Introduction aux preuves mathématiques

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Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Qu'est-ce qu'une preuve mathématique ?
1. a)Une supposition sur la vérité de quelque chose
2. b)Une formule à mémoriser
3. c)Un seul exemple qui fonctionne
4. d)Un argument logique montrant pourquoi un énoncé doit être vrai
2.
Quelle est la différence entre un axiome et un théorème ?
1. a)Ce sont la même chose
2. b)Les axiomes sont faux ; les théorèmes sont vrais
3. c)Un théorème est accepté sans preuve ; un axiome est prouvé
4. d)Un axiome est accepté sans preuve ; un théorème est prouvé
3.
Si $n$ est un nombre pair, nous pouvons écrire $n = 2k$ où $k$ est un entier. Si $n = 12$ , quelle est la valeur de $k$ ?
4.
Si $n$ est un nombre impair, nous pouvons écrire $n = 2k + 1$ . Si $n = 15$ , quelle est la valeur de $k$ ?
5.
Dans une preuve par l'absurde, que faisons-nous en premier ?
1. a)Prouver l'énoncé directement
2. b)Donner plusieurs exemples
3. c)Énoncer d'abord la conclusion
4. d)Supposer le contraire de ce que nous voulons prouver
6.
Pourquoi montrer que $2 + 4 = 6$ N'EST PAS une preuve que 'la somme de deux nombres pairs est paire' ?
1. a)Cela ne prouve qu'un cas spécifique, pas tous les cas
2. b)Nous devons utiliser la soustraction à la place
3. c)Le calcul est faux
4. d)6 n'est pas pair
7.
Soient $a = 2m$ et $b = 2n$ deux nombres pairs. Complète : $a + b = 2m + 2n = 2(\square)$ . Que mets-tu dans la case ?
8.
Prouve que le produit de deux nombres impairs est impair. Soit $a = 2m + 1$ et $b = 2n + 1$ .
9.
Quelle affirmation décrit correctement un raisonnement circulaire dans une preuve ?
1. a)Terminer par CQFD
2. b)Commencer par une définition
3. c)Utiliser trop d'étapes
4. d)Utiliser la conclusion comme partie de la preuve
10.
Dans la preuve que $\sqrt{2}$ est irrationnel, nous avons supposé $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ sans facteurs communs. Nous avons montré que $a$ et $b$ doivent tous deux être pairs. Quel facteur commun partagent-ils ?
11.
Prouve : La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est impaire.
12.
L'énoncé 'Tous les nombres premiers sont impairs' semble vrai pour 3, 5, 7, 11, 13... Qu'est-ce qui réfute cet énoncé ?
1. a)1 n'est pas premier
2. b)15 a beaucoup de facteurs
3. c)9 est impair mais pas premier
4. d)2 est premier mais pair
13.
Prouve par l'absurde : Il n'existe pas de plus grand entier.
14.
Pourquoi $a$ doit-il être pair quand $a^2$ est pair ? Suppose que $a$ soit impair, $a = 2k + 1$ . Alors $a^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Quel est le reste de la division de $a^2$ par 2 ?
15.
Si ' $P$ implique $Q$ ' est vrai, lequel des énoncés suivants doit aussi être vrai ?
1. a)'Non $Q$ implique non $P$ ' (contraposée)
2. b)' $Q$ implique $P$ ' (réciproque)
3. c)'Non $P$ implique non $Q$ ' (inverse)
4. d)Toutes les réponses ci-dessus
16.
Prouve : Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.