Pourquoi deux côtés et un angle quelconque ne suffisent-ils pas ?

Si l'angle n'est pas compris entre les deux côtés, le troisième côté peut parfois pivoter dans deux positions différentes, ce qui donne deux triangles différents. Ces données ne garantissent donc pas l'isométrie en général.

Quelle est la différence entre ACA et AAC ?

Dans ACA, le côté connu est compris entre les deux angles, dans AAC il ne l'est pas. Les deux fonctionnent : deux angles fixent le troisième (somme $180^\circ$), donc AAC se ramène toujours à ACA.

Comment trouver les bons triangles ?

Regarde le segment ou l'angle dont tu dois démontrer l'égalité et cherche deux triangles qui le contiennent. Code tout ce que tu sais : éléments donnés, angles opposés par le sommet, côté commun. Si tu arrives à CCC, CAC, ACA ou AAC, conclus avec les éléments homologues.

Ressources enseignants

Démonstrations en géométrie

Démontre des propriétés géométriques pas à pas avec les angles et les parallèles, la somme des angles du triangle, les cas d'isométrie (CCC, CAC, ACA, AAC) et le triangle isocèle.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une démonstration en géométrie montre qu'une propriété d'une figure est forcément vraie. C'est une suite d'affirmations, et chaque affirmation a une justification : une hypothèse, une définition, un postulat ou un théorème déjà démontré. Une figure t'aide à trouver l'idée, mais une mesure au rapporteur n'est jamais une justification.

La boîte à outils de cette leçon :

1. Droites parallèles et sécante. Une sécante est une droite qui coupe deux autres droites. Si ces deux droites sont parallèles :

Les angles alternes-internes (entre les parallèles, de part et d'autre de la sécante) sont égaux.
Les angles correspondants (à la même place aux deux points d'intersection) sont égaux.
Les angles intérieurs situés du même côté de la sécante ont pour somme $180^\circ$ .

2. Somme des angles d'un triangle. Dans tout triangle,

\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ

3. Triangles isométriques. Deux triangles sont isométriques (

\cong

) quand l'un de ces groupes d'éléments homologues est égal :

CCC : les trois côtés
CAC : deux côtés et l'angle compris entre eux
ACA : deux angles et le côté compris entre eux
AAC : deux angles et un côté qui n'est pas compris entre eux

4. Éléments homologues. Si deux triangles sont isométriques, tous leurs côtés et angles homologues sont égaux : de

\triangle ABC \cong \triangle DEF

on déduit par exemple

AB = DE

\angle A = \angle D

. En anglais, cette justification s'appelle CPCTC.

5. Triangles isocèles. Si deux côtés d'un triangle sont égaux, les angles opposés à ces côtés (les angles à la base) sont égaux.

6. Milieux et bissectrices. Le milieu partage un segment en deux parties égales, la bissectrice partage un angle en deux angles égaux.

Une démonstration complète en deux colonnes. On sait que : les segments

AD

BC

se coupent en

M

, et

M

est le milieu des deux segments. À démontrer :

AB = DC

Affirmation	Justification
$AM = DM$	Définition du milieu
$BM = CM$	Définition du milieu
$\angle AMB = \angle DMC$	Angles opposés par le sommet
$\triangle AMB \cong \triangle DMC$	CAC
$AB = DC$	Éléments homologues de triangles isométriques

Le plan habituel : trouve deux triangles qui contiennent l'élément cherché, démontre qu'ils sont isométriques, puis conclus avec les éléments homologues.

Essaie tout de suite

Les droites

AB

CD

sont parallèles (

A

C

à gauche,

B

D

à droite). Une sécante coupe

AB

E

CD

F

. On a

\angle AEF = 72^\circ

\angle EFD = 72^\circ

. Quelle justification permet d'écrire

\angle EFD = \angle AEF

Exemples résolus

Les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles. Les points $A$ et $C$ sont à gauche, $B$ et $D$ à droite. Une sécante coupe $AB$ en $E$ et $CD$ en $F$ , et $\angle AEF = 65^\circ$ . Trouve $\angle EFD$ et $\angle CFE$ en justifiant chaque étape.

Repérer la paire d'angles

$\angle AEF$ et $\angle EFD$ sont tous deux entre les parallèles, de part et d'autre de la sécante → Ce sont des angles alternes-internes

Appliquer le théorème des parallèles

Des angles alternes-internes formés par des parallèles sont égaux, donc $\angle EFD = \angle AEF$ → $\angle EFD = 65^\circ$

Utiliser l'angle plat en $F$

$\angle CFE$ et $\angle EFD$ forment ensemble l'angle plat $CFD$ : $\angle CFE = 180^\circ - 65^\circ$ → $\angle CFE = 115^\circ$ (angles supplémentaires adjacents)

Réponse: $\angle EFD = 65^\circ$ (angles alternes-internes) et $\angle CFE = 115^\circ$ (angles supplémentaires adjacents). Vérification : $\angle AEF + \angle CFE = 180^\circ$ , car les angles intérieurs du même côté de la sécante ont pour somme $180^\circ$ .

Erreurs courantes

Utiliser AAA (trois angles égaux) pour démontrer que des triangles sont isométriques

Pourquoi c'est faux: Des angles égaux donnent seulement la même forme : un petit et un grand triangle équilatéral ont les mêmes angles mais ne sont pas isométriques. Deux côtés et un angle non compris entre eux ne suffisent pas non plus en général, car deux triangles différents peuvent convenir.

Correct: Utilise uniquement CCC, CAC, ACA ou AAC, et vérifie dans CAC que l'angle est bien compris entre les deux côtés.

Utiliser les éléments homologues avant d'avoir démontré l'isométrie

Pourquoi c'est faux: Cette justification n'est permise qu'après une ligne qui affirme que les triangles sont isométriques. Sinon la démonstration suppose ce qu'elle veut prouver.

Correct: D'abord une ligne comme $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (CAC), puis les côtés ou angles correspondants avec la justification éléments homologues.

Utiliser les propriétés des parallèles alors que les droites ne sont pas parallèles, ou dire que les angles intérieurs du même côté sont égaux

Pourquoi c'est faux: Les angles alternes-internes et correspondants ne sont égaux qu'avec des parallèles. Les angles intérieurs du même côté ne sont pas égaux, leur somme vaut $180^\circ$ .

Correct: Vérifie que les droites sont données parallèles ( $AB \parallel CD$ ), puis nomme la paire exactement : alternes-internes (égaux), correspondants (égaux) ou intérieurs du même côté (somme $180^\circ$ ).

Écrire les sommets d'une isométrie dans le mauvais ordre

Pourquoi c'est faux: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ signifie $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ . Un mauvais ordre associe les mauvais côtés et les mauvais angles.

Correct: Associe les sommets selon les éléments égaux. Dans l'exemple 5, l'écriture correcte est $\triangle ABC \cong \triangle EDC$ , pas $\triangle ABC \cong \triangle DEC$ .

Visuel interactif

Explorateur d'angles

∠1 = 115°∠2 = 65°∠3 = 65°∠4 = 115°∠5 = 115°∠6 = 65°∠7 = 65°∠8 = 115°

Les angles alternes-internes sont entre les parallèles, de part et d'autre de la sécante. Ils sont égaux.

Fais glisser le point bleu pour incliner la sécante. Choisis un type de paire, ou touche deux numéros d'angles pour voir leur lien.

Explorateur de triangles

Par côtés:Isocèle

Par angles:Acutangle

Aire:

0,3 unités carrées

Explore la relation entre les angles d'un triangle.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles ( $A$ et $C$ à gauche, $B$ et $D$ à droite). Une sécante coupe $AB$ en $E$ et $CD$ en $F$ . On a $\angle AEF = 72^\circ$ et $\angle EFD = 72^\circ$ . Quelle justification permet d'écrire $\angle EFD = \angle AEF$ ?

Exercices pratiques: Démonstrations en géométrie

1. Les droites AB et CD sont parallèles (A et C à gauche, B et D à droite). Une sécante coupe AB en E et CD en F. On a ∠ AEF = 72° et ∠ EFD = 72°. Quelle justification permet d'écrire ∠ EFD = ∠ AEF ?
2. Les droites AB et CD sont parallèles (A et C à gauche, B et D à droite). Une sécante coupe AB en E et CD en F. On a ∠ AEF = 72°. Combien de degrés mesure ∠ CFE ?
3. Dans △ ABC, ∠ A = 47° et ∠ B = 68°. Combien de degrés mesure ∠ C ?
4. Quel groupe d'éléments égaux ne permet PAS de démontrer que deux triangles sont isométriques ?
5. Dans △ ABC, AB = AC et ∠ B = 52°. Trouve ∠ C et ∠ A.
6. Les droites parallèles \ell et m (\ell au-dessus de m) sont coupées par une sécante t. En \ell, l'angle au-dessus de \ell et à droite de t mesure 110^\circ. Trouve l'angle au-dessus de m à droite de t, puis l'angle au-dessus de m à gauche de t.
7. Les segments AD et BC se coupent en M, et M est le milieu des deux. Tu sais que AM = DM, BM = CM et \angle AMB = \angle DMC (angles opposés par le sommet). Quel cas d'isométrie démontre \triangle AMB \cong \triangle DMC ?
8. Dans △ ABC, la parallèle à BC passant par A forme un angle de 55° avec AB (du côté de B) et un angle de 64° avec AC (du côté de C). Combien de degrés mesure ∠ BAC ?
9. Dans △ ABC, AB = AC et ∠ A = 36°. Trouve l'angle à la base ∠ B, puis l'angle extérieur en B (entre AB et le prolongement de CB au-delà de B).
10. Les segments AE et BD se coupent en C, AB ∥ DE et C est le milieu de AE. De plus ∠ BAC = 40°, ∠ ACB = 75° et AB = 9 cm. Trouve les angles de △ EDC et la longueur DE.
11. Dans \triangle ABC et \triangle DEF : AB = DE, \angle A = \angle D et \angle B = \angle E. Quel cas d'isométrie démontre \triangle ABC \cong \triangle DEF ?
12. AD est la bissectrice de ∠ BAC et ∠ BAD = 34°. Combien de degrés mesure ∠ BAC ?
13. Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Deux angles alternes-internes mesurent (3x + 10)° et (5x - 30)°. Trouve x, l'angle, puis l'angle qui lui est adjacent et supplémentaire.
14. Dans △ ABC, AB = AC, ∠ B = (2x + 10)° et ∠ C = (3x - 15)°. Combien de degrés mesure ∠ A ?
15. Dans le quadrilatère ABCD, AB = AD et CB = CD, avec \angle BAD = 80^\circ et \angle BCD = 60^\circ. Utilise \triangle ABC \cong \triangle ADC (CCC) pour trouver \angle ABC et \angle ADC.
16. Démonstration que les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. On sait que : AB = AC, et AD est la bissectrice de \angle BAC avec D sur BC. Étape 1 : AB = AC (hypothèse). Étape 2 : \angle BAD = \angle CAD (définition de la bissectrice). Étape 3 : AD = AD. Étape 4 : \triangle ABD \cong \triangle ACD (CAC). Étape 5 : \angle B = \angle C (éléments homologues). Quelle est la justification de l'étape 3 ?
17. Dans △ ABC, ∠ A = 50° et ∠ B = 60°. Le côté BC est prolongé au-delà de C jusqu'à un point D. Trouve ∠ ACB, l'angle extérieur ∠ ACD, et compare-le avec ∠ A + ∠ B.
18. Dans △ ABC, AB = AC et ∠ A = 44°. Un segment DE avec D sur AB et E sur AC est parallèle à BC. Trouve ∠ ABC, ∠ ADE et ∠ BDE.

Pourquoi c'est important

C'est avec la géométrie que la démonstration mathématique est née, et ses idées servent encore chaque jour :

Histoire des mathématiques : les Éléments d'Euclide (vers 300 av. J.-C.) construisent toute la géométrie à partir de quelques postulats avec exactement ce type de démonstrations, et ils ont servi de manuel scolaire pendant plus de 2000 ans
Topographie : les triangles isométriques permettent de mesurer des distances qu'on ne peut pas parcourir, comme la largeur d'une rivière ou d'un étang
Architecture et ingénierie : les fermes de toit et les ponts utilisent des triangles isocèles et isométriques, car un triangle aux côtés fixés ne peut pas se déformer
Urbanisme : des rues parallèles coupées par une avenue en diagonale répètent les mêmes angles à chaque carrefour
Raisonnement : prouver qu'une chose est forcément vraie, étape justifiée après étape justifiée, c'est la compétence dont ont besoin les juristes, les programmeurs et les scientifiques

Quand tu maîtrises ces quelques théorèmes, une grande partie de la géométrie du lycée devient une suite d'arguments courts et convaincants.

Applications dans le monde réel

Fermes de toit

Les charpentiers construisent les fermes de toit comme des triangles isocèles : deux arbalétriers de même longueur se rejoignent au faîtage, donc les deux pans du toit ont la même pente.

Exemple:

Une ferme avec un angle de $100^\circ$ au faîtage a des angles à la base de $(180^\circ - 100^\circ) \div 2 = 40^\circ$ .

1Essaie par toi-même

Un charpentier construit une ferme avec deux arbalétriers de même longueur. L'angle au faîtage mesure $120^\circ$ .

Quel angle chaque arbalétrier forme-t-il avec l'entrait horizontal ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soustrais l'angle au faîtage de $180^\circ$ et partage le reste en deux :

Mesurer un étang

Les géomètres mesurent les distances qu'on ne peut pas parcourir avec des triangles isométriques, avec la même démonstration CAC que dans cette leçon.

Exemple:

Pour trouver la largeur $AB$ d'un étang, va de $A$ à un point $C$ , puis continue de la même distance jusqu'à $D$ . Va ensuite de $B$ en passant par $C$ et continue de la même distance jusqu'à $E$ . Alors $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ (CAC), donc $DE = AB$ (éléments homologues).

2Essaie par toi-même

Les points sont placés comme dans l'exemple : $AC = CD = 35$ m, $BC = CE = 40$ m, et sur la terre ferme tu mesures $DE = 48$ m.

Quelle est la largeur de l'étang, c'est-à-dire la longueur $AB$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Par les éléments homologues, $AB$ est égal au côté mesuré :

Plans de ville

Des rues parallèles coupées par une avenue en diagonale forment la figure des parallèles et de la sécante, que les urbanistes utilisent pour dessiner les coins de rue et les carrefours.

Exemple:

Si une avenue en diagonale forme un angle de $58^\circ$ avec une rue, elle forme le même angle correspondant de $58^\circ$ avec chaque rue parallèle.

3Essaie par toi-même

Deux rues parallèles sont coupées par une avenue en diagonale. À la première rue, l'angle entre l'avenue et la rue du côté nord-est mesure $58^\circ$ .

À la deuxième rue, combien mesurent l'angle correspondant (nord-est) et l'angle voisin (nord-ouest) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

L'angle voisin forme avec lui un angle plat :

Points clés

1Chaque affirmation d'une démonstration en géométrie a besoin d'une justification : hypothèse, définition, postulat ou théorème
2Avec des parallèles et une sécante, les angles alternes-internes et correspondants sont égaux, et les angles intérieurs du même côté ont pour somme $180^\circ$
3La somme des angles d'un triangle ( $180^\circ$ ) se démontre avec la parallèle au côté opposé passant par un sommet
4Deux triangles sont isométriques par CCC, CAC, ACA ou AAC, jamais par AAA et en général pas avec un angle non compris
5Quand deux triangles sont isométriques, tous leurs côtés et angles homologues sont égaux
6Dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux, et milieux et bissectrices donnent des segments égaux et des angles égaux

Questions fréquentes

Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent, c'est-à-dire : les éléments homologues de triangles isométriques sont égaux. C'est la justification que tu écris après avoir démontré que deux triangles sont isométriques, quand tu en déduis un côté ou un angle.

Glossaire

Sécante: Une droite qui coupe deux (ou plusieurs) autres droites
Angles alternes-internes: Deux angles entre deux droites, de part et d'autre d'une sécante ; égaux quand les droites sont parallèles
Angles correspondants: Deux angles à la même place aux deux points d'intersection d'une sécante ; égaux quand les droites sont parallèles
Triangles isométriques: Triangles dont les trois côtés et les trois angles sont égaux deux à deux, notés $\triangle ABC \cong \triangle DEF$
Éléments homologues: Côtés et angles qui se correspondent dans deux triangles isométriques ; ils sont égaux (en anglais CPCTC)
Triangle isocèle: Un triangle qui a deux côtés égaux ; les angles opposés à ces côtés (angles à la base) sont égaux

Carte des formules

Somme des angles d'un triangle

\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ

Vraie dans tout triangle

Angles supplémentaires

\alpha + \beta = 180^\circ

Angles sur une droite, et angles intérieurs du même côté d'une sécante avec des parallèles

Triangle isocèle

AB = AC \Rightarrow \angle B = \angle C

Des côtés égaux sont opposés à des angles à la base égaux

Isométrie et éléments homologues

\triangle ABC \cong \triangle DEF

Par CCC, CAC, ACA ou AAC ; ensuite tous les éléments homologues sont égaux

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Somme des angles d'un triangle

Angles supplémentaires

Triangle isocèle

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