Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quel est le PGCD de $6$ et $9$ ?
1. a)9
2. b)6
3. c)18
4. d)3
Réponse: 3
Diviseurs de 6 : 1, 2, 3, 6. Diviseurs de 9 : 1, 3, 9. Diviseurs communs : 1, 3. Le plus grand est $3$ .
2.
Quel est le PGCD de $8$ et $12$ ?
Réponse: 4
Diviseurs de 8 : 1, 2, 4, 8. Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Diviseurs communs : 1, 2, 4. PGCD = $4$ .
3.
Trouve le PGCD de $15$ et $20$ en listant les diviseurs.
Réponse: 5
1. Liste tous les diviseurs de 15 : 1, 3, 5, 15
2. Liste tous les diviseurs de 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20
3. Quels diviseurs apparaissent dans LES DEUX listes ? 1, 5
4. Quel est le plus grand diviseur commun ? 5
4.
Quelle paire est formée de deux nombres premiers entre eux (PGCD = 1) ?
1. a)6 et 9
2. b)8 et 15
3. c)10 et 25
4. d)12 et 18
Réponse: 8 et 15
PGCD(8, 15) = 1 (aucun diviseur commun autre que 1). PGCD(6, 9) = 3. PGCD(10, 25) = 5. PGCD(12, 18) = 6. Seuls 8 et 15 sont premiers entre eux.
5.
Quel est le PGCD de $24$ et $36$ ?
Réponse: 12
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Communs : 1, 2, 3, 4, 6, 12. PGCD = $12$ .
6.
Trouve le PGCD de $48$ et $60$ par décomposition en facteurs premiers.
Réponse: 12
1. Écris la décomposition avec des puissances : $48 = 2^{\square} \times 3$ . Quel exposant va dans la case ? 4
2. Écris la décomposition avec des puissances : $60 = 2^{\square} \times 3 \times 5$ . Quel exposant va dans la case ? 2
3. Quels facteurs premiers sont communs aux deux ? 2 et 3
4. Prends la plus petite puissance de chaque facteur premier commun et multiplie : 12
7.
Simplifie $\frac{18}{24}$ en utilisant le PGCD.
1. a) $\frac{9}{12}$
2. b) $\frac{6}{8}$
3. c) $\frac{3}{4}$
4. d) $\frac{2}{3}$
Réponse: $\frac{3}{4}$
PGCD(18, 24) = 6. $\frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$ . Les autres options ne sont pas complètement simplifiées.
8.
Une fleuriste a 36 roses et 48 tulipes. Elle veut faire des bouquets identiques sans fleurs restantes. Quel est le nombre maximum de bouquets qu'elle peut faire ?
Réponse: 12
1. As-tu besoin ici du PGCD ou du PPCM ? PGCD
2. Liste les diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3. Liste les diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
4. Combien vaut PGCD(36, 48), c'est-à-dire le nombre maximum de bouquets ? 12
9.
Quel est le PGCD de $42$ et $56$ ?
Réponse: 14
$42 = 2 \times 3 \times 7$ , $56 = 2^3 \times 7$ . Communs : $2^1$ et $7^1$ . PGCD = $2 \times 7 = 14$ .
10.
Quel est PGCD(50, 100) ?
1. a)50
2. b)10
3. c)25
4. d)100
Réponse: 50
Puisque 50 divise 100 sans reste ( $100 = 2 \times 50$ ), le PGCD est 50 lui-même. Le PGCD peut égaler le plus petit nombre !
11.
Trouve le PGCD de $18$ , $24$ et $30$ .
Réponse: 6
1. Écris la décomposition avec des puissances : $18 = 2 \times 3^{\square}$ . Quel exposant va dans la case ? 2
2. Écris la décomposition avec des puissances : $24 = 2^{\square} \times 3$ . Quel exposant va dans la case ? 3
3. Décompose 30 en facteurs premiers : $30 = 2 \times 3 \times \square$ . Quel nombre premier va dans la case ? 5
4. Quels facteurs premiers apparaissent dans LES TROIS décompositions ? 2 et 3
5. PGCD = ? 6
12.
Quel est PGCD(72, 96) ?
Réponse: 24
$72 = 2^3 \times 3^2$ , $96 = 2^5 \times 3$ . Communs : $2^3$ et $3^1$ . PGCD = $8 \times 3 = 24$ .
13.
Simplifie $\frac{84}{126}$ à sa forme irréductible en utilisant le PGCD.
Réponse: 2/3
1. Écris la décomposition avec des puissances : $84 = 2^{\square} \times 3 \times 7$ . Quel exposant va dans la case ? 2
2. Écris la décomposition avec des puissances : $126 = 2 \times 3^{\square} \times 7$ . Quel exposant va dans la case ? 2
3. PGCD(84, 126) = ? 42
4. $\frac{84}{126} = \frac{\square}{3}$ . Quel nombre va dans la case ? 2
14.
Un menuisier a des planches de 84 cm et de 126 cm. Il veut les couper toutes les deux en morceaux de même longueur, sans perte. Quelle est la plus grande longueur possible d'un morceau ?
1. a)21 cm
2. b)7 cm
3. c)42 cm
4. d)14 cm
Réponse: 42 cm
PGCD(84, 126) = 42. Il peut couper 2 morceaux dans la planche de 84 cm et 3 dans celle de 126 cm, tous de 42 cm.
15.
Trouve le PGCD de $10$ et $15$ .
Réponse: 5
1. Liste les diviseurs de 10 : 1, 2, 5, 10
2. Liste les diviseurs de 15 : 1, 3, 5, 15
3. Diviseurs communs : 1, 5
4. Plus grand diviseur commun : 5
16.
Quel est PGCD(45, 75) ?
Réponse: 15
$45 = 3^2 \times 5$ , $75 = 3 \times 5^2$ . Communs : $3^1$ et $5^1$ . PGCD = $3 \times 5 = 15$ .