Identifier le centre et le rayon

Trouve le centre et le rayon du cercle : $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Comparer avec la forme canonique: Forme canonique : $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ = Faire correspondre le modèle

Identifier h (abscisse du centre): $(x - 3)^2$ signifie $h = 3$ = $h = 3$

Identifier k (ordonnée du centre): $(y + 2)^2 = (y - (-2))^2$ signifie $k = -2$ = $k = -2$

Trouver le rayon: $r^2 = 25$, donc $r = \sqrt{25} = 5$ = $r = 5$

Answer: Centre : $(3, -2)$, Rayon : $5$

Écrire une équation à partir du centre et du rayon

Écris l'équation d'un cercle de centre $(-4, 1)$ et de rayon $6$.

Identifier les valeurs: $h = -4$, $k = 1$, $r = 6$ = Valeurs identifiées

Substituer dans la forme canonique: $(x - (-4))^2 + (y - 1)^2 = 6^2$ = Substituer les valeurs

Simplifier: $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 36$ = Équation finale

Answer: $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 36$

Cercle passant par un point

Écris l'équation d'un cercle de centre $(2, -1)$ passant par le point $(5, 3)$.

Trouver le rayon avec la formule de distance: $r = \sqrt{(5-2)^2 + (3-(-1))^2}$ = $r = \sqrt{9 + 16}$

Calculer le rayon: $r = \sqrt{25} = 5$ = $r = 5$

Écrire l'équation: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$ = Équation sous forme canonique

Answer: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$

Mistake: Confondre les signes dans $(y + 2)^2$

Why: La forme canonique utilise la soustraction : $(y - k)^2$. Si tu vois $(y + 2)^2$, cela équivaut à $(y - (-2))^2$, donc $k = -2$, pas $+2$.

Correct: Toujours réécrire comme une soustraction : $(y + 2)^2 = (y - (-2))^2$, donc $k = -2$.

Mistake: Utiliser $r^2$ comme rayon au lieu de $r$

Why: L'équation donne $r^2$, pas $r$. Tu dois prendre la racine carrée.

Correct: Si l'équation montre $= 49$, alors $r^2 = 49$ et $r = 7$ (pas 49).

Mistake: Oublier de mettre le rayon au carré en écrivant les équations

Why: Quand on donne le rayon $r = 4$, les élèves écrivent $= 4$ au lieu de $= 16$.

Correct: Toujours mettre le rayon au carré : si $r = 4$, écris $r^2 = 16$ dans l'équation.

Triangulation GPS

Les antennes relais et les satellites GPS utilisent des cercles pour localiser ta position. Chaque antenne connaît sa distance à ton téléphone, créant un cercle de positions possibles.

Une antenne relais à la position $(2, 3)$ km détecte ton téléphone à $5$ km de distance. Tes positions possibles forment le cercle $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

Pistes de course circulaires

Les architectes conçoivent des pistes circulaires en utilisant des équations de cercles pour garantir les dimensions correctes.

Une piste d'athlétisme a un bord intérieur avec centre à l'origine et rayon $30$ mètres : $x^2 + y^2 = 900$. Le bord extérieur a un rayon de $35$ mètres : $x^2 + y^2 = 1225$.

Q: Pourquoi y a-t-il un signe moins dans $(x - h)$ ?

A: La forme canonique utilise la soustraction car elle est basée sur la formule de distance. L'expression $(x - h)^2 + (y - k)^2$ calcule le carré de la distance de tout point $(x, y)$ au centre $(h, k)$.

Q: Le rayon peut-il être négatif ?

A: Non. Le rayon est toujours positif car il représente une distance. Si $r^2 = 25$, alors $r = 5$ (on prend la racine carrée positive).

Q: Et si l'équation ne ressemble pas à la forme canonique ?

A: Certaines équations doivent être réécrites. Par exemple, $x^2 + y^2 - 6x + 4y = 12$ peut être convertie en forme canonique en complétant le carré. Ceci est traité dans la leçon 'Conversion en forme canonique'.