Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

Apprends à trouver le plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs nombres avec différentes méthodes.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux ou plusieurs nombres est le plus grand nombre qui divise tous ces nombres sans reste.
Par exemple, pour les nombres 1212 et 1818 :
  • Diviseurs de 1212 : 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12
  • Diviseurs de 1818 : 1,2,3,6,9,181, 2, 3, 6, 9, 18
  • Diviseurs communs : 1,2,3,61, 2, 3, 6
  • PGCD = 6 (le plus grand diviseur commun)
En anglais, le PGCD s'appelle GCF (greatest common factor) ou GCD (greatest common divisor).

Essaie tout de suite

Quel est le PGCD de 66 et 99 ?

Exemples résolus

Trouve le PGCD de 2424 et 3636.
1

Liste tous les diviseurs de 24

24=1×24=2×12=3×8=4×624 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6 → Diviseurs : 1,2,3,4,6,8,12,241, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2

Liste tous les diviseurs de 36

36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×636 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6 → Diviseurs : 1,2,3,4,6,9,12,18,361, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3

Entoure les diviseurs communs

Les deux listes contiennent : 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12 → Diviseurs communs trouvés
4

Trouve le plus grand

Le plus grand nombre dans les deux listes est 1212 → PGCD(24,36)=12\text{PGCD}(24, 36) = 12

Erreurs courantes

Confondre PGCD et PPCM

Pourquoi c'est faux: Le PGCD concerne la division (quel nombre divise LES DEUX nombres ?), le PPCM concerne la multiplication (quel nombre est divisible par LES DEUX nombres ?).

Correct: PGCD de 12 et 18 est 6 (divise les deux). PPCM de 12 et 18 est 36 (les deux le divisent).

Oublier de prendre la PLUS PETITE puissance avec la décomposition en facteurs premiers

Pourquoi c'est faux: Les élèves multiplient parfois tous les facteurs premiers au lieu de prendre seulement les communs avec les plus petites puissances.

Correct: Pour 24×32^4 \times 3 et 22×3×52^2 \times 3 \times 5, utilise 222^2 (pas 242^4) et 313^1. PGCD = 22×3=122^2 \times 3 = 12.

S'arrêter avant de trouver le PLUS GRAND diviseur commun

Pourquoi c'est faux: Trouver un diviseur commun quelconque ne signifie pas que c'est le plus grand.

Correct: Pour 24 et 36, les diviseurs communs sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le PGCD est 12, pas juste 2 ou 6.

Visuel interactif

Diagramme de Venn - PGCD et PPCM

Nombre A:
Nombre B:
121822, 33Seulement dans ACommunSeulement dans B

Facteurs premiers de 12:

223

Facteurs premiers de 18:

233

PGCD

6

2 × 3 = 6

PPCM

36

2 × 2 × 3 × 3 = 36

Comment ça marche:

  • • PGCD = produit des facteurs premiers communs (centre du diagramme)
  • • PPCM = produit de tous les facteurs premiers (tout le diagramme)

Trouve le plus grand commun diviseur en utilisant la décomposition en facteurs premiers.

Arbre de facteurs

Nombre:
Composé
Premier

Entre un nombre pour voir son arbre de facteurs et sa décomposition en facteurs premiers.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quel est le PGCD de 66 et 99 ?

Pourquoi c'est important

Le PGCD sert dans de nombreuses situations de la vie quotidienne :
  • Simplifier les fractions : pour rendre 1218\frac{12}{18} irréductible, divise par PGCD(12, 18) = 6 et tu obtiens 23\frac{2}{3}
  • Former des groupes identiques : avec 24 carreaux rouges et 36 carreaux bleus, tu peux former au maximum PGCD(24, 36) = 12 groupes identiques sans qu'il reste de carreaux (chaque groupe reçoit 2 carreaux rouges et 3 bleus)
  • Couper sans perte : pour couper des planches de 48 cm et 60 cm en morceaux égaux sans perte, le plus long morceau possible mesure PGCD(48, 60) = 12 cm
  • Carrelage : un sol de 120 cm sur 90 cm peut être recouvert exactement de carreaux carrés de côté PGCD(120, 90) = 30 cm, les plus grands possibles
Le PGCD est la base du travail avec les fractions et les expressions algébriques !

Applications dans le monde réel

Simplifier les fractions

Réduire les fractions à leur forme irréductible nécessite de trouver le PGCD du numérateur et du dénominateur.

Exemple:

Pour simplifier 4256\frac{42}{56} : PGCD(42, 56) = 14, donc 4256=42÷1456÷14=34\frac{42}{56} = \frac{42 \div 14}{56 \div 14} = \frac{3}{4}

1Essaie par toi-même

Tu dois simplifier la fraction 3045\frac{30}{45}.

Quelle est la forme simplifiée ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Divise 30 et 45 par PGCD(30, 45). Quelle fraction obtiens-tu ?

Couper des matériaux sans déchet

Pour couper des planches ou du tissu, le PGCD aide à trouver les plus grands morceaux égaux possibles.

Exemple:

Tu as une planche de 72 cm et une planche de 90 cm. Pour les couper en morceaux égaux sans déchet, utilise des morceaux de PGCD(72, 90) = 18 cm.

2Essaie par toi-même

Tu as des rubans de 40 cm et 56 cm. Tu veux les couper en morceaux égaux sans reste.

Quel est le plus long morceau que tu peux couper ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve PGCD(40, 56) :

Organiser des objets en groupes

Le PGCD aide à distribuer différents types d'objets en groupes égaux.

Exemple:

Avec 28 pommes et 42 oranges, tu peux faire PGCD(28, 42) = 14 paniers identiques, chacun avec 2 pommes et 3 oranges.

3Essaie par toi-même

Un enseignant a 36 crayons et 48 gommes pour faire des kits de fournitures.

Quel est le nombre maximum de kits identiques possibles ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve PGCD(36, 48) :

Points clés

  • 1Le PGCD est le plus grand nombre qui divise deux ou plusieurs nombres sans reste
  • 2Méthode 1 : Liste tous les diviseurs de chaque nombre et trouve le plus grand commun
  • 3Méthode 2 : Utilise la décomposition en facteurs premiers et multiplie les facteurs premiers communs avec leurs plus petites puissances
  • 4Le PGCD sert à simplifier les fractions en divisant numérateur et dénominateur par celui-ci
  • 5Quand PGCD = 1, les nombres sont dits premiers entre eux (aucun diviseur commun sauf 1)

Questions fréquentes

Quand PGCD = 1, on dit que les nombres sont premiers entre eux. Ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Exemples : PGCD(8, 15) = 1, PGCD(7, 12) = 1.
Quand PGCD = 1, on dit que les nombres sont premiers entre eux. Ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Exemples : PGCD(8, 15) = 1, PGCD(7, 12) = 1.
Non, le PGCD est toujours inférieur ou égal au plus petit nombre. Le PGCD doit diviser les deux nombres, donc il ne peut dépasser aucun d'eux.
Le PGCD est le plus grand nombre qui divise les deux nombres. Le PPCM (plus petit commun multiple) est le plus petit nombre divisible par les deux nombres. Pour 12 et 18 : PGCD = 6, PPCM = 36.

Glossaire

Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
Le plus grand entier positif qui divise deux ou plusieurs nombres sans reste
Diviseur
Un nombre qui divise un autre nombre sans reste
Décomposition en facteurs premiers
Écrire un nombre comme produit de nombres premiers
Premiers entre eux
Deux nombres dont le PGCD est 1 : leur seul diviseur commun est 1
Diviseur commun
Un diviseur partagé par deux ou plusieurs nombres
Défi du jourUn problème, trois essais

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