Comment savoir quelle justification écrire ?

Compare la nouvelle affirmation avec la précédente et demande-toi ce qui a changé. A-t-on ajouté quelque chose aux deux membres ? A-t-on développé une parenthèse ? A-t-on remplacé une valeur par une autre ? Le changement t'indique la justification.

Quelle est la différence entre substitution et transitivité ?

La transitivité porte sur trois quantités égales : si $a = b$ et $b = c$, alors $a = c$. La substitution est plus générale : on remplace une quantité par une quantité égale dans n'importe quelle affirmation, par exemple $65^\circ$ à la place de $m\angle 1$. Beaucoup de professeurs acceptent les deux quand les deux conviennent.

Une démonstration peut-elle avoir plusieurs versions correctes ?

Oui. Parfois, on peut faire les étapes dans un autre ordre ou utiliser une autre propriété. Une démonstration est correcte tant que chaque affirmation découle des précédentes et que chaque justification est valable.

Ressources enseignants

Démonstrations en deux colonnes

Apprends à écrire une démonstration en deux colonnes : chaque affirmation à gauche, sa justification à droite, pour des équations, des segments et des angles.

Intermédiaire25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une démonstration en deux colonnes est une démonstration écrite sous forme de tableau. La colonne de gauche contient les affirmations (ce que l'on sait à chaque étape), la colonne de droite les justifications (pourquoi chaque affirmation est vraie). La démonstration part des hypothèses (ce que l'on sait au départ) et se termine par l'affirmation à démontrer.

Hypothèse :

3x + 5 = 20

À démontrer :

x = 5

N°	Affirmation	Justification
1	$3x + 5 = 20$	Hypothèse
2	$3x = 15$	Propriété de l'égalité (soustraction)
3	$x = 5$	Propriété de l'égalité (division)

Chaque justification doit être une hypothèse, une définition, une propriété, un postulat ou un théorème déjà démontré. Les justifications que tu utiliseras le plus souvent :

Justification	Ce qu'elle permet
Propriété de l'égalité (addition et soustraction)	Si $a = b$ , alors $a + c = b + c$ et $a - c = b - c$
Propriété de l'égalité (multiplication et division)	Si $a = b$ , alors $ac = bc$ et $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ pour $c \neq 0$
Substitution	Si $a = b$ , on peut remplacer $a$ par $b$ dans n'importe quelle affirmation
Distributivité	$a(b + c) = ab + ac$
Réflexivité	$a = a$
Symétrie	Si $a = b$ , alors $b = a$
Transitivité	Si $a = b$ et $b = c$ , alors $a = c$

Pour les segments et les angles, on utilise aussi :

Addition des longueurs (postulat) : si $B$ est entre $A$ et $C$ sur une droite, alors $AB + BC = AC$
Addition des angles (postulat) : si le point $D$ est à l'intérieur de $\angle ABC$ , alors $m\angle ABD + m\angle DBC = m\angle ABC$
Définitions : deux angles complémentaires ont pour somme $90^\circ$ , deux angles supplémentaires ont pour somme $180^\circ$
Théorème des angles opposés par le sommet : deux angles opposés par le sommet ont la même mesure

Essaie tout de suite

Dans une démonstration en deux colonnes, quelle justification écrit-on à côté de l'affirmation 1 ?

Exemples résolus

Hypothèse : $3x + 5 = 20$ . À démontrer : $x = 5$ . Écris la démonstration en deux colonnes.

Écris l'hypothèse comme affirmation 1

Affirmation : $3x + 5 = 20$ → Justification : hypothèse

Soustrais 5 des deux membres

$3x + 5 - 5 = 20 - 5$ , donc affirmation : $3x = 15$ → Justification : propriété de l'égalité (soustraction)

Divise les deux membres par 3

$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ , donc affirmation : $x = 5$ → Justification : propriété de l'égalité (division)

Vérifie que la dernière affirmation est celle à démontrer

L'affirmation 3 est $x = 5$ , exactement ce qu'il fallait démontrer → La démonstration est terminée

Réponse: 1. $3x + 5 = 20$ (hypothèse) ; 2. $3x = 15$ (propriété de l'égalité, soustraction) ; 3. $x = 5$ (propriété de l'égalité, division).

Erreurs courantes

Écrire ce que tu as fait au lieu d'une justification, par exemple "j'ai passé le 5 de l'autre côté"

Pourquoi c'est faux: Une justification doit nommer une règle reconnue par tous. "Passer" un nombre de l'autre côté n'est pas une règle et cache ce qui s'est vraiment passé.

Correct: Nomme la propriété : passer de $3x + 5 = 20$ à $3x = 15$ , c'est la propriété de l'égalité (soustraction), car on a soustrait 5 des deux membres.

Choisir la division au lieu de la multiplication pour passer de $\frac{x}{4} = 3$ à $x = 12$

Pourquoi c'est faux: L'étape annule une division, mais ce que tu fais réellement, c'est multiplier les deux membres par 4.

Correct: Demande-toi ce que tu as fait aux deux membres. $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ , c'est la propriété de l'égalité (multiplication).

Utiliser l'affirmation à démontrer comme justification ou comme affirmation 1

Pourquoi c'est faux: L'affirmation à démontrer est le but. L'utiliser avant de l'avoir atteinte, c'est tourner en rond : on ne démontre rien.

Correct: L'affirmation 1 est toujours une hypothèse. L'affirmation à démontrer n'apparaît qu'une fois, à la dernière ligne.

Faire deux étapes sur une seule ligne avec une seule justification

Pourquoi c'est faux: Passer directement de $2(x - 4) = 10$ à $2x = 18$ utilise deux propriétés différentes, une seule justification ne suffit pas.

Correct: Une étape par ligne : d'abord $2x - 8 = 10$ (distributivité), puis $2x = 18$ (propriété de l'égalité, addition).

Visuel interactif

Résolveur d'équations

Résoudre pour $x$ :

3x + 5 = 20

3x + 5 = 20

Soustraire

5

des deux côtésSupprimer le terme constant

Conseils:

• Ce que tu fais d'un côté, fais-le de l'autre
• Annule les opérations dans l'ordre inverse
• Vérifie ta réponse en substituant

Suis pendant que nous résolvons l'équation étape par étape.

Explorateur d'angles

∠1 = 65°∠2 = 115°∠3 = 65°∠4 = 115°

∠1 = ∠3 = 65°, ∠2 = ∠4 = 115°

Les angles opposés par le sommet se font face là où deux droites se coupent. Ils sont toujours égaux.

Fais glisser le point bleu pour tourner la deuxième droite et observe les quatre angles.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Dans une démonstration en deux colonnes, quelle justification écrit-on à côté de l'affirmation 1 ?

Pourquoi c'est important

La démonstration en deux colonnes rend chaque étape d'un raisonnement visible :

Aucun saut caché : chaque affirmation a besoin de sa propre justification, donc un oubli ou une erreur se voit tout de suite
L'algèbre avec compréhension : en résolvant une équation, tu sais exactement quelle propriété autorise chaque étape
La géométrie : la plupart des démonstrations scolaires sur les segments, les angles et les triangles s'écrivent en deux colonnes
La programmation : vérifier un code ligne par ligne, avec une raison pour chaque ligne, fonctionne de la même façon
Une communication claire : un lecteur peut vérifier ta démonstration ligne après ligne

Quand tu sais justifier chaque étape, tu peux avoir confiance dans ton résultat, et les autres aussi !

Applications dans le monde réel

Vérifier un code ligne par ligne

Les programmeurs prouvent qu'un calcul est juste en justifiant chaque ligne, exactement comme les lignes d'une démonstration en deux colonnes.

Exemple:

Un programme résout $4x - 7 = 21$ . Une relectrice vérifie chaque ligne : ajouter 7 (propriété de l'égalité, addition), puis diviser par 4 (propriété de l'égalité, division).

1Essaie par toi-même

Le programme reçoit $4x - 7 = 21$ comme hypothèse et doit démontrer que $x = 7$ .

Quelle valeur de $x$ la démonstration obtient-elle ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul qui annule les deux opérations :

Fixer une équerre d'étagère

Les menuisiers utilisent l'addition des angles quand une jambe de force partage l'angle droit entre le mur et l'étagère.

Exemple:

Le mur et la planche se rencontrent à $90^\circ$ . Une jambe de force partage ce coin en deux angles dont la somme est $90^\circ$ .

2Essaie par toi-même

La jambe de force fait un angle de $38^\circ$ avec le mur. Les deux angles du coin forment ensemble l'angle de $90^\circ$ entre le mur et la planche.

Démontre la mesure de l'angle entre la jambe de force et la planche.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul du deuxième angle :

Distances sur une route droite

Sur une route droite, les distances entre les villes suivent l'addition des longueurs, ce qui permet de démontrer une distance manquante.

Exemple:

Si la ville $B$ se trouve entre les villes $A$ et $C$ , alors $AB + BC = AC$ .

3Essaie par toi-même

Les villes $A$ , $B$ , $C$ se trouvent dans cet ordre sur une route droite. $AB = 35$ km et $AC = 120$ km.

Démontre la distance entre $B$ et $C$ .

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul de $BC$ :

Points clés

1Une démonstration en deux colonnes range les affirmations à gauche et leurs justifications à droite
2Elle part des hypothèses et se termine exactement par l'affirmation à démontrer
3Chaque justification est une hypothèse, une définition, une propriété, un postulat ou un théorème déjà démontré
4Propriétés de l'égalité : ce que tu ajoutes, soustrais, multiplies ou divises d'un côté, tu le fais aussi de l'autre
5La substitution, la réflexivité, la symétrie, la transitivité et la distributivité sont aussi des justifications valables
6Pour les segments et les angles : addition des longueurs et des angles, définitions des angles complémentaires ( $90^\circ$ ) et supplémentaires ( $180^\circ$ ), angles opposés par le sommet

Questions fréquentes

Les étapes sont les mêmes. La différence : dans une démonstration, tu écris la justification de chaque étape, tu montres donc non seulement le résultat mais aussi pourquoi chaque étape est permise.

Glossaire

Démonstration en deux colonnes: Une démonstration écrite sous forme de tableau, avec les affirmations à gauche et les justifications à droite
Affirmation: Une étape de la démonstration : un fait que l'on sait à ce moment-là, par exemple $3x = 15$
Justification: La règle qui justifie une affirmation : hypothèse, définition, propriété, postulat ou théorème
Hypothèse / à démontrer: L'hypothèse est l'information de départ ; l'affirmation à démontrer est celle qu'il faut atteindre à la fin
Propriété de l'égalité: Une règle qui dit qu'une égalité reste vraie si l'on fait la même opération sur ses deux membres
Postulat: Une affirmation admise sans démonstration, comme l'addition des longueurs

Carte des formules

Propriété de l'égalité (addition)

a = b \Rightarrow a + c = b + c

Ajouter le même nombre aux deux membres

Propriété de l'égalité (soustraction)

a = b \Rightarrow a - c = b - c

Soustraire le même nombre des deux membres

Propriété de l'égalité (multiplication)

a = b \Rightarrow ac = bc

Multiplier les deux membres par le même nombre

Propriété de l'égalité (division)

a = b \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{c},\ c \neq 0

Diviser les deux membres par le même nombre non nul

Distributivité

a(b + c) = ab + ac

Développer une parenthèse

Réflexivité, symétrie, transitivité

a = a;\ a = b \Rightarrow b = a;\ a = b,\ b = c \Rightarrow a = c

Propriétés de base de l'égalité

Addition des longueurs

AB + BC = AC

Quand B est entre A et C sur une droite

Angles complémentaires et supplémentaires

m\angle 1 + m\angle 2 = 90^\circ \text{ ou } 180^\circ

Définitions des angles complémentaires et supplémentaires

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Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Vérifier un code ligne par ligne

Fixer une équerre d'étagère

Distances sur une route droite

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Propriété de l'égalité (addition)

Propriété de l'égalité (soustraction)

Propriété de l'égalité (multiplication)

Propriété de l'égalité (division)

Distributivité

Réflexivité, symétrie, transitivité

Addition des longueurs

Angles complémentaires et supplémentaires

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