Tester 3 et 9 avec la somme des chiffres

$516$ est-il divisible par $3$ ? Est-il divisible par $9$ ?

Additionne tous les chiffres: $5 + 1 + 6 = 12$ = Somme des chiffres : $12$

Teste la somme pour 3: $12 \div 3 = 4$, pas de reste = $516$ est divisible par $3$ : $516 \div 3 = 172$

Teste la somme pour 9: $12 \div 9 = 1$ reste $3$ = $516$ n'est pas divisible par $9$

Answer: $516$ est divisible par $3$ ($516 \div 3 = 172$) mais pas par $9$, car la somme de ses chiffres $12$ est un multiple de $3$ mais pas de $9$.

Un grand nombre : sommes répétées

$987\,654$ est-il divisible par $3$ ? Est-il divisible par $9$ ?

Additionne les six chiffres: $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39$ = Première somme : $39$

La somme est encore grande, additionne ses chiffres: $3 + 9 = 12$ = Deuxième somme : $12$

Encore une fois pour obtenir un seul chiffre: $1 + 2 = 3$ = Chiffre final : $3$

Lis le résultat: $3$ est divisible par $3$ mais ce n'est pas $9$ = Divisible par $3$, pas par $9$

Answer: $987\,654$ est divisible par $3$ ($987\,654 \div 3 = 329\,218$) mais pas par $9$.

Pourquoi le critère marche

Montre pourquoi $4527$ est divisible par $9$ exactement quand $4 + 5 + 2 + 7$ l'est.

Écris le nombre avec les rangs: $4527 = 4 \times 1000 + 5 \times 100 + 2 \times 10 + 7$ = Milliers, centaines, dizaines, unités

Découpe chaque rang en neufs plus 1: $1000 = 999 + 1, \; 100 = 99 + 1, \; 10 = 9 + 1$ = $4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)$

Regarde la première partie: $4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 = 3996 + 495 + 18 = 4509$ = $4509 = 9 \times 501$, toujours un multiple de $9$

Il ne reste qu'à tester la somme des chiffres: $4527 = 4509 + 18$ et $18 = 9 \times 2$ = $4527 = 9 \times 503$

Answer: Les parties avec $999$, $99$ et $9$ sont toujours des multiples de $9$ (et de $3$), donc seule la somme des chiffres décide. Comme $18$ est divisible par $9$, $4527$ l'est aussi.

Trouver un chiffre manquant

Quels chiffres peut-on mettre dans la case pour que $52\square4$ soit divisible par $3$ ? Lequel le rend divisible par $9$ ?

Additionne les chiffres connus: $5 + 2 + 4 = 11$ = Somme connue : $11$

Liste les multiples de 3 que tu peux atteindre avec un chiffre (0 à 9): $11 + \square$ peut valoir $12$, $15$ ou $18$ = $\square = 1$, $4$ ou $7$

Cherche maintenant un multiple de 9: Entre $11$ et $20$, le seul multiple de $9$ est $18$ = $\square = 7$

Vérifie par une division: $5274 \div 9 = 586$ = Pas de reste

Answer: Pour $3$, la case peut contenir $1$, $4$ ou $7$ ($5214$, $5244$, $5274$). Seul $7$ le rend aussi divisible par $9$ : $5274 = 9 \times 586$.

Preuve par neuf : vérifier une addition

Mia a calculé $2345 + 1678$ et a trouvé $4023$. Utilise les sommes des chiffres pour vérifier sa réponse.

Réduis le premier nombre à un chiffre: $2 + 3 + 4 + 5 = 14 \rightarrow 1 + 4 = 5$ = $2345$ a pour reste $5$ dans la division par $9$

Réduis le deuxième nombre: $1 + 6 + 7 + 8 = 22 \rightarrow 2 + 2 = 4$ = $1678$ a pour reste $4$

Additionne les deux restes: $5 + 4 = 9$, et $9$ compte comme un reste de $0$ = La somme doit avoir pour reste $0$

Réduis la réponse de Mia: $4 + 0 + 2 + 3 = 9$, reste $0$ = Les deux côtés concordent

Answer: Les deux vérifications donnent le reste $0$, donc la réponse $4023$ passe le test. Si elle avait écrit $4013$, la preuve donnerait $8$ et montrerait tout de suite qu'il y a une erreur.

Mistake: Regarder le dernier chiffre, comme pour 2, 5 et 10

Why: Le dernier chiffre ne dit rien sur 3 ou 9. $23$ se termine par $3$ mais n'est pas divisible par $3$, alors que $27$ se termine par $7$ et est divisible par $3$ et par $9$.

Correct: Additionne toujours tous les chiffres : $2 + 7 = 9$, donc $27$ est divisible par $3$ et par $9$.

Mistake: Croire que tout nombre divisible par 3 est aussi divisible par 9

Why: Le critère pour $9$ est plus exigeant. Une somme des chiffres de $12$ ou $15$ est un multiple de $3$ mais pas de $9$.

Correct: $516$ (somme $12$) est divisible par $3$ mais pas par $9$. Dans l'autre sens ça marche toujours : tout multiple de $9$ est un multiple de $3$.

Mistake: S'arrêter au premier chiffre qui convient dans une énigme à chiffre manquant

Why: Pour $3$, il y a en général trois ou quatre chiffres possibles, car les multiples de $3$ ne sont espacés que de $3$.

Correct: Pour $52\square4$ et $3$, teste $12$, $15$ et $18$ : la case peut contenir $1$, $4$ ou $7$.

Mistake: Croire qu'une preuve par neuf réussie prouve que le résultat est juste

Why: La preuve par neuf ne détecte que certaines erreurs. Échanger deux chiffres ne change pas la somme des chiffres, donc $4032$ passe la même preuve que $4023$.

Correct: Si la preuve ne concorde pas, le résultat est sûrement faux. Si elle concorde, il est probablement juste, mais pas à coup sûr.

Former des équipes égales

Les entraîneurs et les enseignants doivent souvent répartir un groupe en équipes égales. La somme des chiffres leur dit tout de suite si c'est possible.

$135$ coureurs peuvent-ils partir en $9$ groupes égaux ? $1 + 3 + 5 = 9$, donc oui : $135 \div 9 = 15$ coureurs par groupe.

Vérifier une facture

Avant les calculatrices, les commerçants et les comptables vérifiaient les longues additions avec les sommes des chiffres. C'est encore un moyen rapide de repérer une étourderie dans tes propres calculs.

$1236 + 2458 = 3694$ : les restes sont $3$ et $1$, qui font $4$, et $3694$ donne aussi $3 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4$. La preuve est bonne.

Déchiffrer un code

Les livres d'énigmes et les escape games adorent les codes à chiffre manquant. Un indice de divisibilité donne souvent la réponse en une étape.

Un code $7\square2$ est divisible par $9$ : $7 + 2 = 9$, donc la case doit contenir $0$ ou $9$ ($702$ ou $792$).

Q: L'ordre des chiffres compte-t-il ?

A: Non. $4527$, $7254$ et $2745$ ont tous une somme des chiffres de $18$, donc les trois sont divisibles par $9$. Déplacer les chiffres ne change jamais leur somme.

Q: Et le chiffre 0 ?

A: Un $0$ n'ajoute rien à la somme des chiffres, tu peux donc l'ignorer. $3051$ et $351$ ont la même somme des chiffres $9$, et les deux sont divisibles par $9$.

Q: Pourquoi cette astuce ne marche-t-elle pas pour 7 ?

A: Elle marche pour $3$ et $9$ parce que $10$ vaut exactement $1$ de plus qu'un multiple de $9$. Pour $7$ ce n'est pas vrai ($10 = 7 + 3$), donc les rangs ne disparaissent pas. Il faut un autre test pour $7$.

Q: Comment obtenir le reste à partir de la somme des chiffres ?

A: Réduis le nombre à un seul chiffre. Pour $9$, ce chiffre est le reste, sauf que $9$ veut dire reste $0$. Par exemple $7654 \rightarrow 22 \rightarrow 4$, et en effet $7654 = 9 \times 850 + 4$.