Dois-je laisser le résultat en fonction de $\pi$ ou utiliser $3{,}14$ ?

Fais ce que demande l'énoncé. Un résultat comme $36\pi$ cm³ est exact. Avec $3{,}14$, tu obtiens une valeur approchée décimale ($113{,}04$ cm³). Avec la touche $\pi$ de la calculatrice, le résultat est un peu différent ($113{,}10$ cm³), donc indique toujours la valeur de $\pi$ utilisée et comment tu as arrondi.

Comment trouver le rayon si je connais le volume ?

Défais la formule étape par étape : divise le volume par $\pi$, multiplie par $\frac{3}{4}$ pour obtenir $r^3$, puis prends la racine cubique. Pour $V = 288\pi$ : $288 \times \frac{3}{4} = 216$ et $\sqrt[3]{216} = 6$, donc $r = 6$.

Si je double le rayon, le volume double-t-il ?

Non, il devient $8$ fois plus grand, car $2^3 = 8$. Tripler le rayon rend le volume $27$ fois plus grand ($3^3 = 27$). C'est pour ça qu'un ballon de plage contient tellement plus d'air qu'une balle de tennis.

Ressources enseignants

Volume des boules

Apprends à calculer le volume d'une boule et d'une demi-boule avec V = (4/3)πr³, et à retrouver le rayon à partir du volume.

Intermédiaire25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une sphère est une forme parfaitement ronde en 3D, comme un ballon ; le solide plein qu'elle délimite s'appelle une boule. Chaque point de la surface est à la même distance du centre. Cette distance est le rayon

r

. Le diamètre

d

passe par le centre, donc

d = 2r

r = \frac{d}{2}

Le volume d'une boule (l'espace à l'intérieur) est :

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Le rayon est au cube (

r^3 = r \times r \times r

), car un volume se mesure en unités cubiques comme les cm³ ou les m³.

Une demi-boule (on dit aussi demi-sphère) est exactement la moitié d'une boule, donc son volume est deux fois plus petit :

V_{\text{demi-boule}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3

Tu peux donner le résultat de deux façons :

En fonction de π : tu gardes le symbole, par exemple $V = 36\pi$ cm³ (c'est la valeur exacte).
En écriture décimale : tu utilises $\pi \approx 3{,}14$ et tu arrondis comme demandé, par exemple $36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ cm³.

Essaie tout de suite

Quelle formule donne le volume d'une boule de rayon

r

Exemples résolus

Une balle a un rayon de $3$ cm. Calcule son volume en fonction de $\pi$ , puis avec $\pi \approx 3{,}14$ , arrondi au centième.

Écris la formule

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ → Formule prête

Mets le rayon au cube

$r^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ → $r^3 = 27$

Multiplie par $\frac{4}{3}$

$\frac{4}{3} \times 27 = \frac{108}{3} = 36$ → $V = 36\pi$ cm³

Remplace $\pi$ par $3{,}14$

$36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ → $V \approx 113{,}04$ cm³

Réponse: Le volume est $36\pi$ cm³, soit environ $113{,}04$ cm³.

Erreurs courantes

Utiliser le diamètre au lieu du rayon

Pourquoi c'est faux: La formule utilise le rayon. Une boule de diamètre $10$ cm a un rayon de $5$ cm. Avec $10$ , $r^3$ vaut $1000$ au lieu de $125$ , donc le résultat est $8$ fois trop grand.

Correct: Divise toujours d'abord le diamètre par 2 : $r = \frac{d}{2}$ . Ensuite, mets $r$ au cube.

Mettre le rayon au carré au lieu de le mettre au cube

Pourquoi c'est faux: L'aire d'un disque utilise $r^2$ , donc on écrit facilement $r^2$ par habitude. Mais un volume est en trois dimensions et a besoin de trois facteurs $r$ .

Correct: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , donc pour $r = 3$ : $r^3 = 27$ , pas $9$ . L'unité est le cm³, pas le cm².

Diviser le rayon par 2 pour une demi-boule au lieu de diviser le volume

Pourquoi c'est faux: Une demi-boule a le même rayon que la boule entière. Seul le volume est divisé par deux. Diviser le rayon par deux rend le volume $8$ fois plus petit, pas $2$ fois.

Correct: Demi-boule : garde $r$ et utilise $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (la moitié de $\frac{4}{3}\pi r^3$ ).

Diviser par $3$ au lieu de prendre la racine cubique pour trouver $r$

Pourquoi c'est faux: Quand tu arrives à $r^3 = 216$ , le rayon n'est pas $216 \div 3 = 72$ . $r^3$ signifie $r \times r \times r$ , il faut donc le nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne $216$ .

Correct: $r = \sqrt[3]{216} = 6$ , car $6 \times 6 \times 6 = 216$ . Apprends les cubes $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$ .

Visuel interactif

Visualiseur 3D

Choisir la forme

Rotation X (20°)

Rotation Y (30°)

Rayon (3)

Faces

Arêtes

Sommets

Volume

V = ⁴⁄₃πr³

V = ⁴⁄₃π · 3³ = 36π ≈ 113,1

113,1 cm³

Aire de surface

SA = 4πr²

SA = 4π · 3² = 36π ≈ 113,1

113,1 cm²

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle formule donne le volume d'une boule de rayon $r$ ?

Pourquoi c'est important

Les objets ronds sont partout, et leur volume indique ce qu'ils peuvent contenir ou la quantité de matière nécessaire :

Sport : la quantité d'air dans un ballon de foot, un ballon de basket ou une balle de tennis
Cuisine : la quantité de glace dans une boule, ou le nombre de boules dans un bac
Sciences : les bulles de savon, les gouttes de pluie et les gouttelettes d'eau sont presque des sphères parfaites
Espace : les planètes et les étoiles sont presque sphériques, alors les astronomes comparent leurs tailles avec cette formule
Ingénierie : les réservoirs de gaz ronds et les dômes (demi-sphères) sont conçus avec ces volumes

Il y a environ 2 200 ans, Archimède a découvert qu'une boule remplit exactement les

\frac{2}{3}

du cylindre qui l'entoure. Il en était si fier qu'il a demandé qu'une sphère et un cylindre soient gravés sur sa tombe !

Applications dans le monde réel

Les ballons de sport

Les fabricants de ballons utilisent la formule de la boule pour savoir combien d'air contient un ballon et combien de matière il faut à l'intérieur.

Exemple:

Une balle de tennis a un diamètre d'environ $6{,}6$ cm, donc $r = 3{,}3$ cm. Son volume vaut environ $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3{,}3^3 \approx 150$ cm³.

1Essaie par toi-même

Un ballon de handball a un diamètre de $18$ cm.

Quel est son volume ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis au centième.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise le diamètre par 2, mets le rayon au cube, multiplie par $\frac{4}{3}$ et par $3{,}14$ :

Les planètes et l'espace

Les planètes sont presque des boules parfaites. Comme le rayon est au cube, une planète au rayon plus grand a un volume beaucoup, beaucoup plus grand.

Exemple:

Le rayon de la Terre mesure environ $6371$ km, donc son volume vaut environ $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 6371^3 \approx 1{,}08 \times 10^{12}$ km³ (plus de mille milliards de kilomètres cubes).

2Essaie par toi-même

Le rayon de Jupiter est environ $11$ fois plus grand que celui de la Terre.

Environ combien de Terres pourrait-on mettre dans Jupiter, en volume (si on pouvait les faire fondre et les verser dedans) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Si le rayon est multiplié par $11$ , le volume est multiplié par $11^3$ :

Boules de glace et bulles de savon

Une cuillère à glace forme des boules de même taille, et une bulle de savon est une fine pellicule autour d'une boule d'air. Dans les deux cas, c'est un volume de boule.

Exemple:

Une bulle de savon de rayon $5$ cm contient environ $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 125 \approx 523{,}33$ cm³ d'air, à peu près un demi-litre.

3Essaie par toi-même

Un bac contient $2$ litres ( $2000$ cm³) de glace. Chaque boule de glace est une boule de rayon $3$ cm.

Combien de boules complètes peux-tu servir ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$ .

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise le volume du bac par le volume d'une boule :

Points clés

1Le volume d'une boule est $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , où $r$ est le rayon
2Si on te donne le diamètre, divise-le d'abord par 2 : $r = \frac{d}{2}$
3Une demi-boule est la moitié d'une boule : $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (même rayon, moitié du volume)
4Donne les valeurs exactes en fonction de $\pi$ (comme $36\pi$ cm³) ou utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis comme demandé
5Pour trouver $r$ à partir de $V$ : divise par $\pi$ , multiplie par $\frac{3}{4}$ , puis prends la racine cubique
6Une boule remplit exactement les $\frac{2}{3}$ du cylindre qui l'entoure (Archimède)

Questions fréquentes

De la découverte d'Archimède. Le cylindre qui entoure exactement une boule a pour rayon

r

et pour hauteur

2r

, donc son volume est

\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3

. La boule en remplit les

\frac{2}{3}

\frac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3

Glossaire

Sphère / boule: La sphère est la surface parfaitement ronde dont chaque point est à la même distance du centre ; la boule est le solide plein qu'elle entoure
Rayon ( $r$ ): La distance entre le centre d'une boule et sa surface
Diamètre ( $d$ ): La distance d'un bord à l'autre de la boule en passant par le centre ; $d = 2r$
Demi-boule: Exactement la moitié d'une boule, coupée par le centre ; son volume est $\frac{2}{3}\pi r^3$
Racine cubique: Le nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne une valeur ; $\sqrt[3]{27} = 3$
En fonction de $\pi$: Une valeur exacte qui garde le symbole $\pi$ , comme $36\pi$ cm³

Carte des formules

Volume d'une boule

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Quatre tiers fois pi fois le rayon au cube

Volume d'une demi-boule

V = \frac{2}{3}\pi r^3

La moitié du volume de la boule de même rayon

Rayon à partir du diamètre

r = \frac{d}{2}

Divise le diamètre par 2 avant d'utiliser la formule

Rayon à partir du volume

r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}

Divise par pi, multiplie par 3/4, puis prends la racine cubique

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Rayon à partir du diamètre

Rayon à partir du volume

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