Angles et droites parallèles

Les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles. Les points $A$ et $C$ sont à gauche, $B$ et $D$ à droite. Une sécante coupe $AB$ en $E$ et $CD$ en $F$, et $\angle AEF = 65^\circ$. Trouve $\angle EFD$ et $\angle CFE$ en justifiant chaque étape.

Repérer la paire d'angles: $\angle AEF$ et $\angle EFD$ sont tous deux entre les parallèles, de part et d'autre de la sécante = Ce sont des angles alternes-internes

Appliquer le théorème des parallèles: Des angles alternes-internes formés par des parallèles sont égaux, donc $\angle EFD = \angle AEF$ = $\angle EFD = 65^\circ$

Utiliser l'angle plat en $F$: $\angle CFE$ et $\angle EFD$ forment ensemble l'angle plat $CFD$ : $\angle CFE = 180^\circ - 65^\circ$ = $\angle CFE = 115^\circ$ (angles supplémentaires adjacents)

Answer: $\angle EFD = 65^\circ$ (angles alternes-internes) et $\angle CFE = 115^\circ$ (angles supplémentaires adjacents). Vérification : $\angle AEF + \angle CFE = 180^\circ$, car les angles intérieurs du même côté de la sécante ont pour somme $180^\circ$.

Démontrer la somme des angles d'un triangle

Démontre que les angles de tout triangle $ABC$ ont pour somme $180^\circ$. Trace la droite $DE$ passant par $A$ et parallèle à $BC$, avec $D$ du côté de $B$ et $E$ du côté de $C$.

Affirmation 1 : l'angle plat en $A$: $D$, $A$ et $E$ sont alignés, donc $\angle DAB + \angle BAC + \angle CAE = 180^\circ$ = Justification : angles sur une droite (angle plat)

Affirmation 2 : la sécante $AB$: $DE \parallel BC$ et $AB$ coupe les deux droites, donc $\angle DAB = \angle ABC$ = Justification : angles alternes-internes

Affirmation 3 : la sécante $AC$: $AC$ coupe aussi les deux parallèles, donc $\angle CAE = \angle ACB$ = Justification : angles alternes-internes

Affirmation 4 : substituer: Remplace $\angle DAB$ et $\angle CAE$ dans l'affirmation 1 grâce aux affirmations 2 et 3 = $\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ$

Answer: La parallèle place les trois angles du triangle côte à côte dans l'angle plat en $A$, donc leur somme vaut $180^\circ$ dans tout triangle. CQFD.

CCC et éléments homologues dans un cerf-volant

Dans le quadrilatère $ABCD$, $AB = AD$ et $CB = CD$. Démontre que la diagonale $AC$ est la bissectrice de $\angle BAD$. Trouve ensuite $\angle BAC$ si $\angle BAD = 70^\circ$.

Lister les paires de côtés: $AB = AD$ (hypothèse), $CB = CD$ (hypothèse), $AC = AC$ (réflexivité) = Trois paires de côtés égaux

Démontrer que les triangles sont isométriques: Associe les sommets $A \to A$, $B \to D$, $C \to C$ = $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (CCC)

Utiliser les éléments homologues: $\angle BAC$ et $\angle DAC$ sont des angles homologues des triangles isométriques = $\angle BAC = \angle DAC$ (éléments homologues)

Conclure et calculer: Deux moitiés égales signifient que $AC$ est la bissectrice de $\angle BAD$ : $\angle BAC = 70^\circ \div 2$ = $\angle BAC = 35^\circ$

Answer: $AC$ est la bissectrice de $\angle BAD$ (CCC, puis éléments homologues), et $\angle BAC = \angle DAC = 35^\circ$.

Angles à la base d'un triangle isocèle

On sait que : $AB = AC$ dans $\triangle ABC$. À démontrer : $\angle B = \angle C$. Trouve ensuite les angles à la base si $\angle A = 40^\circ$.

Ajouter une droite auxiliaire: Trace la bissectrice de $\angle BAC$, elle coupe $BC$ en $D$. Alors $\angle BAD = \angle CAD$ = Justification : définition de la bissectrice

Réunir les éléments pour CAC: $AB = AC$ (hypothèse), $\angle BAD = \angle CAD$ (étape 1), $AD = AD$ (réflexivité) = Deux côtés et l'angle compris entre eux

Démontrer l'isométrie: L'angle en $A$ est compris entre les côtés $AB$, $AD$ et entre $AC$, $AD$ = $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (CAC)

Utiliser les éléments homologues: $\angle B$ et $\angle C$ sont des angles homologues = $\angle B = \angle C$ (éléments homologues)

Calculer avec $\angle A = 40^\circ$: $\angle B + \angle C = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$, et les deux angles sont égaux = $\angle B = \angle C = 70^\circ$

Answer: Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. Avec $\angle A = 40^\circ$, chaque angle à la base mesure $70^\circ$. Les éléments homologues donnent aussi $BD = CD$, donc $D$ est le milieu de $BC$.

Parallèles, ACA et un milieu

Les segments $AE$ et $BD$ se coupent en $C$. On a $AB \parallel DE$ et $C$ est le milieu de $AE$. Démontre que $C$ est aussi le milieu de $BD$. Trouve ensuite $\angle CDE$ si $\angle BAC = 50^\circ$ et $\angle ACB = 70^\circ$.

Angles en $A$ et en $E$: $AB \parallel DE$, et $AE$ est une sécante = $\angle BAC = \angle DEC$ (angles alternes-internes)

Côtés en $C$: $C$ est le milieu de $AE$ = $AC = EC$ (définition du milieu)

Angles en $C$: $\angle ACB$ et $\angle ECD$ sont face à face = $\angle ACB = \angle ECD$ (angles opposés par le sommet)

Isométrie et éléments homologues: Le côté $AC$ est compris entre les angles en $A$ et en $C$, donc $\triangle ABC \cong \triangle EDC$ (ACA) = $BC = DC$ (éléments homologues), donc $C$ est le milieu de $BD$

Trouver l'angle: $\angle CDE = \angle CBA = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ$ (éléments homologues et somme des angles) = $\angle CDE = 60^\circ$

Answer: $C$ est le milieu de $BD$ (ACA, puis éléments homologues), et $\angle CDE = 60^\circ$.

Mistake: Utiliser AAA (trois angles égaux) pour démontrer que des triangles sont isométriques

Why: Des angles égaux donnent seulement la même forme : un petit et un grand triangle équilatéral ont les mêmes angles mais ne sont pas isométriques. Deux côtés et un angle non compris entre eux ne suffisent pas non plus en général, car deux triangles différents peuvent convenir.

Correct: Utilise uniquement CCC, CAC, ACA ou AAC, et vérifie dans CAC que l'angle est bien compris entre les deux côtés.

Mistake: Utiliser les éléments homologues avant d'avoir démontré l'isométrie

Why: Cette justification n'est permise qu'après une ligne qui affirme que les triangles sont isométriques. Sinon la démonstration suppose ce qu'elle veut prouver.

Correct: D'abord une ligne comme $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (CAC), puis les côtés ou angles correspondants avec la justification éléments homologues.

Mistake: Utiliser les propriétés des parallèles alors que les droites ne sont pas parallèles, ou dire que les angles intérieurs du même côté sont égaux

Why: Les angles alternes-internes et correspondants ne sont égaux qu'avec des parallèles. Les angles intérieurs du même côté ne sont pas égaux, leur somme vaut $180^\circ$.

Correct: Vérifie que les droites sont données parallèles ($AB \parallel CD$), puis nomme la paire exactement : alternes-internes (égaux), correspondants (égaux) ou intérieurs du même côté (somme $180^\circ$).

Mistake: Écrire les sommets d'une isométrie dans le mauvais ordre

Why: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ signifie $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. Un mauvais ordre associe les mauvais côtés et les mauvais angles.

Correct: Associe les sommets selon les éléments égaux. Dans l'exemple 5, l'écriture correcte est $\triangle ABC \cong \triangle EDC$, pas $\triangle ABC \cong \triangle DEC$.

Fermes de toit

Les charpentiers construisent les fermes de toit comme des triangles isocèles : deux arbalétriers de même longueur se rejoignent au faîtage, donc les deux pans du toit ont la même pente.

Une ferme avec un angle de $100^\circ$ au faîtage a des angles à la base de $(180^\circ - 100^\circ) \div 2 = 40^\circ$.

Mesurer un étang

Les géomètres mesurent les distances qu'on ne peut pas parcourir avec des triangles isométriques, avec la même démonstration CAC que dans cette leçon.

Pour trouver la largeur $AB$ d'un étang, va de $A$ à un point $C$, puis continue de la même distance jusqu'à $D$. Va ensuite de $B$ en passant par $C$ et continue de la même distance jusqu'à $E$. Alors $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ (CAC), donc $DE = AB$ (éléments homologues).

Plans de ville

Des rues parallèles coupées par une avenue en diagonale forment la figure des parallèles et de la sécante, que les urbanistes utilisent pour dessiner les coins de rue et les carrefours.

Si une avenue en diagonale forme un angle de $58^\circ$ avec une rue, elle forme le même angle correspondant de $58^\circ$ avec chaque rue parallèle.

Q: Que veut dire CPCTC dans les livres en anglais ?

A: Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent, c'est-à-dire : les éléments homologues de triangles isométriques sont égaux. C'est la justification que tu écris après avoir démontré que deux triangles sont isométriques, quand tu en déduis un côté ou un angle.

Q: Pourquoi deux côtés et un angle quelconque ne suffisent-ils pas ?

A: Si l'angle n'est pas compris entre les deux côtés, le troisième côté peut parfois pivoter dans deux positions différentes, ce qui donne deux triangles différents. Ces données ne garantissent donc pas l'isométrie en général.

Q: Quelle est la différence entre ACA et AAC ?

A: Dans ACA, le côté connu est compris entre les deux angles, dans AAC il ne l'est pas. Les deux fonctionnent : deux angles fixent le troisième (somme $180^\circ$), donc AAC se ramène toujours à ACA.

Q: Comment trouver les bons triangles ?

A: Regarde le segment ou l'angle dont tu dois démontrer l'égalité et cherche deux triangles qui le contiennent. Code tout ce que tu sais : éléments donnés, angles opposés par le sommet, côté commun. Si tu arrives à CCC, CAC, ACA ou AAC, conclus avec les éléments homologues.