Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
Apprends à trouver le plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs nombres avec différentes méthodes.
Définition
- Diviseurs de :
- Diviseurs de :
- Diviseurs communs :
- PGCD = 6 (le plus grand diviseur commun)
Essaie tout de suite
Exemples résolus
Trouve le PGCD de et .
Liste tous les diviseurs de 24
→ Diviseurs :
Liste tous les diviseurs de 36
→ Diviseurs :
Entoure les diviseurs communs
Les deux listes contiennent : → Diviseurs communs trouvés
Trouve le plus grand
Le plus grand nombre dans les deux listes est →
Réponse: Le PGCD de 24 et 36 est .
Erreurs courantes
Confondre PGCD et PPCM
Pourquoi c'est faux: Le PGCD concerne la division (ce qui ENTRE dans les deux nombres), tandis que le PPCM concerne la multiplication (ce dans quoi les deux nombres ENTRENT).
Correct: PGCD de 12 et 18 est 6 (divise les deux). PPCM de 12 et 18 est 36 (les deux le divisent).
Oublier de prendre la PLUS PETITE puissance avec la décomposition en facteurs premiers
Pourquoi c'est faux: Les élèves multiplient parfois tous les facteurs premiers au lieu de prendre seulement les communs avec les plus petites puissances.
Correct: Pour et , utilise (pas ) et . PGCD = .
S'arrêter avant de trouver le PLUS GRAND diviseur commun
Pourquoi c'est faux: Trouver un diviseur commun quelconque ne signifie pas que c'est le plus grand.
Correct: Pour 24 et 36, les diviseurs communs sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le PGCD est 12, pas juste 2 ou 6.
Visuel interactif
Diagramme de Venn - PGCD et PPCM
Facteurs premiers de 12:
Facteurs premiers de 18:
PGCD
6
2 × 3 = 6
PPCM
36
2 × 2 × 3 × 3 = 36
Comment ça marche:
- • PGCD = produit des facteurs premiers communs (centre du diagramme)
- • PPCM = produit de tous les facteurs premiers (tout le diagramme)
Trouve le plus grand commun diviseur en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
Arbre de facteurs
Entre un nombre pour voir son arbre de facteurs et sa décomposition en facteurs premiers.
Bac à sable interactif
Calculateur d'expressions
Essayez ceux-ci:
Historique
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Exercices pratiques
16 exercicesQuel est le PGCD de et ?
Pourquoi c'est important
- Simplifier les fractions : Pour réduire à sa forme irréductible, divise par PGCD(12, 18) = 6 pour obtenir
- Partager équitablement : Avec 24 carreaux rouges et 36 carreaux bleus en groupes égaux avec le même ratio, le PGCD donne la taille maximale des groupes
- Bricolage : Pour couper des planches de 48 cm et 60 cm en morceaux égaux sans déchet, le PGCD donne la plus grande taille de morceau
- Planification : Trouver quand des événements qui se répètent à différents intervalles coïncideront
Applications dans le monde réel
Simplifier les fractions
Réduire les fractions à leur forme irréductible nécessite de trouver le PGCD du numérateur et du dénominateur.
Exemple:
Pour simplifier : PGCD(42, 56) = 14, donc
Tu dois simplifier la fraction .
Quelle est la forme simplifiée ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Trouve PGCD(30, 45) et divise les deux par ce nombre :
Couper des matériaux sans déchet
Pour couper des planches ou du tissu, le PGCD aide à trouver les plus grands morceaux égaux possibles.
Exemple:
Tu as une planche de 72 cm et une planche de 90 cm. Pour les couper en morceaux égaux sans déchet, utilise des morceaux de PGCD(72, 90) = 18 cm.
Tu as des rubans de 40 cm et 56 cm. Tu veux les couper en morceaux égaux sans reste.
Quel est le plus long morceau que tu peux couper ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Trouve PGCD(40, 56) :
Organiser des objets en groupes
Le PGCD aide à distribuer différents types d'objets en groupes égaux.
Exemple:
Avec 28 pommes et 42 oranges, tu peux faire PGCD(28, 42) = 14 paniers identiques, chacun avec 2 pommes et 3 oranges.
Un enseignant a 36 crayons et 48 gommes pour faire des kits de fournitures.
Quel est le nombre maximum de kits identiques possibles ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Trouve PGCD(36, 48) :
Points clés
- 1Le PGCD est le plus grand nombre qui divise deux ou plusieurs nombres sans reste
- 2Méthode 1 : Liste tous les diviseurs de chaque nombre et trouve le plus grand commun
- 3Méthode 2 : Utilise la décomposition en facteurs premiers et multiplie les premiers communs avec leurs plus petites puissances
- 4Le PGCD sert à simplifier les fractions en divisant numérateur et dénominateur par celui-ci
- 5Quand PGCD = 1, les nombres sont dits premiers entre eux (aucun diviseur commun sauf 1)
Questions fréquentes
Glossaire
- Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
- Le plus grand entier positif qui divise deux ou plusieurs nombres sans reste
- Diviseur
- Un nombre qui divise un autre nombre sans reste
- Décomposition en facteurs premiers
- Écrire un nombre comme produit de nombres premiers
- Premiers entre eux
- Deux nombres dont le PGCD est 1 (aussi appelés copremiers)
- Diviseur commun
- Un diviseur partagé par deux ou plusieurs nombres