Identifier le sommet et le sens d'ouverture

Pour $y = 2(x - 3)^2 - 5$, trouve le sommet, l'axe de symétrie et le sens d'ouverture.

Identifie $h$ à partir de $(x - h)$: $(x - 3)$ signifie $h = 3$ = $h = 3$

Identifie $k$ comme la constante: $k = -5$ = $k = -5$

Écris le sommet: Sommet = $(h, k)$ = $(3, -5)$

Trouve l'axe de symétrie: $x = h$ = $x = 3$

Détermine le sens à partir de $a$: $a = 2 > 0$ = S'ouvre vers le haut

Answer: Sommet : $(3, -5)$, Axe de symétrie : $x = 3$, S'ouvre vers le haut (plus étroite que $y = x^2$)

Écrire la forme canonique à partir d'un graphique

Une parabole a pour sommet $(-2, 4)$ et passe par le point $(0, 0)$. Écris son équation en forme canonique.

Commence avec la forme canonique: $y = a(x - h)^2 + k$ = Équation de base

Substitue le sommet $(h, k) = (-2, 4)$: $y = a(x - (-2))^2 + 4$ = $y = a(x + 2)^2 + 4$

Substitue le point $(0, 0)$ pour trouver $a$: $0 = a(0 + 2)^2 + 4$ = $0 = 4a + 4$

Résous pour $a$: $4a = -4$, donc $a = -1$ = $a = -1$

Écris l'équation finale: $y = -1(x + 2)^2 + 4$ = $y = -(x + 2)^2 + 4$

Answer: $y = -(x + 2)^2 + 4$

Convertir de la forme développée à la forme canonique

Convertis $y = x^2 - 6x + 5$ en forme canonique en complétant le carré.

Regroupe les termes en $x$: $y = (x^2 - 6x) + 5$ = Termes regroupés

Trouve la valeur pour compléter le carré: $\left(\frac{-6}{2}\right)^2 = (-3)^2 = 9$ = Ajoute et soustrais $9$

Ajoute et soustrais à l'intérieur des parenthèses: $y = (x^2 - 6x + 9 - 9) + 5$ = Équilibre maintenu

Factorise le trinôme carré parfait: $y = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5$ = $y = (x - 3)^2 - 4$

Identifie le sommet: En comparant avec $a(x - h)^2 + k$ = Sommet : $(3, -4)$

Answer: $y = (x - 3)^2 - 4$, avec sommet $(3, -4)$

Mistake: Écrire le sommet comme $(h, k)$ quand l'équation contient $(x + h)$

Why: Quand tu vois $(x + 2)^2$, c'est $(x - (-2))^2$, donc $h = -2$, pas $2$.

Correct: Réécris toujours pour correspondre à $(x - h)$ : si tu vois $(x + 2)$, alors $h = -2$.

Mistake: Oublier que $a$ affecte la largeur, pas seulement le sens

Why: Les élèves se concentrent uniquement sur le fait que $a$ soit positif ou négatif.

Correct: $|a| > 1$ rend la parabole plus étroite ; $|a| < 1$ la rend plus large.

Mistake: Erreurs en complétant le carré

Why: Oublier de soustraire la même valeur qui a été ajoutée à l'intérieur des parenthèses.

Correct: Quand tu ajoutes $9$ pour compléter le carré, tu dois aussi soustraire $9$ pour garder l'équation équilibrée.

Mouvement des projectiles

Quand un objet est lancé, sa hauteur au fil du temps suit une trajectoire parabolique. La forme canonique donne immédiatement la hauteur maximale.

La hauteur d'une balle est $h(t) = -16(t - 2)^2 + 64$ pieds. Le sommet $(2, 64)$ nous dit que la balle atteint 64 pieds à $t = 2$ secondes.

Antennes paraboliques

Les antennes paraboliques concentrent les signaux au sommet. Les ingénieurs utilisent la forme canonique pour concevoir la forme précise.

Une antenne d'équation $y = 0,25(x - 0)^2 + 0$ a son point focal au-dessus du sommet à l'origine.

Q: Comment savoir si le sommet est un maximum ou un minimum ?

A: Regarde $a$ : si $a > 0$, la parabole s'ouvre vers le haut donc le sommet est un minimum. Si $a < 0$, elle s'ouvre vers le bas donc le sommet est un maximum.

Q: Pourquoi y a-t-il un signe négatif dans $(x - h)$ ?

A: La forme $(x - h)$ représente un décalage horizontal. Quand $h = 3$, on écrit $(x - 3)$, ce qui décale la parabole de 3 unités vers la droite. Quand $h = -2$, on écrit $(x - (-2)) = (x + 2)$, décalant de 2 unités vers la gauche.

Q: Comment convertir la forme canonique en forme développée ?

A: Développe le terme au carré : $a(x - h)^2 + k = a(x^2 - 2hx + h^2) + k = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k$.