Il n'y a pas de dessin. Comment imaginer la forme ?

Lis la description lentement et fais un croquis rapide. Écris chaque partie avec ses propres nombres, par exemple : cylindre $r = 2$, $h = 6$ ; demi-boule $r = 2$. Une fois les parties listées, le problème devient deux petits problèmes.

Dois-je utiliser $\pi \approx 3{,}14$ ou la touche $\pi$ ?

Utilise ce que demande l'énoncé. Cette leçon utilise $3{,}14$. La touche $\pi$ donne un résultat un peu plus grand et plus précis (par exemple $102\pi$ vaut $320{,}28$ avec $3{,}14$ et $320{,}44$ avec la touche). Si l'énoncé demande une réponse en fonction de $\pi$, écris par exemple $102\pi$.

Dois-je compter la face plate où les deux parties se touchent ?

Pour le volume, non. La face où deux parties se rejoignent n'a pas d'épaisseur, elle n'ajoute donc aucun volume. Elle ne compte que pour l'aire, qui fait l'objet d'une autre leçon (Aire de surface des solides composés).

Ressources enseignants

Volume des solides composés

Apprends à calculer le volume de solides formés de cubes, de prismes, de cylindres, de cônes, de boules et de pyramides en additionnant ou en soustrayant les volumes de leurs parties.

Avancé30 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un solide composé est un objet en trois dimensions formé de deux solides simples ou plus assemblés, ou un solide simple dont on a retiré une partie. Un crayon est un cylindre avec un cône au bout, un silo à grains est un cylindre surmonté d'une demi-boule, et un tuyau est un cylindre dont on a retiré un cylindre plus petit.

Il n'y a pas de nouvelle formule à apprendre. Tu découpes le solide en parties que tu connais déjà, tu calcules le volume de chaque partie, puis tu les combines :

V_{\text{total}} = V_1 + V_2 \quad \text{(parties assemblées)}

V = V_{\text{extérieur}} - V_{\text{retiré}} \quad \text{(trou ou partie creuse)}

Rappel des formules

Cube : $V = s^3$
Pavé droit : $V = L \times l \times h$
Cylindre : $V = \pi r^2 h$
Cône : $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
Boule : $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , donc une demi-boule a pour volume $V = \frac{2}{3}\pi r^3$
Pyramide : $V = \frac{1}{3}Bh$ , où $B$ est l'aire de la base

Une méthode qui marche toujours

1.Décris le solide avec des mots (ou fais un croquis) : quels solides simples, comment ils sont assemblés, quelles dimensions appartiennent à quelle partie.
2.Trouve les dimensions de chaque partie. Les parties ont souvent le même rayon, mais chacune a sa propre hauteur.
3.Calcule chaque volume. Garder les résultats en fonction de $\pi$ (comme $90\pi$ ) rend l'addition facile.
4.Additionne ou soustrais.
5.**Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis seulement à la fin**, au rang demandé. Écris des unités cubes (cm³, m³). Rappelle-toi : $1$ L $= 1000$ cm³ et $1$ m³ $= 1000$ L.

Essaie tout de suite

Un solide est un cylindre surmonté d'un cône, de sorte que la base circulaire du cône repose exactement sur le dessus du cylindre. Comment calcules-tu le volume du solide entier ?

Exemples résolus

Un abri de jardin a une base en forme de pavé de $4$ m de long, $3$ m de large et $2{,}5$ m de haut. Dessus se trouve un toit en forme de pyramide avec la même base rectangulaire de $4$ m sur $3$ m et une hauteur de $1{,}5$ m. Quel est le volume total de l'abri ?

Nomme les parties

Pavé droit ( $4 \times 3 \times 2{,}5$ ) + pyramide (base $4 \times 3$ , hauteur $1{,}5$ ) → Deux parties assemblées

Volume du pavé

$V_1 = 4 \times 3 \times 2{,}5 = 30$ → $30$ m³

Aire de la base de la pyramide

$B = 4 \times 3 = 12$ → $12$ m²

Volume de la pyramide

$V_2 = \frac{1}{3} \times 12 \times 1{,}5 = 6$ → $6$ m³

Additionne les parties

$V = 30 + 6 = 36$ → $36$ m³

Réponse: L'abri a un volume de $36$ m³.

Erreurs courantes

Utiliser la hauteur totale pour chaque partie (un crayon de $14$ cm traité comme un cylindre de hauteur $14$ plus un cône de hauteur $4$ )

Pourquoi c'est faux: Chaque partie a sa propre hauteur. La hauteur totale appartient à l'objet entier, pas à une seule partie, donc la zone du cône est comptée deux fois.

Correct: Partage la hauteur : cylindre $h = 10$ , cône $h = 4$ . Vérifie que les hauteurs des parties donnent bien la hauteur totale : $10 + 4 = 14$ .

Utiliser la formule de la boule entière pour un dôme ou une boule de glace

Pourquoi c'est faux: Un dôme, une boule posée sur un cornet ou l'extrémité arrondie d'un silo n'est qu'une demi-boule. Avec $\frac{4}{3}\pi r^3$ , tu doubles cette partie.

Correct: Une demi-boule a pour volume $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$ . Deux demi-boules (les deux bouts d'une gélule) forment une boule entière.

Soustraire d'abord les rayons d'un tuyau : $\pi (5 - 4)^2 \times 100 = 100\pi$

Pourquoi c'est faux: Le volume dépend de $r^2$ , donc on ne peut pas soustraire les rayons avant de les élever au carré. La différence des volumes n'est pas le volume de la différence.

Correct: Soustrais des volumes entiers : $\pi \times 5^2 \times 100 - \pi \times 4^2 \times 100 = \pi (25 - 16) \times 100 = 900\pi$ .

Arrondir chaque partie avant d'additionner

Pourquoi c'est faux: Les petites erreurs d'arrondi de chaque partie s'accumulent, et le résultat final peut être faux au dernier chiffre.

Correct: Garde chaque partie en fonction de $\pi$ (ou garde toutes les décimales), additionne ou soustrais, puis arrondis une seule fois à la fin au rang demandé.

Visuel interactif

Solide composé

Rotation X (20°)

Rotation Y (30°)

Volume

Pavé droit: V = lwh = 30 m³
+ Pyramide à base rectangulaire: V = ⅓lwh = 6 m³

Volume total: 36 m³

Le volume d'un solide composé est la somme des volumes de ses parties. Un trou est soustrait.

Aire de surface

Pavé droit: 59 − 12 (faces en contact) = 47 m²
+ Pyramide à base rectangulaire: 27,99 − 12 (faces en contact) ≈ 15,99 m²

Aire totale: 62,99 m²

Dans l'aire, seul l'extérieur compte : là où deux parties se touchent, cette face est cachée et disparaît pour les deux parties. Un trou enlève ses ouvertures et ajoute sa paroi intérieure.

Calculé avec π ≈ 3,14.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Un solide est un cylindre surmonté d'un cône, de sorte que la base circulaire du cône repose exactement sur le dessus du cylindre. Comment calcules-tu le volume du solide entier ?

Exercices pratiques: Volume des solides composés

1. Un solide est un cylindre surmonté d'un cône, de sorte que la base circulaire du cône repose exactement sur le dessus du cylindre. Comment calcules-tu le volume du solide entier ?
2. Un cube de 4 cm d'arête est collé sur un cube plus grand de 6 cm d'arête. Quel est le volume total du solide en cm³ ?
3. Un bloc en escalier est formé de deux pavés. Le pavé du bas mesure 8 cm de long, 4 cm de large et 2 cm de haut. Un second pavé de 4 cm de long, 4 cm de large et 2 cm de haut est posé dessus. Calcule le volume total en cm³.
4. Quelle expression donne le volume d'une demi-boule de rayon r ?
5. Un petit abri est un cube de 2 m d'arête. Son toit est une pyramide à base carrée de 2 m sur 2 m (le dessus du cube) et de hauteur 1,5 m. Quel est le volume total de l'abri en m³ ?
6. Une maison modèle est un pavé de 6 m de long, 4 m de large et 3 m de haut, surmonté d'un toit en pyramide. Le toit a la même base rectangulaire de 6 m sur 4 m et une hauteur de 2 m. Calcule le volume total en m³.
7. Un cube en bois a 10 cm d'arête. On découpe dans un coin un petit cube de 4 cm d'arête. Quel volume de bois reste-t-il, en cm³ ?
8. Une maquette de fusée mesure 15 cm de haut : un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 9 cm, surmonté d'un cône de rayon 2 cm et de hauteur 6 cm. Quelle expression donne son volume ?
9. Une craie grasse est un cylindre de rayon 1 cm et de longueur 9 cm, avec une pointe en forme de cône de rayon 1 cm et de hauteur 3 cm. Utilise π ≈ 3,14 pour calculer son volume en cm³.
10. Un cornet de glace a un rayon de 3 cm et une hauteur de 8 cm et il est entièrement rempli. Une boule de glace en forme de demi-boule, de rayon 3 cm, est posée dessus. Le volume total de glace est kπ cm³. Combien vaut k ?
11. Un récipient en forme de gélule est un cylindre de rayon 3 cm et de longueur 12 cm, avec une demi-boule de rayon 3 cm à chaque bout. Utilise π ≈ 3,14 et arrondis le volume total au cm³ près.
12. Un bloc de bois mesure 10 cm de long, 10 cm de large et 6 cm de haut. Un trou cylindrique de rayon 2 cm est percé tout droit sur toute sa hauteur de 6 cm. Avec π ≈ 3,14, quel volume de bois reste-t-il, arrondi au dixième ?
13. Un silo est un cylindre de rayon 2 m et de hauteur 8 m, avec un toit en forme de demi-boule de rayon 2 m. Utilise π ≈ 3,14. Quel est le volume du silo en m³, arrondi à l'unité ?
14. Un cylindre plein a un rayon de 6 cm et une hauteur de 10 cm. On y creuse un cône de même base (rayon 6 cm) et de même hauteur (10 cm), pointe vers le bas à l'intérieur du cylindre. Utilise π ≈ 3,14 pour calculer le volume de matière restant, en cm³.
15. Un tuyau en métal mesure 50 cm de long. Son rayon extérieur est de 6 cm et son rayon intérieur (le trou) de 5 cm. Quelle expression donne le volume de métal du tuyau ?
16. Un tuyau d'évacuation en béton mesure 200 cm de long. Son rayon extérieur est de 10 cm et son rayon intérieur de 8 cm. Utilise π ≈ 3,14 pour trouver combien de litres de béton il contient (1 L = 1000 cm³).
17. Un aquarium est un pavé de 30 cm de long, 20 cm de large et 20 cm de haut. Une décoration pleine en forme de cylindre, de rayon 5 cm et de hauteur 20 cm, est posée debout à l'intérieur. Avec π ≈ 3,14, combien de litres d'eau faut-il pour remplir le reste de l'aquarium ? (1 L = 1000 cm³)
18. Un solide est un cylindre surmonté d'une demi-boule, tous deux de rayon 3 cm. Son volume total est 90π cm³. Quelle est la hauteur de la partie cylindrique ? (Travaille en fonction de π.)

Pourquoi c'est important

Les objets réels ont rarement une seule forme parfaite :

Ingénierie : les réservoirs de gaz et les gélules de médicaments sont des cylindres aux extrémités arrondies (deux demi-boules).
Agriculture : un silo est un cylindre surmonté d'un dôme ou d'un cône, et les agriculteurs ont besoin de son volume pour savoir combien de grain il contient.
Construction : les maçons commandent du béton pour des blocs et des tuyaux percés de trous, ils doivent donc soustraire l'espace vide.
Alimentation : un cornet de glace avec une boule dessus, un gâteau avec un trou au centre, un bonbon en forme de crayon.
Architecture : une maison est un pavé avec un toit en pyramide ou en prisme, et le chauffage dépend du volume d'air à l'intérieur.

Si tu sais découper une forme en parties simples, tu peux calculer le volume de presque tout.

Applications dans le monde réel

Réservoirs et gélules

Les réservoirs de gaz, d'eau ou de lait sont souvent des cylindres avec une demi-boule à chaque bout, car les bouts arrondis résistent mieux à la pression que les bouts plats. Les deux demi-boules forment ensemble une boule entière.

Exemple:

Une gélule de rayon $3$ mm avec un cylindre de $4$ mm au milieu a pour volume $\pi \times 3^2 \times 4 + \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi + 36\pi = 72\pi \approx 226{,}08$ mm³.

1Essaie par toi-même

Un réservoir d'eau est un cylindre de rayon $30$ cm et de longueur $100$ cm, avec une demi-boule de rayon $30$ cm à chaque bout. Utilise $\pi \approx 3{,}14$ .

Combien de litres d'eau le réservoir contient-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Cylindre plus une boule entière :

Jardinières en béton

Les jardinières sont souvent coulées en béton sous forme d'un bloc avec un trou pour la terre. Le béton nécessaire est le volume du bloc moins le volume du trou.

Exemple:

Un bloc de $8$ cm sur $8$ cm sur $5$ cm percé d'un trou cylindrique de rayon $1$ cm sur toute sa hauteur utilise $320 - \pi \times 1^2 \times 5 \approx 304{,}3$ cm³ de matière.

2Essaie par toi-même

Une jardinière est un cube de béton de $50$ cm d'arête. Un trou en forme de cylindre de rayon $20$ cm et de profondeur $40$ cm est laissé sur le dessus pour la terre. Utilise $\pi \approx 3{,}14$ .

Combien de cm³ de béton faut-il pour la jardinière ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Cube moins le trou cylindrique :

Fusées miniatures

Le corps d'une fusée miniature est un cylindre avec un nez en forme de cône. Les concepteurs utilisent le volume pour prévoir la place à l'intérieur pour les pièces et estimer la masse d'une maquette pleine.

Exemple:

Une fusée de rayon $4$ cm, avec un cylindre de $15$ cm et un nez conique de $6$ cm, a pour volume $240\pi + 32\pi = 272\pi \approx 854{,}08$ cm³.

3Essaie par toi-même

Une fusée jouet est un cylindre de rayon $2$ cm et de hauteur $12$ cm, surmonté d'un cône de rayon $2$ cm et de hauteur $6$ cm. Utilise $\pi \approx 3{,}14$ .

Quel est le volume de la fusée ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Cylindre plus cône :

Points clés

1Un solide composé est formé de solides simples assemblés, ou d'un solide simple dont on a retiré une partie
2Découpe le solide en parties connues : pavés, cubes, cylindres, cônes, boules, demi-boules, pyramides
3Parties assemblées : additionne les volumes. Trous et parties creuses : soustrais le volume retiré
4Chaque partie a sa propre hauteur ; les parties qui se touchent ont souvent le même rayon
5Une demi-boule a pour volume $\frac{2}{3}\pi r^3$ , et deux demi-boules forment une boule
6Garde les parties en fonction de $\pi$ , utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis seulement à la fin ; donne des unités cubes ou des litres ( $1$ L $= 1000$ cm³)

Questions fréquentes

Demande-toi de quoi le solide est fait. Si deux morceaux sont collés ensemble (un cône sur un cylindre), tu additionnes. Si quelque chose est découpé ou vide (un trou, l'intérieur d'un tuyau), tu soustrais la partie vide du plus grand solide.

Glossaire

Solide composé: Une forme en trois dimensions faite de deux solides simples ou plus, ou un solide simple dont on a retiré une partie
Demi-boule: La moitié d'une boule, coupée par son centre ; volume $\frac{2}{3}\pi r^3$
Décomposer: Découper une forme en parties plus simples dont tu sais calculer le volume
Cylindre creux: Un cylindre dont on a retiré un cylindre plus petit au centre, comme un tuyau ou un tube
Contenance: Ce qu'un récipient peut contenir, souvent exprimé en litres ou en millilitres ( $1$ L $= 1000$ cm³)

Carte des formules

Parties assemblées

V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + \dots

Additionne les volumes des parties

Partie retirée

V = V_{\text{extérieur}} - V_{\text{retiré}}

Soustrais le volume du trou ou de la partie creuse

Cylindre et cône

V = \pi r^2 h

\quad V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Un cône est le tiers du cylindre de même base et de même hauteur

Boule et demi-boule

V = \frac{4}{3}\pi r^3

\quad V = \frac{2}{3}\pi r^3

Une demi-boule est la moitié d'une boule

Prisme et pyramide

V = Bh

\quad V = \frac{1}{3}Bh

$B$ est l'aire de la base ; une pyramide est le tiers du prisme de même base et de même hauteur

Cylindre creux (tuyau)

V = \pi (R^2 - r^2) h

$R$ est le rayon extérieur, $r$ le rayon intérieur

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