Les paraboles en forme canonique

Apprends à écrire, tracer et analyser des fonctions quadratiques sous forme canonique y = a(x - h)² + k.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La forme canonique d'une fonction quadratique est :
y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k
où :
  • (h,k)(h, k) est le sommet de la parabole
  • aa détermine la largeur et le sens d'ouverture
  • L'axe de symétrie est la droite verticale x=hx = h
Propriétés clés :
  • Si a>0a > 0 : la parabole s'ouvre vers le haut (le sommet est un minimum)
  • Si a<0a < 0 : la parabole s'ouvre vers le bas (le sommet est un maximum)
  • Si ∣a∣>1|a| > 1 : la parabole est plus étroite que y=x2y = x^2
  • Si ∣a∣<1|a| < 1 : la parabole est plus large que y=x2y = x^2

Essaie tout de suite

Quel est le sommet de y=(x−4)2+3y = (x - 4)^2 + 3 ?

Exemples résolus

Pour y=2(x−3)2−5y = 2(x - 3)^2 - 5, trouve le sommet, l'axe de symétrie et le sens d'ouverture.
1

Identifie hh à partir de (x−h)(x - h)

(x−3)(x - 3) signifie h=3h = 3
2

Identifie kk comme la constante

k=−5k = -5
3

Écris le sommet

Sommet = (h,k)(h, k) → (3,−5)(3, -5)
4

Trouve l'axe de symétrie

x=hx = h → x=3x = 3
5

Détermine le sens à partir de aa

a=2>0a = 2 > 0 → S'ouvre vers le haut

Erreurs courantes

Écrire le sommet comme (h,k)(h, k) quand l'équation contient (x+h)(x + h)

Pourquoi c'est faux: Quand tu vois (x+2)2(x + 2)^2, c'est (x−(−2))2(x - (-2))^2, donc h=−2h = -2, pas 22.

Correct: Réécris toujours pour correspondre à (x−h)(x - h) : si tu vois (x+2)(x + 2), alors h=−2h = -2.

Oublier que aa affecte la largeur, pas seulement le sens

Pourquoi c'est faux: Les élèves se concentrent uniquement sur le fait que aa soit positif ou négatif.

Correct: ∣a∣>1|a| > 1 rend la parabole plus étroite ; ∣a∣<1|a| < 1 la rend plus large.

Erreurs en complétant le carré

Pourquoi c'est faux: Oublier de soustraire la même valeur qui a été ajoutée à l'intérieur des parenthèses.

Correct: Quand tu ajoutes 99 pour compléter le carré, tu dois aussi soustraire 99 pour garder l'équation équilibrée.

Visuel interactif

Explorateur quadratique

y = x²

Contrôle la largeur et la direction

Déplace la parabole

Ordonnée à l'origine

xy

Sommet

(0, 0)

Axe de symétrie

x = 0

Racines (abscisses à l'origine)

x = 0 (racine double)

Ordonnée à l'origine

(0, 0)

Direction

Ouvre vers le haut

Discriminant

b² - 4ac = 0

Table de valeurs

x-3-2-10123
y9410149
SommetRacinesOrdonnée à l'origineAxe de symétrie

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = 2(x - 3)^2 - 5

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quel est le sommet de y=(x−4)2+3y = (x - 4)^2 + 3 ?

Pourquoi c'est important

La forme canonique permet de comprendre facilement les fonctions quadratiques :
  • Physique : Le mouvement des projectiles suit des trajectoires paraboliques. Le sommet indique la hauteur maximale et quand elle est atteinte.
  • Ingénierie : Les antennes paraboliques et les phares de voiture utilisent des réflecteurs paraboliques. Le sommet est le point focal.
  • Économie : Les fonctions de profit sont souvent quadratiques. Le sommet montre le profit maximum.
  • Architecture : Les arcs paraboliques distribuent le poids efficacement. Le sommet est le point le plus haut.
Comprendre la forme canonique te permet d'identifier rapidement les caractéristiques les plus importantes de n'importe quelle parabole !

Applications dans le monde réel

Mouvement des projectiles

Quand un objet est lancé, sa hauteur au fil du temps suit une trajectoire parabolique. La forme canonique donne immédiatement la hauteur maximale.

Exemple:

La hauteur d'une balle est h(t)=−16(t−2)2+64h(t) = -16(t - 2)^2 + 64 pieds. Le sommet (2,64)(2, 64) nous dit que la balle atteint 64 pieds à t=2t = 2 secondes.

1Essaie par toi-même

Une fontaine projette de l'eau suivant la trajectoire y=−0,5(x−4)2+8y = -0,5(x - 4)^2 + 8, où yy est la hauteur en mètres et xx la distance horizontale.

Quelle est la hauteur maximale de l'eau et à quelle distance horizontale se produit-elle ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Lis le sommet (h,k)(h, k) :

Antennes paraboliques

Les antennes paraboliques concentrent les signaux au sommet. Les ingénieurs utilisent la forme canonique pour concevoir la forme précise.

Exemple:

Une antenne d'équation y=0,25(x−0)2+0y = 0,25(x - 0)^2 + 0 a son point focal au-dessus du sommet à l'origine.

2Essaie par toi-même

Un ingénieur conçoit un réflecteur parabolique d'équation y=0,1(x−0)2y = 0,1(x - 0)^2. Le réflecteur fait 2 mètres de large.

Quelle est la profondeur de l'antenne à ses bords (à x=±1x = \pm 1 mètre) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule yy quand x=1x = 1 :

Points clés

  • 1La forme canonique est y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k où (h,k)(h, k) est le sommet
  • 2L'axe de symétrie est toujours x=hx = h
  • 3a>0a > 0 : s'ouvre vers le haut (minimum au sommet) ; a<0a < 0 : s'ouvre vers le bas (maximum au sommet)
  • 4∣a∣>1|a| > 1 : parabole plus étroite ; ∣a∣<1|a| < 1 : parabole plus large
  • 5Pour convertir depuis la forme développée, complète le carré

Questions fréquentes

Regarde aa : si a>0a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut donc le sommet est un minimum. Si a<0a < 0, elle s'ouvre vers le bas donc le sommet est un maximum.
Regarde aa : si a>0a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut donc le sommet est un minimum. Si a<0a < 0, elle s'ouvre vers le bas donc le sommet est un maximum.
La forme (x−h)(x - h) représente un décalage horizontal. Quand h=3h = 3, on écrit (x−3)(x - 3), ce qui décale la parabole de 3 unités vers la droite. Quand h=−2h = -2, on écrit (x−(−2))=(x+2)(x - (-2)) = (x + 2), décalant de 2 unités vers la gauche.
Développe le terme au carré : a(x−h)2+k=a(x2−2hx+h2)+k=ax2−2ahx+ah2+ka(x - h)^2 + k = a(x^2 - 2hx + h^2) + k = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k.

Glossaire

Sommet
Le point de retournement d'une parabole ; le point (h,k)(h, k) dans la forme canonique
Axe de symétrie
La droite verticale x=hx = h qui divise la parabole en deux images miroir
Forme canonique
L'équation y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k où (h,k)(h, k) est le sommet
Complétion du carré
Une technique pour convertir la forme développée en forme canonique en créant un trinôme carré parfait

Carte des formules

Forme canonique

y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k

Équation standard de la forme canonique

Sommet

(h,k)(h, k)

Coordonnées du point de retournement

Axe de symétrie

x=hx = h

Droite verticale passant par le sommet

Complétion du carré

x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2

Conversion en forme canonique

Défi du jourUn problème, trois essais

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