Volume d'une balle

Une balle a un rayon de $3$ cm. Calcule son volume en fonction de $\pi$, puis avec $\pi \approx 3{,}14$, arrondi au centième.

Écris la formule: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ = Formule prête

Mets le rayon au cube: $r^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ = $r^3 = 27$

Multiplie par $\frac{4}{3}$: $\frac{4}{3} \times 27 = \frac{108}{3} = 36$ = $V = 36\pi$ cm³

Remplace $\pi$ par $3{,}14$: $36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ = $V \approx 113{,}04$ cm³

Answer: Le volume est $36\pi$ cm³, soit environ $113{,}04$ cm³.

En partant du diamètre

Un globe terrestre a un diamètre de $12$ cm. Calcule son volume en fonction de $\pi$, puis avec $\pi \approx 3{,}14$, arrondi au centième.

Trouve le rayon (la moitié du diamètre): $r = 12 \div 2 = 6$ = $r = 6$ cm

Mets le rayon au cube: $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$ = $r^3 = 216$

Multiplie par $\frac{4}{3}$: $216 \div 3 = 72$, puis $72 \times 4 = 288$ = $V = 288\pi$ cm³

Remplace $\pi$ par $3{,}14$: $288 \times 3{,}14 = 904{,}32$ = $V \approx 904{,}32$ cm³

Answer: Le globe a un volume de $288\pi$ cm³, environ $904{,}32$ cm³. Prendre $12$ comme rayon donnerait un volume $8$ fois trop grand !

Volume d'une demi-boule

Un bol a la forme d'une demi-boule de rayon intérieur $6$ cm. Quelle quantité de soupe peut-il contenir ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis au centième.

Écris la formule de la demi-boule (moitié d'une boule): $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ = Formule prête

Mets le rayon au cube: $6^3 = 216$ = $r^3 = 216$

Multiplie par $\frac{2}{3}$: $216 \div 3 = 72$, puis $72 \times 2 = 144$ = $V = 144\pi$ cm³

Remplace $\pi$ par $3{,}14$ et convertis en mL ($1$ cm³ $= 1$ mL): $144 \times 3{,}14 = 452{,}16$ = $V \approx 452{,}16$ cm³ $\approx 452$ mL

Answer: Le bol contient $144\pi$ cm³, environ $452{,}16$ cm³, soit à peu près $452$ mL de soupe. Vérification : c'est exactement la moitié du globe de l'exemple 2 ($288\pi \div 2 = 144\pi$).

Retrouver le rayon à partir du volume

Une boule a un volume de $4500\pi$ cm³. Quel est son rayon ?

Écris que la formule est égale au volume: $\frac{4}{3}\pi r^3 = 4500\pi$ = Équation prête

Divise les deux membres par $\pi$: $\frac{4}{3} r^3 = 4500$ = Plus de $\pi$

Multiplie les deux membres par $\frac{3}{4}$: $r^3 = 4500 \times \frac{3}{4} = 3375$ = $r^3 = 3375$

Prends la racine cubique (quel nombre multiplié trois fois par lui-même donne $3375$ ?): $15 \times 15 \times 15 = 3375$ = $r = 15$ cm

Answer: Le rayon est $15$ cm. Vérification : $\frac{4}{3} \times 15^3 = \frac{4}{3} \times 3375 = 4500$, donc $V = 4500\pi$ cm³.

Archimède : la boule dans le cylindre

Une balle de rayon $3$ cm entre exactement dans une boîte de conserve : la boîte a un rayon de $3$ cm et une hauteur de $6$ cm. Quelle fraction de la boîte la balle remplit-elle ?

Volume de la boîte (cylindre) : $V = \pi r^2 h$: $\pi \times 3^2 \times 6 = \pi \times 9 \times 6$ = $V_{\text{boîte}} = 54\pi$ cm³

Volume de la balle: $\frac{4}{3} \times 27 = 36$ = $V_{\text{balle}} = 36\pi$ cm³

Compare les deux volumes: $\frac{36\pi}{54\pi} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$ = La balle remplit les $\frac{2}{3}$ de la boîte

Answer: La balle remplit les $\frac{2}{3}$ de la boîte et $\frac{1}{3}$ (ici $18\pi$ cm³) reste vide. Cela marche pour toute boule dans le cylindre qui l'entoure : c'est la découverte d'Archimède.

Mistake: Utiliser le diamètre au lieu du rayon

Why: La formule utilise le rayon. Une boule de diamètre $10$ cm a un rayon de $5$ cm. Avec $10$, $r^3$ vaut $1000$ au lieu de $125$, donc le résultat est $8$ fois trop grand.

Correct: Divise toujours d'abord le diamètre par 2 : $r = \frac{d}{2}$. Ensuite, mets $r$ au cube.

Mistake: Mettre le rayon au carré au lieu de le mettre au cube

Why: L'aire d'un disque utilise $r^2$, donc on écrit facilement $r^2$ par habitude. Mais un volume est en trois dimensions et a besoin de trois facteurs $r$.

Correct: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, donc pour $r = 3$ : $r^3 = 27$, pas $9$. L'unité est le cm³, pas le cm².

Mistake: Diviser le rayon par 2 pour une demi-boule au lieu de diviser le volume

Why: Une demi-boule a le même rayon que la boule entière. Seul le volume est divisé par deux. Diviser le rayon par deux rend le volume $8$ fois plus petit, pas $2$ fois.

Correct: Demi-boule : garde $r$ et utilise $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (la moitié de $\frac{4}{3}\pi r^3$).

Mistake: Diviser par $3$ au lieu de prendre la racine cubique pour trouver $r$

Why: Quand tu arrives à $r^3 = 216$, le rayon n'est pas $216 \div 3 = 72$. $r^3$ signifie $r \times r \times r$, il faut donc le nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne $216$.

Correct: $r = \sqrt[3]{216} = 6$, car $6 \times 6 \times 6 = 216$. Apprends les cubes $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$.

Les ballons de sport

Les fabricants de ballons utilisent la formule de la boule pour savoir combien d'air contient un ballon et combien de matière il faut à l'intérieur.

Une balle de tennis a un diamètre d'environ $6{,}6$ cm, donc $r = 3{,}3$ cm. Son volume vaut environ $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3{,}3^3 \approx 150$ cm³.

Les planètes et l'espace

Les planètes sont presque des boules parfaites. Comme le rayon est au cube, une planète au rayon plus grand a un volume beaucoup, beaucoup plus grand.

Le rayon de la Terre mesure environ $6371$ km, donc son volume vaut environ $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 6371^3 \approx 1{,}08 \times 10^{12}$ km³ (plus de mille milliards de kilomètres cubes).

Boules de glace et bulles de savon

Une cuillère à glace forme des boules de même taille, et une bulle de savon est une fine pellicule autour d'une boule d'air. Dans les deux cas, c'est un volume de boule.

Une bulle de savon de rayon $5$ cm contient environ $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 125 \approx 523{,}33$ cm³ d'air, à peu près un demi-litre.

Q: D'où vient le $\frac{4}{3}$ ?

A: De la découverte d'Archimède. Le cylindre qui entoure exactement une boule a pour rayon $r$ et pour hauteur $2r$, donc son volume est $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$. La boule en remplit les $\frac{2}{3}$ : $\frac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Q: Dois-je laisser le résultat en fonction de $\pi$ ou utiliser $3{,}14$ ?

A: Fais ce que demande l'énoncé. Un résultat comme $36\pi$ cm³ est exact. Avec $3{,}14$, tu obtiens une valeur approchée décimale ($113{,}04$ cm³). Avec la touche $\pi$ de la calculatrice, le résultat est un peu différent ($113{,}10$ cm³), donc indique toujours la valeur de $\pi$ utilisée et comment tu as arrondi.

Q: Comment trouver le rayon si je connais le volume ?

A: Défais la formule étape par étape : divise le volume par $\pi$, multiplie par $\frac{3}{4}$ pour obtenir $r^3$, puis prends la racine cubique. Pour $V = 288\pi$ : $288 \times \frac{3}{4} = 216$ et $\sqrt[3]{216} = 6$, donc $r = 6$.

Q: Si je double le rayon, le volume double-t-il ?

A: Non, il devient $8$ fois plus grand, car $2^3 = 8$. Tripler le rayon rend le volume $27$ fois plus grand ($3^3 = 27$). C'est pour ça qu'un ballon de plage contient tellement plus d'air qu'une balle de tennis.