Pyramide à base carrée

Une pyramide a une base carrée de $6$ cm de côté et une hauteur de $10$ cm. Quel est son volume ?

Calcule l'aire de la base: $B = s^2 = 6^2 = 36$ = $B = 36$ cm²

Multiplie par la hauteur: $B \times h = 36 \times 10 = 360$ = $360$ (ce serait le prisme)

Prends le tiers: $V = \frac{1}{3} \times 360 = 120$ = $V = 120$ cm³

Answer: Le volume est de $120$ cm³.

Base rectangulaire

Une pyramide a une base rectangulaire de $8$ m sur $6$ m et une hauteur de $10$ m. Calcule son volume.

Calcule l'aire de la base: $B = l \times w = 8 \times 6 = 48$ = $B = 48$ m²

Multiplie par la hauteur: $48 \times 10 = 480$ = $480$

Divise par 3: $V = 480 \div 3 = 160$ = $V = 160$ m³

Answer: Le volume est de $160$ m³.

Base triangulaire

La base d'une pyramide est un triangle de base $6$ cm et de hauteur $4$ cm. La pyramide mesure $9$ cm de haut. Quel est son volume ?

Calcule l'aire du triangle de base: $B = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ = $B = 12$ cm²

Multiplie par la hauteur de la pyramide: $12 \times 9 = 108$ = $108$

Prends le tiers: $V = 108 \div 3 = 36$ = $V = 36$ cm³

Answer: Le volume est de $36$ cm³. Remarque les deux hauteurs différentes : $4$ cm appartient au triangle de base, $9$ cm est la hauteur de la pyramide.

Trouver la hauteur à partir du volume

Une pyramide à base carrée de $9$ m de côté a un volume de $324$ m³. Quelle est sa hauteur ?

Calcule l'aire de la base: $B = 9^2 = 81$ = $B = 81$ m²

Multiplie les deux membres de $V = \frac{1}{3}Bh$ par 3: $3V = Bh$, donc $3 \times 324 = 972$ = $Bh = 972$

Divise par l'aire de la base: $h = \frac{3V}{B} = 972 \div 81 = 12$ = $h = 12$ m

Answer: La pyramide mesure $12$ m de haut.

Utiliser l'apothème

Une pyramide à base carrée de $10$ cm de côté a un apothème de $13$ cm. Calcule son volume.

Dessine le triangle rectangle dans la pyramide: Côtés de l'angle droit : $h$ et la moitié du côté, $10 \div 2 = 5$. Hypoténuse : l'apothème $13$ = $h^2 + 5^2 = 13^2$

Utilise Pythagore pour trouver h: $h^2 = 169 - 25 = 144$, donc $h = \sqrt{144}$ = $h = 12$ cm

Calcule l'aire de la base: $B = 10^2 = 100$ = $B = 100$ cm²

Applique la formule du volume: $V = \frac{1}{3} \times 100 \times 12 = \frac{1200}{3} = 400$ = $V = 400$ cm³

Answer: Le volume est de $400$ cm³. Avec $13$ au lieu de $12$, on obtiendrait une réponse fausse d'environ $433$ cm³.

Mistake: Oublier le $\frac{1}{3}$ et calculer $V = Bh$

Why: $Bh$ est le volume du prisme de même base et même hauteur. Une pyramide n'en remplit qu'un tiers.

Correct: Termine toujours par $\div 3$ : une pyramide à base carrée avec $s = 6$ et $h = 10$ a $V = 360 \div 3 = 120$, pas $360$.

Mistake: Utiliser l'apothème au lieu de la hauteur perpendiculaire

Why: L'apothème se trouve sur une face inclinée, il est donc plus long que la vraie hauteur. Le volume devient trop grand.

Correct: Utilise la hauteur qui rencontre la base à angle droit. Si seul l'apothème est donné, trouve $h$ avec $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$.

Mistake: Mettre une longueur de côté à la place de l'aire de la base

Why: $B$ est une aire, pas une longueur. Écrire $\frac{1}{3} \times 6 \times 10$ pour une base carrée de côté $6$ oublie tout un facteur.

Correct: Calcule d'abord $B$ : $B = 6^2 = 36$, puis $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120$.

Mistake: Oublier le $\frac{1}{2}$ pour une base triangulaire

Why: L'aire d'un triangle est la moitié de base fois hauteur, donc $b \times h_b$ seul est deux fois trop grand.

Correct: Pour une base triangulaire avec $b = 6$ et $h_b = 4$ : $B = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$, pas $24$.

La pyramide de Khéops à Gizeh

Les historiens estiment la quantité de pierre déplacée par les Égyptiens en considérant la pyramide de Khéops comme une pyramide à base carrée.

À sa construction, la pyramide avait une base carrée d'environ $230$ m de côté et mesurait environ $147$ m de haut.

Tentes pyramidales

Les fabricants de matériel de camping indiquent le volume intérieur des tentes pour que tu puisses comparer leur espace.

Une tente au sol carré de $2$ m sur $2$ m avec un mât central de $1{,}5$ m est une pyramide à base carrée.

Toits en pyramide

Les chauffagistes ont besoin du volume d'air sous un toit pour dimensionner un chauffage ou une ventilation.

Un toit en pyramide (toit à quatre pans qui se termine en pointe) repose sur une maison au plan rectangulaire.

Q: Pourquoi y a-t-il un $\frac{1}{3}$ dans la formule ?

A: Une pyramide se rétrécit jusqu'à une pointe, elle contient donc moins qu'un prisme de même base et même hauteur. Des expériences avec du sable ou de l'eau montrent qu'exactement trois pyramides remplissent le prisme. On peut aussi le démontrer : un cube peut être découpé en trois pyramides identiques qui ont chacune une face du cube comme base.

Q: La formule du cône est-elle liée ?

A: Oui. Un cône est comme une pyramide à base circulaire : $V = \frac{1}{3}Bh$ avec $B = \pi r^2$ donne $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, la même règle du tiers.

Q: La formule marche-t-elle si le sommet n'est pas au-dessus du centre de la base ?

A: Oui. Une pyramide oblique a le même volume qu'une pyramide droite de même base et de même hauteur perpendiculaire. Il suffit de mesurer $h$ verticalement, du plan de la base jusqu'au sommet.

Q: Et si la base a 5 ou 6 côtés ?

A: La formule $V = \frac{1}{3}Bh$ marche pour toute base. Seul le calcul de $B$ change : découpe le polygone en triangles ou utilise sa formule d'aire, puis multiplie par $h$ et divise par 3.