Résoudre une équation sous forme de démonstration

**Hypothèse :** $3x + 5 = 20$. **À démontrer :** $x = 5$. Écris la démonstration en deux colonnes.

Écris l'hypothèse comme affirmation 1: Affirmation : $3x + 5 = 20$ = Justification : hypothèse

Soustrais 5 des deux membres: $3x + 5 - 5 = 20 - 5$, donc affirmation : $3x = 15$ = Justification : propriété de l'égalité (soustraction)

Divise les deux membres par 3: $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$, donc affirmation : $x = 5$ = Justification : propriété de l'égalité (division)

Vérifie que la dernière affirmation est celle à démontrer: L'affirmation 3 est $x = 5$, exactement ce qu'il fallait démontrer = La démonstration est terminée

Answer: 1. $3x + 5 = 20$ (hypothèse) ; 2. $3x = 15$ (propriété de l'égalité, soustraction) ; 3. $x = 5$ (propriété de l'égalité, division).

Compléter les justifications manquantes

**Hypothèse :** $2(x - 4) = 10$. **À démontrer :** $x = 9$. Les affirmations sont 1. $2(x - 4) = 10$, 2. $2x - 8 = 10$, 3. $2x = 18$, 4. $x = 9$. Trouve la justification de chaque affirmation.

L'affirmation 1 est l'information de départ: $2(x - 4) = 10$ nous a été donnée = Justification 1 : hypothèse

Compare les affirmations 1 et 2: $2(x - 4)$ est devenu $2x - 8$ : on a développé la parenthèse = Justification 2 : distributivité

Compare les affirmations 2 et 3: $2x - 8 + 8 = 10 + 8$ : on a ajouté 8 aux deux membres = Justification 3 : propriété de l'égalité (addition)

Compare les affirmations 3 et 4: $\frac{2x}{2} = \frac{18}{2}$ : on a divisé les deux membres par 2 = Justification 4 : propriété de l'égalité (division)

Answer: Hypothèse, distributivité, propriété de l'égalité (addition), propriété de l'égalité (division). Vérification : $2(9 - 4) = 2 \cdot 5 = 10$.

Une démonstration sur des segments

Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont alignés dans cet ordre. **Hypothèse :** $AB = CD$. **À démontrer :** $AC = BD$.

Commence par l'hypothèse: Affirmation : $AB = CD$ = Justification : hypothèse

Écris que $BC$ est égal à lui-même: Affirmation : $BC = BC$ = Justification : réflexivité

Ajoute $BC$ aux deux membres de l'affirmation 1: Affirmation : $AB + BC = CD + BC$ = Justification : propriété de l'égalité (addition)

Utilise l'addition des longueurs des deux côtés: Affirmation : $AB + BC = AC$ et $BC + CD = BD$ = Justification : addition des longueurs (postulat)

Remplace les deux sommes dans l'affirmation 3: Affirmation : $AC = BD$ = Justification : substitution

Answer: $AC = BD$. Vérification avec des nombres : si $AB = CD = 4$ et $BC = 7$, alors $AC = 11$ et $BD = 11$.

Angles supplémentaires

**Hypothèses :** $\angle 1$ et $\angle 2$ sont supplémentaires, $m\angle 1 = 65^\circ$. **À démontrer :** $m\angle 2 = 115^\circ$.

Écris les hypothèses: Affirmation : $\angle 1$ et $\angle 2$ sont supplémentaires, $m\angle 1 = 65^\circ$ = Justification : hypothèse

Utilise le sens du mot supplémentaires: Affirmation : $m\angle 1 + m\angle 2 = 180^\circ$ = Justification : définition des angles supplémentaires

Remplace $m\angle 1$ par $65^\circ$: Affirmation : $65^\circ + m\angle 2 = 180^\circ$ = Justification : substitution

Soustrais $65^\circ$ des deux membres: Affirmation : $m\angle 2 = 115^\circ$ = Justification : propriété de l'égalité (soustraction)

Answer: $m\angle 2 = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$, et chaque étape a sa justification.

Démontrer le théorème des angles opposés par le sommet

Deux droites se coupent et forment, l'un après l'autre, $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ : $\angle 1$ et $\angle 3$ sont opposés par le sommet. **Hypothèses :** $\angle 1$ et $\angle 2$ sont adjacents et forment un angle plat, de même que $\angle 2$ et $\angle 3$. **À démontrer :** $m\angle 1 = m\angle 3$.

Écris les hypothèses: Affirmation : $\angle 1, \angle 2$ et $\angle 2, \angle 3$ forment chacun un angle plat = Justification : hypothèse

Deux angles qui forment un angle plat sont sur une même droite: Affirmation : $m\angle 1 + m\angle 2 = 180^\circ$ et $m\angle 2 + m\angle 3 = 180^\circ$ = Justification : deux angles adjacents formant un angle plat sont supplémentaires

Les deux sommes valent $180^\circ$, elles sont donc égales: Affirmation : $m\angle 1 + m\angle 2 = m\angle 2 + m\angle 3$ = Justification : substitution

Soustrais $m\angle 2$ des deux membres: Affirmation : $m\angle 1 = m\angle 3$ = Justification : propriété de l'égalité (soustraction)

Answer: Deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure. Désormais, tu peux l'utiliser comme justification : théorème des angles opposés par le sommet.

Mistake: Écrire ce que tu as fait au lieu d'une justification, par exemple "j'ai passé le 5 de l'autre côté"

Why: Une justification doit nommer une règle reconnue par tous. "Passer" un nombre de l'autre côté n'est pas une règle et cache ce qui s'est vraiment passé.

Correct: Nomme la propriété : passer de $3x + 5 = 20$ à $3x = 15$, c'est la propriété de l'égalité (soustraction), car on a soustrait 5 des deux membres.

Mistake: Choisir la division au lieu de la multiplication pour passer de $\frac{x}{4} = 3$ à $x = 12$

Why: L'étape annule une division, mais ce que tu fais réellement, c'est multiplier les deux membres par 4.

Correct: Demande-toi ce que tu as fait aux deux membres. $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$, c'est la propriété de l'égalité (multiplication).

Mistake: Utiliser l'affirmation à démontrer comme justification ou comme affirmation 1

Why: L'affirmation à démontrer est le but. L'utiliser avant de l'avoir atteinte, c'est tourner en rond : on ne démontre rien.

Correct: L'affirmation 1 est toujours une hypothèse. L'affirmation à démontrer n'apparaît qu'une fois, à la dernière ligne.

Mistake: Faire deux étapes sur une seule ligne avec une seule justification

Why: Passer directement de $2(x - 4) = 10$ à $2x = 18$ utilise deux propriétés différentes, une seule justification ne suffit pas.

Correct: Une étape par ligne : d'abord $2x - 8 = 10$ (distributivité), puis $2x = 18$ (propriété de l'égalité, addition).

Vérifier un code ligne par ligne

Les programmeurs prouvent qu'un calcul est juste en justifiant chaque ligne, exactement comme les lignes d'une démonstration en deux colonnes.

Un programme résout $4x - 7 = 21$. Une relectrice vérifie chaque ligne : ajouter 7 (propriété de l'égalité, addition), puis diviser par 4 (propriété de l'égalité, division).

Fixer une équerre d'étagère

Les menuisiers utilisent l'addition des angles quand une jambe de force partage l'angle droit entre le mur et l'étagère.

Le mur et la planche se rencontrent à $90^\circ$. Une jambe de force partage ce coin en deux angles dont la somme est $90^\circ$.

Distances sur une route droite

Sur une route droite, les distances entre les villes suivent l'addition des longueurs, ce qui permet de démontrer une distance manquante.

Si la ville $B$ se trouve entre les villes $A$ et $C$, alors $AB + BC = AC$.

Q: Une démonstration en deux colonnes, est-ce différent de résoudre une équation ?

A: Les étapes sont les mêmes. La différence : dans une démonstration, tu écris la justification de chaque étape, tu montres donc non seulement le résultat mais aussi pourquoi chaque étape est permise.

Q: Comment savoir quelle justification écrire ?

A: Compare la nouvelle affirmation avec la précédente et demande-toi ce qui a changé. A-t-on ajouté quelque chose aux deux membres ? A-t-on développé une parenthèse ? A-t-on remplacé une valeur par une autre ? Le changement t'indique la justification.

Q: Quelle est la différence entre substitution et transitivité ?

A: La transitivité porte sur trois quantités égales : si $a = b$ et $b = c$, alors $a = c$. La substitution est plus générale : on remplace une quantité par une quantité égale dans n'importe quelle affirmation, par exemple $65^\circ$ à la place de $m\angle 1$. Beaucoup de professeurs acceptent les deux quand les deux conviennent.

Q: Une démonstration peut-elle avoir plusieurs versions correctes ?

A: Oui. Parfois, on peut faire les étapes dans un autre ordre ou utiliser une autre propriété. Une démonstration est correcte tant que chaque affirmation découle des précédentes et que chaque justification est valable.