Abri de jardin : pavé et toit en pyramide

Un abri de jardin a une base en forme de pavé de $4$ m de long, $3$ m de large et $2{,}5$ m de haut. Dessus se trouve un toit en forme de pyramide avec la même base rectangulaire de $4$ m sur $3$ m et une hauteur de $1{,}5$ m. Quel est le volume total de l'abri ?

Nomme les parties: Pavé droit ($4 \times 3 \times 2{,}5$) + pyramide (base $4 \times 3$, hauteur $1{,}5$) = Deux parties assemblées

Volume du pavé: $V_1 = 4 \times 3 \times 2{,}5 = 30$ = $30$ m³

Aire de la base de la pyramide: $B = 4 \times 3 = 12$ = $12$ m²

Volume de la pyramide: $V_2 = \frac{1}{3} \times 12 \times 1{,}5 = 6$ = $6$ m³

Additionne les parties: $V = 30 + 6 = 36$ = $36$ m³

Answer: L'abri a un volume de $36$ m³.

Crayon taillé : cylindre et cône

Une maquette de crayon est un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm. Un cône de même rayon $3$ cm et de hauteur $4$ cm est fixé à une extrémité. Calcule le volume. Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis au dixième.

Nomme les parties: Cylindre ($r = 3$, $h = 10$) + cône ($r = 3$, $h = 4$). La longueur totale de $14$ cm n'apparaît dans AUCUNE formule. = Deux parties assemblées

Cylindre en fonction de $\pi$: $V_1 = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi$ = $90\pi$ cm³

Cône en fonction de $\pi$: $V_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi$ = $12\pi$ cm³

Additionne, puis multiplie une seule fois par $3{,}14$: $90\pi + 12\pi = 102\pi \approx 102 \times 3{,}14 = 320{,}28$ = $\approx 320{,}3$ cm³

Answer: Le crayon a un volume de $102\pi \approx 320{,}3$ cm³.

Silo à grains : cylindre et demi-boule

Un silo à grains est un cylindre de rayon $2$ m et de hauteur $6$ m. Son toit est une demi-boule de même rayon $2$ m. Quelle quantité de grain le silo peut-il contenir quand il est plein ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis au dixième.

Nomme les parties: Cylindre ($r = 2$, $h = 6$) + demi-boule ($r = 2$) = Deux parties assemblées

Cylindre: $V_1 = \pi \times 2^2 \times 6 = 24\pi$ = $24\pi$ m³

Demi-boule : la moitié d'une boule: $V_2 = \frac{2}{3} \times \pi \times 2^3 = \frac{16}{3}\pi$ = $\frac{16}{3}\pi$ m³

Additionne en fonction de $\pi$: $24\pi + \frac{16}{3}\pi = \frac{72}{3}\pi + \frac{16}{3}\pi = \frac{88}{3}\pi$ = $\frac{88}{3}\pi$ m³

Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis à la fin: $\frac{88 \times 3{,}14}{3} = \frac{276{,}32}{3} \approx 92{,}11$ = $\approx 92{,}1$ m³

Answer: Le silo contient environ $92{,}1$ m³ de grain.

Cornet de glace avec une boule

Un cône de hauteur $10$ cm et de rayon $3$ cm est rempli de glace, et une boule de glace en forme de demi-boule, de rayon $3$ cm, est posée dessus. Combien de millilitres de glace cela fait-il ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis à l'unité.

Nomme les parties: Cône ($r = 3$, $h = 10$) + demi-boule ($r = 3$) = Deux parties assemblées

Cône: $V_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi$ = $30\pi$ cm³

Demi-boule: $V_2 = \frac{2}{3} \times \pi \times 3^3 = 18\pi$ = $18\pi$ cm³

Additionne et utilise $3{,}14$: $30\pi + 18\pi = 48\pi \approx 48 \times 3{,}14 = 150{,}72$ = $\approx 150{,}72$ cm³

Convertis en millilitres: $1$ cm³ $= 1$ mL, donc $150{,}72$ cm³ $= 150{,}72$ mL = $\approx 151$ mL

Answer: Il y a environ $151$ mL de glace.

Tuyau creux : soustraire un cylindre

Un tuyau en béton mesure $100$ cm de long. Son rayon extérieur est de $5$ cm et le trou au centre a un rayon de $4$ cm. Quel volume de béton le tuyau contient-il ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$.

Décris le solide: Grand cylindre ($r = 5$, $h = 100$) dont on retire un cylindre plus petit ($r = 4$, $h = 100$) = Soustraction

Cylindre extérieur: $V_{\text{ext}} = \pi \times 5^2 \times 100 = 2500\pi$ = $2500\pi$ cm³

Trou (cylindre intérieur): $V_{\text{trou}} = \pi \times 4^2 \times 100 = 1600\pi$ = $1600\pi$ cm³

Soustrais et utilise $3{,}14$: $2500\pi - 1600\pi = 900\pi \approx 900 \times 3{,}14 = 2826$ = $2826$ cm³

Answer: Le tuyau contient environ $2826$ cm³ de béton, soit environ $2{,}8$ L.

Mistake: Utiliser la hauteur totale pour chaque partie (un crayon de $14$ cm traité comme un cylindre de hauteur $14$ plus un cône de hauteur $4$)

Why: Chaque partie a sa propre hauteur. La hauteur totale appartient à l'objet entier, pas à une seule partie, donc la zone du cône est comptée deux fois.

Correct: Partage la hauteur : cylindre $h = 10$, cône $h = 4$. Vérifie que les hauteurs des parties donnent bien la hauteur totale : $10 + 4 = 14$.

Mistake: Utiliser la formule de la boule entière pour un dôme ou une boule de glace

Why: Un dôme, une boule posée sur un cornet ou l'extrémité arrondie d'un silo n'est qu'une demi-boule. Avec $\frac{4}{3}\pi r^3$, tu doubles cette partie.

Correct: Une demi-boule a pour volume $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$. Deux demi-boules (les deux bouts d'une gélule) forment une boule entière.

Mistake: Soustraire d'abord les rayons d'un tuyau : $\pi (5 - 4)^2 \times 100 = 100\pi$

Why: Le volume dépend de $r^2$, donc on ne peut pas soustraire les rayons avant de les élever au carré. La différence des volumes n'est pas le volume de la différence.

Correct: Soustrais des volumes entiers : $\pi \times 5^2 \times 100 - \pi \times 4^2 \times 100 = \pi (25 - 16) \times 100 = 900\pi$.

Mistake: Arrondir chaque partie avant d'additionner

Why: Les petites erreurs d'arrondi de chaque partie s'accumulent, et le résultat final peut être faux au dernier chiffre.

Correct: Garde chaque partie en fonction de $\pi$ (ou garde toutes les décimales), additionne ou soustrais, puis arrondis une seule fois à la fin au rang demandé.

Réservoirs et gélules

Les réservoirs de gaz, d'eau ou de lait sont souvent des cylindres avec une demi-boule à chaque bout, car les bouts arrondis résistent mieux à la pression que les bouts plats. Les deux demi-boules forment ensemble une boule entière.

Une gélule de rayon $3$ mm avec un cylindre de $4$ mm au milieu a pour volume $\pi \times 3^2 \times 4 + \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi + 36\pi = 72\pi \approx 226{,}08$ mm³.

Jardinières en béton

Les jardinières sont souvent coulées en béton sous forme d'un bloc avec un trou pour la terre. Le béton nécessaire est le volume du bloc moins le volume du trou.

Un bloc de $8$ cm sur $8$ cm sur $5$ cm percé d'un trou cylindrique de rayon $1$ cm sur toute sa hauteur utilise $320 - \pi \times 1^2 \times 5 \approx 304{,}3$ cm³ de matière.

Fusées miniatures

Le corps d'une fusée miniature est un cylindre avec un nez en forme de cône. Les concepteurs utilisent le volume pour prévoir la place à l'intérieur pour les pièces et estimer la masse d'une maquette pleine.

Une fusée de rayon $4$ cm, avec un cylindre de $15$ cm et un nez conique de $6$ cm, a pour volume $240\pi + 32\pi = 272\pi \approx 854{,}08$ cm³.

Q: Comment savoir s'il faut additionner ou soustraire ?

A: Demande-toi de quoi le solide est fait. Si deux morceaux sont collés ensemble (un cône sur un cylindre), tu additionnes. Si quelque chose est découpé ou vide (un trou, l'intérieur d'un tuyau), tu soustrais la partie vide du plus grand solide.

Q: Il n'y a pas de dessin. Comment imaginer la forme ?

A: Lis la description lentement et fais un croquis rapide. Écris chaque partie avec ses propres nombres, par exemple : cylindre $r = 2$, $h = 6$ ; demi-boule $r = 2$. Une fois les parties listées, le problème devient deux petits problèmes.

Q: Dois-je utiliser $\pi \approx 3{,}14$ ou la touche $\pi$ ?

A: Utilise ce que demande l'énoncé. Cette leçon utilise $3{,}14$. La touche $\pi$ donne un résultat un peu plus grand et plus précis (par exemple $102\pi$ vaut $320{,}28$ avec $3{,}14$ et $320{,}44$ avec la touche). Si l'énoncé demande une réponse en fonction de $\pi$, écris par exemple $102\pi$.

Q: Dois-je compter la face plate où les deux parties se touchent ?

A: Pour le volume, non. La face où deux parties se rejoignent n'a pas d'épaisseur, elle n'ajoute donc aucun volume. Elle ne compte que pour l'aire, qui fait l'objet d'une autre leçon (Aire de surface des solides composés).