Cercles sous forme canonique

Apprends à écrire et interpréter l'équation d'un cercle sous forme canonique.

Avancé25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La forme canonique de l'équation d'un cercle est :
(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Où :
  • (h,k)(h, k) est le centre du cercle
  • rr est le rayon (toujours positif)
Point clé : Chaque point (x,y)(x, y) sur le cercle est exactement à rr unités du centre.
Cas particulier : Quand le centre est à l'origine (0,0)(0, 0) :
x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2

Essaie tout de suite

Quel est le centre du cercle (x−4)2+(y−7)2=16(x - 4)^2 + (y - 7)^2 = 16 ?

Exemples résolus

Trouve le centre et le rayon du cercle : (x−3)2+(y+2)2=25(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
1

Comparer avec la forme canonique

Forme canonique : (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 → Faire correspondre le modèle
2

Identifier h (abscisse du centre)

(x−3)2(x - 3)^2 signifie h=3h = 3
3

Identifier k (ordonnée du centre)

(y+2)2=(y−(−2))2(y + 2)^2 = (y - (-2))^2 signifie k=−2k = -2
4

Trouver le rayon

r2=25r^2 = 25, donc r=25=5r = \sqrt{25} = 5 → r=5r = 5

Erreurs courantes

Confondre les signes dans (y+2)2(y + 2)^2

Pourquoi c'est faux: La forme canonique utilise la soustraction : (y−k)2(y - k)^2. Si tu vois (y+2)2(y + 2)^2, cela équivaut à (y−(−2))2(y - (-2))^2, donc k=−2k = -2, pas +2+2.

Correct: Toujours réécrire comme une soustraction : (y+2)2=(y−(−2))2(y + 2)^2 = (y - (-2))^2, donc k=−2k = -2.

Utiliser r2r^2 comme rayon au lieu de rr

Pourquoi c'est faux: L'équation donne r2r^2, pas rr. Tu dois prendre la racine carrée.

Correct: Si l'équation montre =49= 49, alors r2=49r^2 = 49 et r=7r = 7 (pas 49).

Oublier de mettre le rayon au carré en écrivant les équations

Pourquoi c'est faux: Quand on donne le rayon r=4r = 4, les élèves écrivent =4= 4 au lieu de =16= 16.

Correct: Toujours mettre le rayon au carré : si r=4r = 4, écris r2=16r^2 = 16 dans l'équation.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-10-50510-10-50510xyC(3 ; -2)
  • r² = 25
(x − h)² + (y − k)² = r²
  • Centre : (3 ; -2)

Courbe de la fonction

-4-202468-505xyC(2 ; -1)(5 ; 3)
(x − 2)² + (y + 1)² = 25
  • Centre : (2 ; -1)
  • Longueur de (2 ; -1) – (5 ; 3) : d = 5

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = -2 + sqrt(25 - (x - 3)^2)

y = -2 - sqrt(25 - (x - 3)^2)

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Quel est le centre du cercle (x−4)2+(y−7)2=16(x - 4)^2 + (y - 7)^2 = 16 ?

Pourquoi c'est important

Les équations de cercles apparaissent partout en mathématiques et dans les applications réelles :
  • GPS et Navigation : Les antennes relais utilisent des cercles pour trianguler ta position
  • Ingénierie : Conception d'engrenages, de roues et de composants circulaires
  • Astronomie : Modélisation des orbites planétaires (simplifiées en cercles)
  • Architecture : Planification de bâtiments circulaires, de dômes et d'arènes
  • Physique : Description du mouvement circulaire et de la propagation des ondes
Comprendre la forme canonique te permet d'identifier rapidement les propriétés clés d'un cercle à partir de son équation.

Applications dans le monde réel

Triangulation GPS

Les antennes relais et les satellites GPS utilisent des cercles pour localiser ta position. Chaque antenne connaît sa distance à ton téléphone, créant un cercle de positions possibles.

Exemple:

Une antenne relais à la position (2,3)(2, 3) km détecte ton téléphone à 55 km de distance. Tes positions possibles forment le cercle (x−2)2+(y−3)2=25(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25.

1Essaie par toi-même

Une balise de secours est détectée à 10 km d'une station aux coordonnées (0,0)(0, 0).

Quelle équation décrit toutes les positions possibles de la balise ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Centre à l'origine, rayon 10 :

Pistes de course circulaires

Les architectes conçoivent des pistes circulaires en utilisant des équations de cercles pour garantir les dimensions correctes.

Exemple:

Une piste d'athlétisme a un bord intérieur avec centre à l'origine et rayon 3030 mètres : x2+y2=900x^2 + y^2 = 900. Le bord extérieur a un rayon de 3535 mètres : x2+y2=1225x^2 + y^2 = 1225.

2Essaie par toi-même

Une fontaine circulaire est conçue avec un centre à (5,5)(5, 5) mètres d'un coin et un rayon de 33 mètres.

Écris l'équation du bord de la fontaine.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Équation sous forme canonique :

Points clés

  • 1Forme canonique d'un cercle : (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
  • 2(h,k)(h, k) est le centre, rr est le rayon
  • 3Attention aux signes : (y+2)2(y + 2)^2 signifie k=−2k = -2
  • 4Le membre de droite est r2r^2, pas rr - prends la racine carrée pour trouver le rayon
  • 5Cercle centré à l'origine : x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2

Questions fréquentes

La forme canonique utilise la soustraction car elle est basée sur la formule de distance. L'expression (x−h)2+(y−k)2(x - h)^2 + (y - k)^2 calcule le carré de la distance de tout point (x,y)(x, y) au centre (h,k)(h, k).
La forme canonique utilise la soustraction car elle est basée sur la formule de distance. L'expression (x−h)2+(y−k)2(x - h)^2 + (y - k)^2 calcule le carré de la distance de tout point (x,y)(x, y) au centre (h,k)(h, k).
Non. Le rayon est toujours positif car il représente une distance. Si r2=25r^2 = 25, alors r=5r = 5 (on prend la racine carrée positive).
Certaines équations doivent être réécrites. Par exemple, x2+y2−6x+4y=12x^2 + y^2 - 6x + 4y = 12 peut être convertie en forme canonique en complétant le carré. Ceci est traité dans la leçon 'Conversion en forme canonique'.

Glossaire

Forme canonique
L'équation (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 où (h,k)(h, k) est le centre et rr est le rayon
Centre
Le point fixe (h,k)(h, k) équidistant de tous les points du cercle
Rayon
La distance constante rr du centre à tout point du cercle
Section conique
Une courbe formée par l'intersection d'un plan avec un cône - cercles, ellipses, paraboles et hyperboles
Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Introduction aux sections coniques

Avancé25 min

Introduction aux ellipses

Avancé25 min

Les paraboles en forme canonique

Avancé25 min

Ellipses sous forme standard

Avancé25 min