Divisibilité par 3 et 9

Apprends le critère de la somme des chiffres : additionne les chiffres d'un nombre pour savoir tout de suite s'il est divisible par 3 ou par 9, trouve des chiffres manquants et vérifie tes additions.

Élémentaire20 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Pour savoir si un nombre est divisible par 3 ou divisible par 9, le dernier chiffre ne sert à rien. À la place, tu additionnes tous ses chiffres. Ce total s'appelle la somme des chiffres.

Le critère pour 3

Un nombre est divisible par 33 quand la somme de ses chiffres est divisible par 33.
516:5+1+6=12,12÷3=4✓(516÷3=172)516 : \quad 5 + 1 + 6 = 12, \quad 12 \div 3 = 4 \quad \checkmark \quad (516 \div 3 = 172)

Le critère pour 9

Un nombre est divisible par 99 quand la somme de ses chiffres est divisible par 99.
4527:4+5+2+7=18,18÷9=2✓(4527÷9=503)4527 : \quad 4 + 5 + 2 + 7 = 18, \quad 18 \div 9 = 2 \quad \checkmark \quad (4527 \div 9 = 503)

Grands nombres : on recommence

Si la somme des chiffres est encore grande, additionne de nouveau ses chiffres jusqu'à n'avoir plus qu'un seul chiffre :
987 654→39→12→3987\,654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3
Le dernier chiffre obtenu dit tout : 33, 66 ou 99 veut dire divisible par 33, et seulement 99 veut dire divisible par 99.

9 est plus exigeant que 3

Tout nombre divisible par 99 est aussi divisible par 33 (car 9=3×39 = 3 \times 3). L'inverse est faux : 516516 est divisible par 33, mais la somme de ses chiffres 1212 n'est pas divisible par 99, donc 516516 n'est pas divisible par 99.

Essaie tout de suite

Quel nombre est divisible par 33 ?

Exemples résolus

516516 est-il divisible par 33 ? Est-il divisible par 99 ?
1

Additionne tous les chiffres

5+1+6=125 + 1 + 6 = 12 → Somme des chiffres : 1212
2

Teste la somme pour 3

12÷3=412 \div 3 = 4, pas de reste → 516516 est divisible par 33 : 516÷3=172516 \div 3 = 172
3

Teste la somme pour 9

12÷9=112 \div 9 = 1 reste 33 → 516516 n'est pas divisible par 99

Erreurs courantes

Regarder le dernier chiffre, comme pour 2, 5 et 10

Pourquoi c'est faux: Le dernier chiffre ne dit rien sur 3 ou 9. 2323 se termine par 33 mais n'est pas divisible par 33, alors que 2727 se termine par 77 et est divisible par 33 et par 99.

Correct: Additionne toujours tous les chiffres : 2+7=92 + 7 = 9, donc 2727 est divisible par 33 et par 99.

Croire que tout nombre divisible par 3 est aussi divisible par 9

Pourquoi c'est faux: Le critère pour 99 est plus exigeant. Une somme des chiffres de 1212 ou 1515 est un multiple de 33 mais pas de 99.

Correct: 516516 (somme 1212) est divisible par 33 mais pas par 99. Dans l'autre sens ça marche toujours : tout multiple de 99 est un multiple de 33.

S'arrêter au premier chiffre qui convient dans une énigme à chiffre manquant

Pourquoi c'est faux: Pour 33, il y a en général trois ou quatre chiffres possibles, car les multiples de 33 ne sont espacés que de 33.

Correct: Pour 52□452\square4 et 33, teste 1212, 1515 et 1818 : la case peut contenir 11, 44 ou 77.

Croire qu'une preuve par neuf réussie prouve que le résultat est juste

Pourquoi c'est faux: La preuve par neuf ne détecte que certaines erreurs. Échanger deux chiffres ne change pas la somme des chiffres, donc 40324032 passe la même preuve que 40234023.

Correct: Si la preuve ne concorde pas, le résultat est sûrement faux. Si elle concorde, il est probablement juste, mais pas à coup sûr.

Visuel interactif

À toi : divisible par 3 ? Par 9 ? Devine d'abord, puis vérifie la somme des chiffres

0 sur 0 juste(s)
372

Pour 3 : additionne tous les chiffres.

Choisis un diviseur, réponds oui ou non, puis regarde le critère.

372 est-il divisible par 3 ?

Pour 3 : additionne tous les chiffres.

Pourquoi la somme des chiffres marche-t-elle ? Découpe un grand nombre en 999..., 99..., 9 et la somme de ses chiffres

123456789012

Pour 3 : additionne tous les chiffres.

Touche un diviseur pour voir son critère sur ce nombre.

123 456 789 012 est-il divisible par 3 ?

Additionne tous les chiffres :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 + 1 + 2 = 48

Encore plus d'un chiffre, on additionne de nouveau :

4 + 8 = 12

Encore plus d'un chiffre, on additionne de nouveau :

1 + 2 = 3

3 est un multiple de 3.

123 456 789 012 est divisible par 3.

Vérification par la division : 123 456 789 012 ÷ 3 = 41 152 263 004

123 456 789 012 = 1 × 100 000 000 000 + 2 × 10 000 000 000 + 3 × 1 000 000 000 + 4 × 100 000 000 + 5 × 10 000 000 + 6 × 1 000 000 + 7 × 100 000 + 8 × 10 000 + 9 × 1000 + 1 × 10 + 2

= 1 × 99 999 999 999 + 2 × 9 999 999 999 + 3 × 999 999 999 + 4 × 99 999 999 + 5 × 9 999 999 + 6 × 999 999 + 7 × 99 999 + 8 × 9999 + 9 × 999 + 1 × 9 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 + 2)

10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. Les parties avec 9, 99, 999 sont des multiples de 3, il ne reste que la somme des chiffres : c'est elle qui décide.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Quel nombre est divisible par 33 ?

Pourquoi c'est important

Le critère de la somme des chiffres est l'un des raccourcis les plus utiles en calcul :
  • Partager équitablement : peut-on répartir 378 autocollants entre 9 amis ? 3+7+8=183 + 7 + 8 = 18, donc oui, sans même faire la division.
  • Simplifier des fractions : dans 5187\frac{51}{87}, les deux sommes de chiffres (66 et 1515) sont divisibles par 33, tu peux donc diviser les deux par 33 : 1729\frac{17}{29}.
  • Vérifier tes calculs : la somme des chiffres garde le reste de la division par 99, ce qui permet de vérifier une longue addition en quelques secondes (c'est la preuve par neuf).
  • Énigmes de nombres : les énigmes à chiffre manquant et les codes cachent souvent un nombre divisible par 33 ou par 99.
Après les critères pour 2, 5 et 10 (qui regardent le dernier chiffre), c'est le premier critère qui utilise tous les chiffres, et il te prépare aux critères pour 6 et 12.

Applications dans le monde réel

Former des équipes égales

Les entraîneurs et les enseignants doivent souvent répartir un groupe en équipes égales. La somme des chiffres leur dit tout de suite si c'est possible.

Exemple:

135135 coureurs peuvent-ils partir en 99 groupes égaux ? 1+3+5=91 + 3 + 5 = 9, donc oui : 135÷9=15135 \div 9 = 15 coureurs par groupe.

1Essaie par toi-même

À la journée sportive d'une école, il y a 378378 élèves. Les enseignants veulent former 99 équipes de même taille.

Combien d'élèves y aura-t-il dans chaque équipe ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Répartis les élèves en 9 équipes :

Vérifier une facture

Avant les calculatrices, les commerçants et les comptables vérifiaient les longues additions avec les sommes des chiffres. C'est encore un moyen rapide de repérer une étourderie dans tes propres calculs.

Exemple:

1236+2458=36941236 + 2458 = 3694 : les restes sont 33 et 11, qui font 44, et 36943694 donne aussi 3+6+9+4=22→43 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4. La preuve est bonne.

2Essaie par toi-même

Un caissier additionne deux bons de livraison : 1236+2458=36941236 + 2458 = 3694. Tu veux vérifier le total avec les restes de la division par 99.

Quel est le reste de la division du total 36943694 par 99 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve le reste de 3694 divisé par 9 :

Déchiffrer un code

Les livres d'énigmes et les escape games adorent les codes à chiffre manquant. Un indice de divisibilité donne souvent la réponse en une étape.

Exemple:

Un code 7□27\square2 est divisible par 99 : 7+2=97 + 2 = 9, donc la case doit contenir 00 ou 99 (702702 ou 792792).

3Essaie par toi-même

Le code d'un antivol de vélo est 4□714\square71. Un papier indique : le code est divisible par 99.

Quel chiffre manque ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve le chiffre qui amène la somme des chiffres au multiple de 9 suivant :

Points clés

  • 1La somme des chiffres est le total de tous les chiffres d'un nombre : pour 45274527, c'est 4+5+2+7=184 + 5 + 2 + 7 = 18
  • 2Un nombre est divisible par 33 quand la somme de ses chiffres est divisible par 33, et par 99 quand elle est divisible par 99
  • 3Pour les grands nombres, additionne les chiffres encore et encore jusqu'à obtenir un seul chiffre : 33, 66, 99 veulent dire divisible par 33, seul 99 veut dire divisible par 99
  • 4Tout multiple de 99 est un multiple de 33, mais tout multiple de 33 n'est pas un multiple de 99
  • 5Ça marche parce que 10=9+110 = 9 + 1, 100=99+1100 = 99 + 1, 1000=999+11000 = 999 + 1 : les neufs disparaissent et il ne reste que la somme des chiffres
  • 6Un nombre et la somme de ses chiffres ont le même reste dans la division par 33 ou par 99, ce qui permet de trouver des chiffres manquants et de vérifier des additions (preuve par neuf)

Questions fréquentes

Non. 45274527, 72547254 et 27452745 ont tous une somme des chiffres de 1818, donc les trois sont divisibles par 99. Déplacer les chiffres ne change jamais leur somme.
Non. 45274527, 72547254 et 27452745 ont tous une somme des chiffres de 1818, donc les trois sont divisibles par 99. Déplacer les chiffres ne change jamais leur somme.
Un 00 n'ajoute rien à la somme des chiffres, tu peux donc l'ignorer. 30513051 et 351351 ont la même somme des chiffres 99, et les deux sont divisibles par 99.
Elle marche pour 33 et 99 parce que 1010 vaut exactement 11 de plus qu'un multiple de 99. Pour 77 ce n'est pas vrai (10=7+310 = 7 + 3), donc les rangs ne disparaissent pas. Il faut un autre test pour 77.
Réduis le nombre à un seul chiffre. Pour 99, ce chiffre est le reste, sauf que 99 veut dire reste 00. Par exemple 7654→22→47654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, et en effet 7654=9×850+47654 = 9 \times 850 + 4.

Glossaire

Somme des chiffres
Le total obtenu en additionnant tous les chiffres d'un nombre, par exemple 372→3+7+2=12372 \rightarrow 3 + 7 + 2 = 12
Somme des chiffres répétée
Additionner les chiffres encore et encore jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un chiffre, par exemple 987 654→39→12→3987\,654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3
Divisible par
Un nombre est divisible par 33 si sa division par 33 ne laisse pas de reste, par exemple 372÷3=124372 \div 3 = 124
Critère de divisibilité
Un raccourci qui dit si un nombre est divisible par un autre sans faire la division
Reste
Ce qui reste après une division, par exemple 23÷9=223 \div 9 = 2 reste 55
Preuve par neuf
Vérifier un calcul en remplaçant chaque nombre par son reste dans la division par 99 (sa somme des chiffres répétée)

Carte des formules

Critère pour 3

3∣n  ⟺  3∣somme des chiffres de n3 \mid n \iff 3 \mid \text{somme des chiffres de } n

Un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres est divisible par 3

Critère pour 9

9∣n  ⟺  9∣somme des chiffres de n9 \mid n \iff 9 \mid \text{somme des chiffres de } n

Un nombre est divisible par 9 quand la somme de ses chiffres est divisible par 9

Pourquoi ça marche

4527=4×999+5×99+2×9+(4+5+2+7)4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)

Les parties avec 999, 99 et 9 sont toujours des multiples de 9, donc seule la somme des chiffres décide

Même reste

7654→22→4,7654=9×850+47654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, \quad 7654 = 9 \times 850 + 4

Un nombre a le même reste que la somme de ses chiffres dans la division par 9 (ou par 3)

Défi du jourUn problème, trois essais

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