Les paraboles en forme canonique
Apprends à écrire, tracer et analyser des fonctions quadratiques sous forme canonique y = a(x - h)² + k.
Définition
- est le sommet de la parabole
- détermine la largeur et le sens d'ouverture
- L'axe de symétrie est la droite verticale
- Si : la parabole s'ouvre vers le haut (le sommet est un minimum)
- Si : la parabole s'ouvre vers le bas (le sommet est un maximum)
- Si : la parabole est plus étroite que
- Si : la parabole est plus large que
Essaie tout de suite
Exemples résolus
Pour , trouve le sommet, l'axe de symétrie et le sens d'ouverture.
Identifie à partir de
signifie →
Identifie comme la constante
→
Écris le sommet
Sommet = →
Trouve l'axe de symétrie
→
Détermine le sens à partir de
→ S'ouvre vers le haut
Réponse: Sommet : , Axe de symétrie : , S'ouvre vers le haut (plus étroite que )
Erreurs courantes
Écrire le sommet comme quand l'équation contient
Pourquoi c'est faux: Quand tu vois , c'est , donc , pas .
Correct: Réécris toujours pour correspondre à : si tu vois , alors .
Oublier que affecte la largeur, pas seulement le sens
Pourquoi c'est faux: Les élèves se concentrent uniquement sur le fait que soit positif ou négatif.
Correct: rend la parabole plus étroite ; la rend plus large.
Erreurs en complétant le carré
Pourquoi c'est faux: Oublier de soustraire la même valeur qui a été ajoutée à l'intérieur des parenthèses.
Correct: Quand tu ajoutes pour compléter le carré, tu dois aussi soustraire pour garder l'équation équilibrée.
Visuel interactif
Explorateur quadratique
Contrôle la largeur et la direction
Déplace la parabole
Ordonnée à l'origine
Sommet
(0, 0)
Axe de symétrie
x = 0
Racines (abscisses à l'origine)
x = 0 (racine double)
Ordonnée à l'origine
(0, 0)
Direction
Ouvre vers le haut
Discriminant
b² - 4ac = 0
Table de valeurs
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Bac à sable interactif
Grapheur interactif
Essayez ces exemples:
y = 2x + 1
m=2, b=1
Calculateur d'expressions
Essayez ceux-ci:
Historique
Aucun calcul encore
Exercices pratiques
16 exercicesQuel est le sommet de ?
Pourquoi c'est important
- Physique : Le mouvement des projectiles suit des trajectoires paraboliques. Le sommet indique la hauteur maximale et quand elle est atteinte.
- Ingénierie : Les antennes paraboliques et les phares de voiture utilisent des réflecteurs paraboliques. Le sommet est le point focal.
- Économie : Les fonctions de profit sont souvent quadratiques. Le sommet montre le profit maximum.
- Architecture : Les arcs paraboliques distribuent le poids efficacement. Le sommet est le point le plus haut.
Applications dans le monde réel
Mouvement des projectiles
Quand un objet est lancé, sa hauteur au fil du temps suit une trajectoire parabolique. La forme canonique donne immédiatement la hauteur maximale.
Exemple:
La hauteur d'une balle est pieds. Le sommet nous dit que la balle atteint 64 pieds à secondes.
Une fontaine projette de l'eau suivant la trajectoire , où est la hauteur en mètres et la distance horizontale.
Quelle est la hauteur maximale de l'eau et à quelle distance horizontale se produit-elle ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Lis le sommet :
Antennes paraboliques
Les antennes paraboliques concentrent les signaux au sommet. Les ingénieurs utilisent la forme canonique pour concevoir la forme précise.
Exemple:
Une antenne d'équation a son point focal au-dessus du sommet à l'origine.
Un ingénieur conçoit un réflecteur parabolique d'équation . Le réflecteur fait 2 mètres de large.
Quelle est la profondeur de l'antenne à ses bords (à mètre) ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Calcule quand :
Points clés
- 1La forme canonique est où est le sommet
- 2L'axe de symétrie est toujours
- 3 : s'ouvre vers le haut (minimum au sommet) ; : s'ouvre vers le bas (maximum au sommet)
- 4 : parabole plus étroite ; : parabole plus large
- 5Pour convertir depuis la forme développée, complète le carré
Questions fréquentes
Glossaire
- Sommet
- Le point de retournement d'une parabole ; le point dans la forme canonique
- Axe de symétrie
- La droite verticale qui divise la parabole en deux images miroir
- Forme canonique
- L'équation où est le sommet
- Complétion du carré
- Une technique pour convertir la forme développée en forme canonique en créant un trinôme carré parfait
Carte des formules
Forme canonique
Équation standard de la forme canonique
Sommet
Coordonnées du point de retournement
Axe de symétrie
Droite verticale passant par le sommet
Complétion du carré
Conversion en forme canonique