Introduction aux preuves mathématiques

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Qu'est-ce qu'une preuve mathématique ?
1. a)Un argument logique montrant pourquoi un énoncé doit être vrai
2. b)Une formule à mémoriser
3. c)Une supposition sur la vérité de quelque chose
4. d)Un seul exemple qui fonctionne
Réponse: Un argument logique montrant pourquoi un énoncé doit être vrai
Une preuve mathématique est un argument logique qui démontre pourquoi un énoncé doit être vrai pour tous les cas, en utilisant des définitions, des axiomes et des théorèmes déjà prouvés.
2.
Quelle est la différence entre un axiome et un théorème ?
1. a)Ce sont la même chose
2. b)Les axiomes sont faux ; les théorèmes sont vrais
3. c)Un axiome est accepté sans preuve ; un théorème est prouvé
4. d)Un théorème est accepté sans preuve ; un axiome est prouvé
Réponse: Un axiome est accepté sans preuve ; un théorème est prouvé
Les axiomes sont des énoncés que nous acceptons comme vrais sans preuve - ce sont nos points de départ. Les théorèmes sont des énoncés qui ont été prouvés vrais en utilisant des axiomes et d'autres théorèmes.
3.
Si est un nombre pair, nous pouvons écrire où est un entier. Si , quelle est la valeur de ?
Réponse: 6
Puisque , nous resolvons pour : . Cela confirme que 12 est pair car .
4.
Si est un nombre impair, nous pouvons écrire . Si , quelle est la valeur de ?
Réponse: 7
Puisque , nous résolvons : , donc . Vérification : .
5.
Dans une preuve par l'absurde, que faisons-nous en premier ?
1. a)Supposer le contraire de ce que nous voulons prouver
2. b)Prouver l'énoncé directement
3. c)Donner plusieurs exemples
4. d)Énoncer d'abord la conclusion
Réponse: Supposer le contraire de ce que nous voulons prouver
Dans une preuve par l'absurde, nous supposons que le contraire de ce que nous voulons prouver est vrai. Puis nous montrons que cela mène à une impossibilité logique (contradiction), prouvant que notre énoncé original doit être vrai.
6.
Pourquoi montrer que N'EST PAS une preuve que 'la somme de deux nombres pairs est paire' ?
1. a)Le calcul est faux
2. b)Nous devons utiliser la soustraction à la place
3. c)Cela ne prouve qu'un cas spécifique, pas tous les cas
4. d)6 n'est pas pair
Réponse: Cela ne prouve qu'un cas spécifique, pas tous les cas
Il existe une infinité de paires de nombres pairs. Tester prouve seulement qu'UNE paire fonctionne. Une preuve doit montrer que TOUTES les paires fonctionnent, ce qui nécessite d'utiliser des variables comme .
7.
Si et sont des nombres pairs, qu'est-ce que en fonction de et ? Écrivez sous la forme
Réponse: 2(m+n)
. Puisque est un entier, est pair. Cela prouve que la somme de deux nombres pairs est toujours paire !
8.
Prouvez que le produit de deux nombres impairs est impair. Soit et .
Réponse: 2(2mn+m+n)+1
1. Développez 4mn+2m+2n+1
2. Factorisez par 2 les trois premiers termes 2(2mn+m+n)+1
3. Est-ce que a la forme ? oui
9.
Quelle affirmation décrit correctement un raisonnement circulaire dans une preuve ?
1. a)Terminer par CQFD
2. b)Utiliser trop d'étapes
3. c)Utiliser la conclusion comme partie de la preuve
4. d)Commencer par une définition
Réponse: Utiliser la conclusion comme partie de la preuve
Le raisonnement circulaire se produit lorsque vous supposez ce que vous essayez de prouver. Par exemple, dire 'X est vrai parce que X est vrai' ne prouve rien - cela tourne en rond.
10.
Dans la preuve que est irrationnel, nous avons supposé sans facteurs communs. Nous avons montré que et doivent tous deux être pairs. Quel facteur commun partagent-ils ?
Réponse: 2
Si et sont tous deux pairs, ils ont tous deux 2 comme facteur. Cela contredit notre hypothèse qu'ils ne partagent aucun facteur commun. Cette contradiction prouve que ne peut pas s'écrire .
11.
Prouvez : La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est impaire.
Réponse: 2(m+n)+1
1. Soit le nombre pair . Écrivez le nombre impair sous la forme 2n+1
2. Calculez 2m+2n+1
3. Réécrivez en factorisant : 2(m+n)+1
4. Est-ce que est impair ? (oui/non) oui
12.
L'énoncé 'Tous les nombres premiers sont impairs' semble vrai pour 3, 5, 7, 11, 13... Qu'est-ce qui réfute cet énoncé ?
1. a)9 est impair mais pas premier
2. b)1 n'est pas premier
3. c)2 est premier mais pair
4. d)15 a beaucoup de facteurs
Réponse: 2 est premier mais pair
2 est premier (divisible seulement par 1 et lui-même) mais il est pair. Un contre-exemple suffit pour réfuter un énoncé universel. Cela montre pourquoi nous avons besoin de preuves, pas seulement d'exemples !
13.
Prouvez par l'absurde : Il n'existe pas de plus grand entier.
Réponse: N+1
1. Supposons le contraire : il EXISTE un plus grand entier. Appelons-le . Est-ce que est aussi un entier ? oui
2. Est-ce que ? oui
3. Nous avons trouvé un entier plus grand que . Qu'est-ce que c'est ? N+1
4. Cela contredit que est le plus grand. Donc notre hypothèse était... (vraie/fausse) fausse
14.
Si est pair, alors doit être pair. Pourquoi ? Parce que si était impair (), alors , qui est... (pair/impair) ?
Réponse: odd
est de la forme , qui est impair. Donc si était impair, serait impair. Par conséquent, si est pair, ne peut pas être impair - il doit être pair !
15.
Si ' implique ' est vrai, lequel des énoncés suivants doit aussi être vrai ?
1. a)'Non implique non ' (contraposée)
2. b)' implique ' (réciproque)
3. c)'Non implique non ' (inverse)
4. d)Toutes les réponses ci-dessus
Réponse: 'Non implique non ' (contraposée)
La contraposée ('Non implique non ') est toujours logiquement équivalente à l'énoncé original. La réciproque et l'inverse ne sont PAS garanties vraies. Exemple : 'S'il pleut, le sol est mouillé' est vrai, mais 'Si le sol est mouillé, il a plu' n'est pas toujours vrai (arroseurs !).
16.
Prouvez : Si est impair, alors est impair.
Réponse: n is odd
1. Nous allons prouver la contraposée. Si est pair, alors est... (pair/impair) ? pair
2. Si (pair), qu'est-ce que ? 4k^2
3. Écrivez sous la forme 2(2k^2)
4. Puisque est pair, nous avons prouvé : si est pair alors est pair. Par contraposée, si est impair, alors est... impair