M$ , donc tous les $S$ sont $P$ est valide ; tous les $S$ sont $M$ , tous les $P$ sont $M$ , donc tous les $S$ sont $P$ n'est pas valide (moyen terme non distribué)
5Valide signifie que la conclusion est forcément vraie si les prémisses sont vraies ; fondé signifie valide avec des prémisses vraies
6Le syllogisme hypothétique (transitivité de l'implication) relie des énoncés si-alors : de $p \to q$ et $q \to r$ on déduit $p \to r$

Questions fréquentes

Oui, si au moins une prémisse est fausse. "Tous les oiseaux peuvent voler, tous les manchots sont des oiseaux, donc tous les manchots peuvent voler" est valide mais a une conclusion fausse. Ce qui est impossible, c'est un raisonnement valide avec des prémisses vraies et une conclusion fausse.

Glossaire

Syllogisme: Un raisonnement déductif avec exactement deux prémisses et une conclusion
Énoncé catégorique: Un énoncé de la forme tous les $S$ sont $P$ , aucun $S$ n'est $P$ , certains $S$ sont $P$ ou certains $S$ ne sont pas $P$
Moyen terme: Le terme présent dans les deux prémisses mais pas dans la conclusion ; il relie les deux autres termes
Majeure et mineure: La majeure contient le prédicat $P$ de la conclusion, la mineure contient son sujet $S$
Moyen terme non distribué: Une forme non valide où le moyen terme ne couvre jamais tout son groupe, par exemple tous les $S$ sont $M$ , tous les $P$ sont $M$
Syllogisme hypothétique: La règle de transitivité pour les énoncés si-alors : de $p \to q$ et $q \to r$ on déduit $p \to r$

Carte des formules

Forme valide classique

Tous les

M

sont

P

, tous les

S

sont

M

\Rightarrow

tous les

S

sont

P

Le moyen terme relie les deux groupes comme une chaîne

Forme valide avec aucun

Aucun

M

n'est

P

, tous les

S

sont

M

\Rightarrow

aucun

S

n'est

P

Si $S$ est dans $M$ et que $M$ n'a rien en commun avec $P$, alors $S$ n'a rien en commun avec $P$

Forme valide avec certains

Tous les

M

sont

P

, certains

S

sont

M

\Rightarrow

certains

S

sont

P

Le x de certains est poussé dans la région située dans $S$, $M$ et $P$

Moyen terme non distribué (non valide)

Tous les

S

sont

M

, tous les

P

sont

M

\not\Rightarrow

tous les

S

sont

P

Être dans le même grand groupe ne relie pas deux groupes plus petits

Syllogisme hypothétique

p \to q,\ q \to r \Rightarrow p \to r

Chaînes d'énoncés si-alors ; avec la contraposée, aussi $\neg r \to \neg p$

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Forme valide classique

Forme valide avec aucun

Forme valide avec certains

Moyen terme non distribué (non valide)

Syllogisme hypothétique

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