Démonstration directe

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle est la première étape d'une démonstration directe ?
1. a)Utiliser la preuve par contradiction
2. b)Trouver un contre-exemple
3. c)Supposer que l'hypothèse est vraie
4. d)Prouver directement la conclusion
Réponse: Supposer que l'hypothèse est vraie
Dans une démonstration directe, nous commençons par supposer que l'hypothèse (la partie 'si') est vraie, puis nous utilisons des étapes logiques pour atteindre la conclusion.
2.
Selon la définition, un entier pair peut s'écrire :
1. a) pour un entier
2. b) pour un entier
3. c) pour un entier
4. d) pour un entier
Réponse: pour un entier
Un entier pair est tout entier divisible par 2, donc il peut s'écrire où est un entier quelconque. Par exemple : , .
3.
Si pour un entier , est-il pair ou impair ? Tape 'pair' ou 'impair'.
Réponse: odd
L'expression représente un nombre impair car est pair (un multiple de 2) et ajouter 1 le rend impair.
4.
Que signifie CQFD ?
1. a)Fait assez facilement
2. b)Questionner chaque détail
3. c)Ce qu'il fallait démontrer
4. d)Fin rapide de discussion
Réponse: Ce qu'il fallait démontrer
CQFD signifie 'ce qu'il fallait démontrer'. C'est une expression française équivalente au latin 'quod erat demonstrandum'. Elle marque la fin réussie d'une preuve.
5.
Si et , que vaut en fonction de et ? Écris ta réponse sous la forme .
Réponse: 2(m + n)
. Cette forme factorisée montre que la somme est paire car c'est 2 fois un entier.
6.
Pourquoi vérifier des exemples n'est-il pas la même chose qu'une preuve ?
1. a)Les exemples prennent trop de temps
2. b)Les exemples ne couvrent pas tous les cas infinis
3. c)Les exemples sont toujours faux
4. d)Les exemples sont plus difficiles que les preuves
Réponse: Les exemples ne couvrent pas tous les cas infinis
Il y a une infinité d'entiers, donc nous ne pouvons jamais vérifier tous les cas par des exemples. Une preuve utilisant des variables et des définitions couvre tous les cas à la fois.
7.
Prouve : Si est pair, alors est pair.
Réponse: n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)
1. Écris en utilisant la définition de pair (en fonction d'un entier ) : n = 2k
2. Élève au carré les deux côtés pour trouver : n^2 = 4k^2
3. Factorise par 2 pour montrer que est pair : n^2 = 2(2k^2)
8.
Si (impair), que vaut une fois développé ? Écris sous la forme .
Réponse: 4k^2 + 4k + 1
. Ceci peut être réécrit comme , montrant que c'est impair.
9.
Prouve : Le produit de deux nombres impairs est impair.
Réponse: 2(2jk + j + k) + 1
1. Soient les deux nombres impairs et . Trouve : (2j + 1)(2k + 1)
2. Développe le produit : 4jk + 2j + 2k + 1
3. Factorise pour montrer que c'est de la forme (impair) : 2(2jk + j + k) + 1
10.
Qu'est-ce que le raisonnement circulaire dans une preuve ?
1. a)Recommencer plusieurs fois
2. b)Tourner en rond en écrivant
3. c)Utiliser trop d'étapes
4. d)Supposer ce qu'on essaie de prouver
Réponse: Supposer ce qu'on essaie de prouver
Le raisonnement circulaire se produit quand tu utilises la conclusion (ce que tu essaies de prouver) comme partie de ton raisonnement. Cela rend la preuve invalide car tu n'as en fait rien prouvé.
11.
Dans la factorisation , combien d'entiers consécutifs sont multipliés ensemble ?
Réponse: 3
L'expression se factorise en trois entiers consécutifs : , et . C'est la clé pour prouver que est divisible par 3.
12.
Prouve : Si est pair et est impair, alors est impair.
Réponse: 2(m + k) + 1
1. Écris comme nombre pair et comme nombre impair : a = 2m, b = 2k + 1
2. Additionne : 2m + 2k + 1
3. Factorise pour montrer que c'est impair (forme ) : 2(m + k) + 1
13.
Pour prouver que est divisible par 3, nous utilisons le fait que parmi 3 entiers consécutifs quelconques :
1. a)Aucun n'est divisible par 3
2. b)Tous sont divisibles par 3
3. c)Au moins deux sont divisibles par 3
4. d)Exactement un est divisible par 3
Réponse: Exactement un est divisible par 3
Tout entier a un reste de 0, 1 ou 2 lorsqu'il est divisé par 3. Parmi trois entiers consécutifs, nous passons par les trois restes, donc exactement un a le reste 0 (divisible par 3).
14.
Prouve : Si est un entier, alors est pair.
Réponse: n(n + 1)
1. Factorise : n(n + 1)
2. Que pouvons-nous dire de et ? entiers consécutifs
3. Parmi deux entiers consécutifs, combien sont pairs ? 1
4. Donc, le produit est toujours : pair
15.
Si nous voulons prouver ' divise ' par démonstration directe, nous montrons pour un entier . Quelle valeur de montre que 3 divise 12 ?
Réponse: 4
Puisque , nous avons . Cela démontre que 3 divise 12 car 12 peut être exprimé comme 3 fois un entier (4).
16.
Prouve : La somme d'un nombre pair et de son carré est paire.
Réponse: 2(k + 2k^2)
1. Soit le nombre pair . Écris : 2k + (2k)^2
2. Simplifie : 4k^2
3. Écris sous forme factorisée : 2(k + 2k^2)
17.
Quelle affirmation décrit le mieux un axiome ?
1. a)Un énoncé qui nécessite une vérification
2. b)Un énoncé qui a été prouvé vrai
3. c)Un énoncé qui est toujours faux
4. d)Un énoncé accepté comme vrai sans preuve
Réponse: Un énoncé accepté comme vrai sans preuve
Un axiome est un énoncé fondamental accepté comme vrai sans preuve. Les axiomes servent de base à partir de laquelle les théorèmes sont dérivés. Des exemples incluent 'a = a' (propriété réflexive) et 'si a = b, alors b = a' (propriété symétrique).