La formule du cône est-elle liée ?

Oui. Un cône est comme une pyramide à base circulaire : $V = \frac{1}{3}Bh$ avec $B = \pi r^2$ donne $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, la même règle du tiers.

La formule marche-t-elle si le sommet n'est pas au-dessus du centre de la base ?

Oui. Une pyramide oblique a le même volume qu'une pyramide droite de même base et de même hauteur perpendiculaire. Il suffit de mesurer $h$ verticalement, du plan de la base jusqu'au sommet.

Et si la base a 5 ou 6 côtés ?

La formule $V = \frac{1}{3}Bh$ marche pour toute base. Seul le calcul de $B$ change : découpe le polygone en triangles ou utilise sa formule d'aire, puis multiplie par $h$ et divise par 3.

Ressources enseignants

Volume des pyramides

Apprends à calculer le volume des pyramides à base carrée, rectangulaire et triangulaire avec V = (1/3)Bh, et à trouver la hauteur à partir de l'apothème.

Avancé25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une pyramide est un solide qui a une base plane (un polygone) et des faces triangulaires qui se rejoignent toutes en un point en haut, appelé le sommet.

Le volume de toute pyramide suit une seule règle :

V = \frac{1}{3}Bh

Où :

$B$ = l'aire de la base (calcule-la toujours en premier)
$h$ = la hauteur de la pyramide : la distance verticale du sommet jusqu'à la base, perpendiculaire à celle-ci

Trouver B selon la base

Base	Aire de la base $B$	Volume
Carré, côté $s$	$B = s^2$	$V = \frac{1}{3}s^2h$
Rectangle, $l$ sur $w$	$B = l \times w$	$V = \frac{1}{3}lwh$
Triangle, base $b$ , hauteur $h_b$	$B = \frac{1}{2} \times b \times h_b$	$V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}bh_b \times h$

Pourquoi un tiers ?

Prends un prisme et une pyramide de même base et même hauteur. La pyramide contient exactement un tiers du prisme : tu peux verser trois pyramides pleines de sable dans le prisme. Donc

V_{\text{pyramide}} = \frac{1}{3}V_{\text{prisme}} = \frac{1}{3}Bh

Hauteur et apothème

L'apothème

l

se trouve sur une face triangulaire, du sommet jusqu'au milieu d'une arête de la base. Il est plus long que

h

. Dans une pyramide à base carrée,

h

, la moitié du côté et

l

forment un triangle rectangle, donc

h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2

Essaie tout de suite

Quelle formule donne le volume de toute pyramide ? (

B

= aire de la base,

h

= hauteur)

Exemples résolus

Une pyramide a une base carrée de $6$ cm de côté et une hauteur de $10$ cm. Quel est son volume ?

Calcule l'aire de la base

$B = s^2 = 6^2 = 36$ → $B = 36$ cm²

Multiplie par la hauteur

$B \times h = 36 \times 10 = 360$ → $360$ (ce serait le prisme)

Prends le tiers

$V = \frac{1}{3} \times 360 = 120$ → $V = 120$ cm³

Réponse: Le volume est de $120$ cm³.

Erreurs courantes

Oublier le $\frac{1}{3}$ et calculer $V = Bh$

Pourquoi c'est faux: $Bh$ est le volume du prisme de même base et même hauteur. Une pyramide n'en remplit qu'un tiers.

Correct: Termine toujours par $\div 3$ : une pyramide à base carrée avec $s = 6$ et $h = 10$ a $V = 360 \div 3 = 120$ , pas $360$ .

Utiliser l'apothème au lieu de la hauteur perpendiculaire

Pourquoi c'est faux: L'apothème se trouve sur une face inclinée, il est donc plus long que la vraie hauteur. Le volume devient trop grand.

Correct: Utilise la hauteur qui rencontre la base à angle droit. Si seul l'apothème est donné, trouve $h$ avec $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$ .

Mettre une longueur de côté à la place de l'aire de la base

Pourquoi c'est faux: $B$ est une aire, pas une longueur. Écrire $\frac{1}{3} \times 6 \times 10$ pour une base carrée de côté $6$ oublie tout un facteur.

Correct: Calcule d'abord $B$ : $B = 6^2 = 36$ , puis $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120$ .

Oublier le $\frac{1}{2}$ pour une base triangulaire

Pourquoi c'est faux: L'aire d'un triangle est la moitié de base fois hauteur, donc $b \times h_b$ seul est deux fois trop grand.

Correct: Pour une base triangulaire avec $b = 6$ et $h_b = 4$ : $B = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ , pas $24$ .

Visuel interactif

Visualiseur 3D

Choisir la forme

Rotation X (20°)

Rotation Y (30°)

Longueur (6)

Hauteur (10)

Faces

Arêtes

Sommets

Relation d'Euler: F + S − A = 5 + 5 − 8 = 2

Volume

V = ⅓Bh

V = ⅓ · 6² · 10 = 120

120 cm³

Aire de surface

SA = B + ½Pl

SA = 6² + ½ · 24 · 10,44 ≈ 161,28

161,28 cm²

l = √(10² + 3²) ≈ 10,44

Visualiseur 3D

Choisir la forme

Rotation X (20°)

Rotation Y (30°)

Base (6)

Hauteur du triangle (4)

Hauteur (9)

Faces

Arêtes

Sommets

Relation d'Euler: F + S − A = 4 + 4 − 6 = 2

Volume

V = ⅓Bh

V = ⅓ · 12 · 9 = 36

36 cm³

Aire de surface

SA = B + ½(a·l₁ + b·l₂ + c·l₃)

SA = 12 + ½(6 · 9,1 + 5 · 9,14 + 5 · 9,14) ≈ 85

85 cm²

B = ½ · 6 · 4 = 12

l₁ = √(9² + 1,33²) ≈ 9,1

l₂ = √(9² + 1,6²) ≈ 9,14

l₃ = √(9² + 1,6²) ≈ 9,14

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle formule donne le volume de toute pyramide ? ( $B$ = aire de la base, $h$ = hauteur)

Pourquoi c'est important

Les formes pyramidales sont partout, et leur volume indique combien d'espace, d'air ou de matériau elles contiennent :

Monuments anciens : la pyramide de Khéops à Gizeh contient environ 2,6 millions de mètres cubes de pierre
Bâtiments modernes : la pyramide de verre du Louvre à Paris a un volume d'environ $9000$ m³ d'air à chauffer ou à refroidir
Camping : le volume d'une tente pyramidale t'indique combien de place tu as à l'intérieur
Toits : les artisans estiment l'espace des combles et l'air à chauffer sous un toit en pyramide
Emballages et alimentation : sachets de thé pyramidaux, chocolats et bougies

La même idée du tiers donne aussi le volume d'un cône : ce que tu apprends ici t'aidera pour tous les solides pointus.

Applications dans le monde réel

La pyramide de Khéops à Gizeh

Les historiens estiment la quantité de pierre déplacée par les Égyptiens en considérant la pyramide de Khéops comme une pyramide à base carrée.

Exemple:

À sa construction, la pyramide avait une base carrée d'environ $230$ m de côté et mesurait environ $147$ m de haut.

1Essaie par toi-même

Prends pour la pyramide de Khéops une base carrée de $230$ m de côté et une hauteur de $147$ m.

Quel était son volume en mètres cubes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Aire de la base fois hauteur, divisé par 3 :

Tentes pyramidales

Les fabricants de matériel de camping indiquent le volume intérieur des tentes pour que tu puisses comparer leur espace.

Exemple:

Une tente au sol carré de $2$ m sur $2$ m avec un mât central de $1{,}5$ m est une pyramide à base carrée.

2Essaie par toi-même

Une tente pyramidale a un sol carré de $2$ m de côté. Son mât central mesure $1{,}5$ m de haut.

Quel volume d'air y a-t-il dans la tente ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\frac{1}{3} \times 2^2 \times 1{,}5$ :

Toits en pyramide

Les chauffagistes ont besoin du volume d'air sous un toit pour dimensionner un chauffage ou une ventilation.

Exemple:

Un toit en pyramide (toit à quatre pans qui se termine en pointe) repose sur une maison au plan rectangulaire.

3Essaie par toi-même

Un toit en pyramide couvre une maison rectangulaire de $10$ m sur $9$ m. Le sommet du toit est à $4$ m au-dessus du plafond.

Quel est le volume des combles ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\frac{1}{3} \times 10 \times 9 \times 4$ :

Points clés

1Le volume de toute pyramide est $V = \frac{1}{3}Bh$ , où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur perpendiculaire
2Calcule d'abord $B$ : $s^2$ pour un carré, $l \times w$ pour un rectangle, $\frac{1}{2} \times b \times h_b$ pour un triangle
3Une pyramide contient exactement un tiers du prisme de même base et même hauteur
4Utilise la hauteur perpendiculaire, pas l'apothème ; si besoin, trouve-la avec $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$
5Pour trouver la hauteur à partir du volume, utilise $h = \frac{3V}{B}$
6Le volume s'exprime toujours en unités cubiques (cm³, m³)

Questions fréquentes

Une pyramide se rétrécit jusqu'à une pointe, elle contient donc moins qu'un prisme de même base et même hauteur. Des expériences avec du sable ou de l'eau montrent qu'exactement trois pyramides remplissent le prisme. On peut aussi le démontrer : un cube peut être découpé en trois pyramides identiques qui ont chacune une face du cube comme base.

Glossaire

Pyramide: Un solide dont la base est un polygone et dont les faces triangulaires se rejoignent en un point (le sommet)
Sommet: Le point le plus haut d'une pyramide, où toutes les faces triangulaires se rejoignent
Aire de la base (B): L'aire de la base de la pyramide, mesurée en unités carrées
Hauteur (h): La distance du sommet à la base, mesurée perpendiculairement à la base
Apothème (l): La distance du sommet au milieu d'une arête de la base, mesurée sur une face triangulaire

Carte des formules

Toute pyramide

V = \frac{1}{3}Bh

Un tiers de l'aire de la base fois la hauteur perpendiculaire

Base carrée

V = \frac{1}{3}s^2h

L'aire de la base est le côté au carré

Base rectangulaire

V = \frac{1}{3}lwh

L'aire de la base est la longueur fois la largeur

Base triangulaire

V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}bh_b \times h

La moitié de la base du triangle fois sa hauteur donne B

Hauteur à partir de l'apothème

h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2

Pythagore dans une pyramide à base carrée

Hauteur à partir du volume

h = \frac{3V}{B}

Multiplie le volume par 3, puis divise par l'aire de la base

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