Introduction aux preuves mathématiques

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Qu'est-ce qu'une preuve mathématique ?
1. a)Une supposition sur la vérité de quelque chose
2. b)Une formule à mémoriser
3. c)Un seul exemple qui fonctionne
4. d)Un argument logique montrant pourquoi un énoncé doit être vrai
Réponse: Un argument logique montrant pourquoi un énoncé doit être vrai
Une preuve mathématique est un argument logique qui démontre pourquoi un énoncé doit être vrai pour tous les cas, en utilisant des définitions, des axiomes et des théorèmes déjà prouvés.
2.
Quelle est la différence entre un axiome et un théorème ?
1. a)Ce sont la même chose
2. b)Les axiomes sont faux ; les théorèmes sont vrais
3. c)Un théorème est accepté sans preuve ; un axiome est prouvé
4. d)Un axiome est accepté sans preuve ; un théorème est prouvé
Réponse: Un axiome est accepté sans preuve ; un théorème est prouvé
Les axiomes sont des énoncés que nous acceptons comme vrais sans preuve - ce sont nos points de départ. Les théorèmes sont des énoncés qui ont été prouvés vrais en utilisant des axiomes et d'autres théorèmes.
3.
Si $n$ est un nombre pair, nous pouvons écrire $n = 2k$ où $k$ est un entier. Si $n = 12$ , quelle est la valeur de $k$ ?
Réponse: 6
Puisque $12 = 2k$ , on isole $k$ : $k = 12 \div 2 = 6$ . Cela confirme que 12 est pair car $12 = 2 \times 6$ .
4.
Si $n$ est un nombre impair, nous pouvons écrire $n = 2k + 1$ . Si $n = 15$ , quelle est la valeur de $k$ ?
Réponse: 7
Puisque $15 = 2k + 1$ , nous résolvons : $2k = 15 - 1 = 14$ , donc $k = 7$ . Vérification : $2(7) + 1 = 15$ .
5.
Dans une preuve par l'absurde, que faisons-nous en premier ?
1. a)Prouver l'énoncé directement
2. b)Donner plusieurs exemples
3. c)Énoncer d'abord la conclusion
4. d)Supposer le contraire de ce que nous voulons prouver
Réponse: Supposer le contraire de ce que nous voulons prouver
Dans une preuve par l'absurde, nous supposons que le contraire de ce que nous voulons prouver est vrai. Puis nous montrons que cela mène à une impossibilité logique (contradiction), prouvant que notre énoncé original doit être vrai.
6.
Pourquoi montrer que $2 + 4 = 6$ N'EST PAS une preuve que 'la somme de deux nombres pairs est paire' ?
1. a)Cela ne prouve qu'un cas spécifique, pas tous les cas
2. b)Nous devons utiliser la soustraction à la place
3. c)Le calcul est faux
4. d)6 n'est pas pair
Réponse: Cela ne prouve qu'un cas spécifique, pas tous les cas
Il existe une infinité de paires de nombres pairs. Tester $2 + 4 = 6$ prouve seulement qu'UNE paire fonctionne. Une preuve doit montrer que TOUTES les paires fonctionnent, ce qui nécessite d'utiliser des variables comme $2m + 2n = 2(m+n)$ .
7.
Soient $a = 2m$ et $b = 2n$ deux nombres pairs. Complète : $a + b = 2m + 2n = 2(\square)$ . Que mets-tu dans la case ?
Réponse: m+n
$a + b = 2m + 2n = 2(m + n)$ . Puisque $m + n$ est un entier, $2(m+n)$ est pair. Cela prouve que la somme de deux nombres pairs est toujours paire !
8.
Prouve que le produit de deux nombres impairs est impair. Soit $a = 2m + 1$ et $b = 2n + 1$ .
Réponse: 2(2mn+m+n)+1
1. Développe $(2m + 1)(2n + 1)$ 4mn+2m+2n+1
2. Factorise par 2 les trois premiers termes : $4mn + 2m + 2n + 1 = 2(\square) + 1$ . Que mets-tu dans la case ? 2mn+m+n
3. Est-ce que $2(2mn + m + n) + 1$ a la forme $2k + 1$ ? oui
9.
Quelle affirmation décrit correctement un raisonnement circulaire dans une preuve ?
1. a)Terminer par CQFD
2. b)Commencer par une définition
3. c)Utiliser trop d'étapes
4. d)Utiliser la conclusion comme partie de la preuve
Réponse: Utiliser la conclusion comme partie de la preuve
Le raisonnement circulaire se produit lorsque tu supposes ce que tu essaies de prouver. Par exemple, dire 'X est vrai parce que X est vrai' ne prouve rien - cela tourne en rond.
10.
Dans la preuve que $\sqrt{2}$ est irrationnel, nous avons supposé $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ sans facteurs communs. Nous avons montré que $a$ et $b$ doivent tous deux être pairs. Quel facteur commun partagent-ils ?
Réponse: 2
Si $a$ et $b$ sont tous deux pairs, ils ont tous deux 2 comme facteur. Cela contredit notre hypothèse qu'ils ne partagent aucun facteur commun. Cette contradiction prouve que $\sqrt{2}$ ne peut pas s'écrire $\frac{a}{b}$ .
11.
Prouve : La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est impaire.
Réponse: 2(m+n)+1
1. Soit le nombre pair $a = 2m$ . Le nombre impair est $b = 2n + \square$ . Quel nombre mets-tu dans la case ? 1
2. Calcule $a + b = 2m + (2n + 1)$ 2m+2n+1
3. Factorise par 2 les deux premiers termes : $2m + 2n + 1 = 2(\square) + 1$ . Que mets-tu dans la case ? m+n
4. Est-ce que $2(m+n) + 1$ est impair ? oui
12.
L'énoncé 'Tous les nombres premiers sont impairs' semble vrai pour 3, 5, 7, 11, 13... Qu'est-ce qui réfute cet énoncé ?
1. a)1 n'est pas premier
2. b)15 a beaucoup de facteurs
3. c)9 est impair mais pas premier
4. d)2 est premier mais pair
Réponse: 2 est premier mais pair
2 est premier (divisible seulement par 1 et lui-même) mais il est pair. Un contre-exemple suffit pour réfuter un énoncé universel. Cela montre pourquoi nous avons besoin de preuves, pas seulement d'exemples !
13.
Prouve par l'absurde : Il n'existe pas de plus grand entier.
Réponse: N+1
1. Supposons le contraire : il EXISTE un plus grand entier. Appelons-le $N$ . Est-ce que $N + 1$ est aussi un entier ? oui
2. Est-ce que $N + 1 > N$ ? oui
3. Nous avons trouvé un entier plus grand que $N$ . Qu'est-ce que c'est ? N+1
4. Cela contredit que $N$ est le plus grand. Donc notre hypothèse était... fausse
14.
Pourquoi $a$ doit-il être pair quand $a^2$ est pair ? Suppose que $a$ soit impair, $a = 2k + 1$ . Alors $a^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Quel est le reste de la division de $a^2$ par 2 ?
Réponse: 1
$2(2k^2 + 2k)$ est un multiple de 2, donc la division de $a^2$ par 2 donne un reste de 1 : $a^2$ serait impair. Si $a$ était impair, $a^2$ serait donc impair. Par conséquent, si $a^2$ est pair, $a$ ne peut pas être impair : il est pair.
15.
Si ' $P$ implique $Q$ ' est vrai, lequel des énoncés suivants doit aussi être vrai ?
1. a)'Non $Q$ implique non $P$ ' (contraposée)
2. b)' $Q$ implique $P$ ' (réciproque)
3. c)'Non $P$ implique non $Q$ ' (inverse)
4. d)Toutes les réponses ci-dessus
Réponse: 'Non $Q$ implique non $P$ ' (contraposée)
La contraposée ('Non $Q$ implique non $P$ ') est toujours logiquement équivalente à l'énoncé original. La réciproque et l'inverse ne sont PAS garanties vraies. Exemple : 'S'il pleut, le sol est mouillé' est vrai, mais 'Si le sol est mouillé, il a plu' n'est pas toujours vrai (arroseurs !).
16.
Prouve : Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.
Réponse: $n$ est impair
1. Nous allons prouver la contraposée. Si $n$ est pair, alors $n^2$ est... ? pair
2. Si $n = 2k$ (pair), qu'est-ce que $n^2$ ? 4k^2
3. Complète : $4k^2 = 2(\square)$ . Que mets-tu dans la case ? 2k^2
4. Puisque $2(2k^2)$ est pair, nous avons prouvé : si $n$ est pair alors $n^2$ est pair. Par contraposée, si $n^2$ est impair, alors $n$ est... impair