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Guide de l'enseignant: Diviseurs et multiples

Apprends ce que sont les diviseurs et les multiples, comment les trouver et pourquoi ils sont importants en mathématiques.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Facteurs & Multiples. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Définir les diviseurs comme des nombres qui divisent un autre nombre sans reste
  • Définir les multiples comme des produits d'un nombre par des nombres entiers
  • Trouver tous les diviseurs d'un nombre donné
  • Lister les multiples d'un nombre donné
  • Distinguer entre diviseurs et multiples
  • Appliquer diviseurs et multiples à des situations de la vie quotidienne
Prérequis
  • • Tables de multiplication jusqu'à 12
  • • Division de base avec des nombres entiers
  • • Compréhension des restes
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi chaque nombre plus grand que 1 a-t-il au moins deux diviseurs (1 et lui-même) ? Et le nombre 1 ?
  • 2. Un petit nombre peut-il être un multiple d'un nombre plus grand ? Pourquoi ou pourquoi pas ?
  • 3. Comment les diviseurs et les multiples sont-ils liés à la multiplication et à la division ?
  • 4. Quand pourrais-tu avoir besoin de trouver des diviseurs ou des multiples dans la vie réelle ?
Idées reçues courantes

Les diviseurs sont toujours plus petits que le nombre

Remédiation: Le nombre lui-même est toujours un diviseur ! 12 est un diviseur de 12 car 12÷12=112 \div 12 = 1.

Les multiples doivent être plus grands que le nombre

Remédiation: Le premier multiple d'un nombre est le nombre lui-même : le premier multiple de 5 est 5.

Les paires de diviseurs sont toujours des nombres différents

Remédiation: Les carrés parfaits ont un diviseur répété : les paires de diviseurs de 36 incluent (6,6)(6, 6).

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Utilise les tables de multiplication pour trouver les diviseurs
  • • Commence avec des petits nombres (moins de 20)
  • • Utilise du matériel de manipulation pour montrer le groupement
  • • Crée une affiche de référence diviseurs vs multiples

Pour les élèves au niveau:

  • • Trouve tous les diviseurs de nombres à deux chiffres
  • • Identifie les diviseurs communs de deux nombres
  • • Résous des problèmes de groupes égaux

Pour les élèves avancés:

  • • Explore la relation avec la décomposition en facteurs premiers
  • • Étudie les nombres parfaits (les diviseurs autres que le nombre lui-même ont pour somme ce nombre : 6=1+2+36 = 1 + 2 + 3)
  • • Trouve le PGCD et le PPCM en utilisant diviseurs et multiples
Alignement aux standards
  • 4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)

    Trouver toutes les paires de diviseurs d'un nombre entier dans la plage 1-100. Reconnaître qu'un nombre entier est un multiple de chacun de ses diviseurs.

  • 6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)

    Trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers jusqu'à 100 et le plus petit commun multiple de deux nombres entiers jusqu'à 12.

Ressources de la leçon
  • visualConstructeur d'arbres de facteurs

    Les élèves construisent des arbres de facteurs pour décomposer un nombre

  • activityJeu de tri diviseur vs multiple

    Trie les nombres en catégories diviseur ou multiple

  • worksheetDiviseurs dans la vie réelle

    Résous des problèmes de partage, d'arrangement et de planification

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Les diviseurs sont des nombres qui divisent un autre nombre sans reste.
Les multiples sont les résultats de la multiplication d'un nombre par des nombres entiers.
Exemple avec le nombre 12 :
Diviseurs de 12 : 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12
  • 12÷1=1212 \div 1 = 12 (pas de reste)
  • 12÷2=612 \div 2 = 6 (pas de reste)
  • 12÷3=412 \div 3 = 4 (pas de reste)
  • 12÷4=312 \div 4 = 3 (pas de reste)
  • 12÷6=212 \div 6 = 2 (pas de reste)
  • 12÷12=112 \div 12 = 1 (pas de reste)
Multiples de 12 : 12,24,36,48,60,…12, 24, 36, 48, 60, \ldots
  • 12×1=1212 \times 1 = 12
  • 12×2=2412 \times 2 = 24
  • 12×3=3612 \times 3 = 36
  • 12×4=4812 \times 4 = 48
  • 12×5=6012 \times 5 = 60

Exemples résolus

Trouve tous les diviseurs de 18.
1

Commence par 1

18÷1=1818 \div 1 = 18, donc 1 et 18 sont des diviseurs → Diviseurs : 1,181, 18
2

Essaie 2

18÷2=918 \div 2 = 9, donc 2 et 9 sont des diviseurs → Diviseurs : 1,2,9,181, 2, 9, 18
3

Essaie 3

18÷3=618 \div 3 = 6, donc 3 et 6 sont des diviseurs → Diviseurs : 1,2,3,6,9,181, 2, 3, 6, 9, 18
4

Essaie 4

18÷4=4,518 \div 4 = 4{,}5 (pas un nombre entier) → 4 n'est PAS un diviseur
5

Arrête-toi à la racine carrée

18≈4,24\sqrt{18} \approx 4{,}24 et le nombre suivant, 5, est déjà plus grand, donc on a trouvé tous les diviseurs → Tous les diviseurs : 1,2,3,6,9,181, 2, 3, 6, 9, 18

Erreurs courantes

Confondre diviseurs et multiples

Pourquoi c'est faux: Les mots se ressemblent mais signifient le contraire. Un diviseur divise un nombre SANS reste ; un multiple s'obtient EN multipliant.

Correct: Retiens : les diviseurs sont limités (finis), les multiples sont nombreux (infinis). 12 a 6 diviseurs, mais une infinité de multiples.

Oublier que 1 est toujours un diviseur

Pourquoi c'est faux: Chaque nombre divisé par 1 donne lui-même, donc 1 est toujours un diviseur.

Correct: Commence toujours ta liste de diviseurs par 1, et n'oublie pas que le nombre lui-même est aussi un diviseur.

Commencer la liste des multiples par 0

Pourquoi c'est faux: n×0=0n \times 0 = 0, donc 0 est un multiple de chaque nombre. Mais quand on écrit la liste des multiples, on commence par n×1n \times 1.

Correct: Commence la liste par le nombre lui-même : les multiples de 5 sont 5,10,15,…5, 10, 15, \ldots

Oublier des paires de diviseurs

Pourquoi c'est faux: En cherchant les diviseurs, les élèves oublient parfois que les diviseurs viennent par paires.

Correct: Quand tu trouves un diviseur, trouve sa paire : si 18÷2=918 \div 2 = 9, alors 2 ET 9 sont des diviseurs.

Pourquoi c'est important

Les diviseurs et multiples t'aident de plusieurs façons :
  • Simplifier les fractions : Trouve les diviseurs communs pour réduire 812\frac{8}{12} à 23\frac{2}{3}
  • Additionner des fractions : Trouve les multiples communs pour avoir le même dénominateur
  • Partager équitablement : Divise 24 gâteaux entre 6 amis (24 est divisible par 6)
  • Motifs : Comprends pourquoi chaque nombre pair a 2 comme diviseur
  • Résolution de problèmes : Planifie des horaires, arrangements et groupements
Ces compétences sont essentielles pour l'algèbre, les fractions et les maths du quotidien !

Applications dans le monde réel

Organisation de fêtes

Pour organiser des événements, il faut diviser les choses équitablement entre les invités.

Exemple:

Tu as 30 petits gâteaux. Quelles tailles de groupes peuvent les partager équitablement ? Les diviseurs de 30 : 1,2,3,5,6,10,15,301, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Tu peux donc avoir des groupes de 2, 3, 5, 6, 10, 15 ou 30 personnes.

1Essaie par toi-même

Tu organises une fête avec 24 cadeaux à distribuer équitablement.

Combien d'invités peux-tu recevoir pour que chacun ait le même nombre de cadeaux ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve les diviseurs de 24 :

Planification et motifs

Les multiples nous aident à trouver quand des événements se produisent ensemble.

Exemple:

Le bus A passe toutes les 15 minutes. Le bus B passe toutes les 20 minutes. Quand arrivent-ils ensemble ? Trouve les multiples communs de 15 et 20 : 60,120,180,…60, 120, 180, \ldots Ils arrivent ensemble toutes les 60 minutes.

2Essaie par toi-même

Tu fais du piano tous les 3 jours et du foot tous les 4 jours.

Si tu as les deux aujourd'hui, dans combien de jours auras-tu les deux à nouveau ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve le premier multiple commun de 3 et 4 :

Disposer des objets

Les diviseurs aident à déterminer comment disposer des objets en lignes et colonnes.

Exemple:

Tu as 48 chaises à disposer. Dispositions possibles : 1 rangée de 48, 2 rangées de 24, 3 rangées de 16, 4 rangées de 12, 6 rangées de 8, 8 rangées de 6, etc.

3Essaie par toi-même

Une classe a 28 bureaux à disposer en rangées égales.

Quelles sont toutes les dispositions possibles ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve les paires de diviseurs de 28, écrites comme (1, 28) :

Points clés

  • 1Les diviseurs divisent un nombre sans reste
  • 2Les multiples sont obtenus en multipliant un nombre par 1, 2, 3, ...
  • 3Chaque nombre a 1 et lui-même comme diviseurs
  • 4Les diviseurs vont par paires : le produit des deux donne le nombre de départ
  • 5Les multiples sont infinis, mais les diviseurs sont finis
  • 6Les diviseurs aident à diviser et simplifier ; les multiples aident avec les motifs et la planification

Questions fréquentes

Un nombre est-il à la fois diviseur et multiple de lui-même ?

Oui ! Chaque nombre est à la fois un diviseur de lui-même (12÷12=112 \div 12 = 1) et un multiple de lui-même (12×1=1212 \times 1 = 12).

Comment savoir quand j'ai trouvé tous les diviseurs ?

Arrête de vérifier quand ton diviseur dépasse la racine carrée. Pour 36, 36=6\sqrt{36} = 6, donc après avoir vérifié jusqu'à 6, tu as trouvé toutes les paires de diviseurs.

Quelle est la différence entre diviseur et facteur ?

C'est la même idée ! Si 3 est un diviseur de 12, tu peux écrire 12=3×412 = 3 \times 4 : 3 est alors un facteur de ce produit. À l'école, on dit surtout "diviseur".

Glossaire

Diviseur
Un nombre qui divise un autre nombre sans reste
Multiple
Le produit d'un nombre par n'importe quel nombre entier
Paire de diviseurs
Deux nombres qui multipliés ensemble donnent un produit spécifique
Divisible
Un nombre est divisible par un autre si la division n'a pas de reste
Nombre premier
Un nombre qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même

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