Épargne avec intérêts composés en continu

Tu déposes 1000 € sur un compte qui rapporte 5% d'intérêts composés en continu. Combien y a-t-il sur le compte après 10 ans ? Arrondis au centime.

Identifier les valeurs: $P = 1000$, $r = 0{,}05$, $t = 10$ = Valeurs identifiées

Calculer l'exposant $rt$: $rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ = $rt = 0{,}5$

Calculer $e^{0{,}5}$ à la calculatrice: $2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ = $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Multiplier par $P$: $A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ = $A \approx 1648{,}72$

Answer: Après 10 ans, le compte contient environ **1648,72 €**.

Intérêts continus ou annuels

Tu places 2000 € à 6% pendant 5 ans. Compare une capitalisation une fois par an avec une capitalisation continue. Arrondis au centime.

Capitalisation annuelle : utiliser $A = P(1 + r)^t$: $A = 2000 \times 1{,}06^{5} \approx 2000 \times 1{,}338226$ = $A \approx 2676{,}45$

Capitalisation continue : calculer l'exposant: $rt = 0{,}06 \times 5 = 0{,}3$ = $rt = 0{,}3$

Utiliser $A = Pe^{rt}$: $A = 2000 \times e^{0{,}3} \approx 2000 \times 1{,}349859$ = $A \approx 2699{,}72$

Comparer les deux résultats: $2699{,}72 - 2676{,}45 = 23{,}27$ = Le continu rapporte 23,27 de plus

Answer: Avec le même taux et la même durée, la capitalisation continue donne **2699,72 €** et la capitalisation annuelle **2676,45 €** : le continu rapporte **23,27 €** de plus.

Bactéries en croissance continue

Une culture commence avec 500 bactéries et augmente en continu au taux de 20% par heure. Combien y a-t-il de bactéries après 10 heures ? Arrondis à l'unité.

Écrire le modèle: $N(t) = 500 e^{0{,}2t}$ = $P = 500$, $r = 0{,}2$

Calculer l'exposant pour $t = 10$: $0{,}2 \times 10 = 2$ = Exposant $= 2$

Calculer $e^{2}$: $2{,}71828^{2} \approx 7{,}38905$ = $e^{2} \approx 7{,}38905$

Multiplier et arrondir: $N(10) = 500 \times 7{,}38905 \approx 3694{,}5$ = $N(10) \approx 3695$

Answer: Après 10 heures, il y a environ **3695 bactéries**, plus de 7 fois la quantité de départ.

Désintégration radioactive

Un échantillon contient 80 grammes d'une substance radioactive qui se désintègre en continu au taux de 3% par an. Combien en reste-t-il après 20 ans ? Arrondis à deux décimales.

Écrire le modèle de décroissance: $A(t) = 80 e^{-0{,}03t}$ = Exposant négatif : décroissance

Calculer l'exposant pour $t = 20$: $-0{,}03 \times 20 = -0{,}6$ = Exposant $= -0{,}6$

Calculer $e^{-0{,}6}$: $2{,}71828^{-0{,}6} \approx 0{,}548812$ = $e^{-0{,}6} \approx 0{,}548812$

Multiplier par la quantité initiale: $A(20) = 80 \times 0{,}548812 \approx 43{,}90$ = $A(20) \approx 43{,}90$ g

Answer: Après 20 ans, il reste environ **43,90 grammes**, donc environ $80 - 43{,}90 = 36{,}10$ grammes se sont désintégrés.

Trouver le montant initial

Combien dois-tu déposer aujourd'hui, à 4% d'intérêts composés en continu, pour avoir 5000 € dans 8 ans ? Arrondis au centime.

Écrire l'équation: $5000 = P e^{0{,}04 \times 8} = P e^{0{,}32}$ = $P$ est inconnu

Calculer $e^{0{,}32}$: $2{,}71828^{0{,}32} \approx 1{,}37713$ = $e^{0{,}32} \approx 1{,}37713$

Diviser les deux membres par $e^{0{,}32}$: $P = \frac{5000}{e^{0{,}32}}$ = $P = 5000 \div e^{0{,}32}$

Calculer: $P = 5000 \div 2{,}71828^{0{,}32} \approx 3630{,}75$ = $P \approx 3630{,}75$

Answer: Tu dois déposer environ **3630,75 €** aujourd'hui. Vérification : $3630{,}75 \times 1{,}37713 \approx 5000$.

Mistake: Mettre le taux en pourcentage dans l'exposant : $1000 e^{5 \times 10}$

Why: La formule demande le taux en décimal. $e^{50}$ est un nombre gigantesque (environ $5 \times 10^{21}$), ce qui n'a aucun sens pour un compte d'épargne.

Correct: Convertis d'abord : $5\% = 0{,}05$, donc $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$.

Mistake: Oublier le signe moins pour une décroissance : $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Why: Sans le signe moins, l'exposant est positif et la quantité augmente jusqu'à environ 145,77 grammes, plus que les 80 grammes du départ.

Correct: Une décroissance demande un exposant négatif : $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$.

Mistake: Multiplier avant d'élever à la puissance : $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Why: L'exposant ne concerne que $e$, pas $P$. D'après les priorités opératoires, les puissances passent avant la multiplication.

Correct: Calcule d'abord $e^{rt}$, puis multiplie par $P$. À la calculatrice : 1000 × e^(0.05 × 10), avec des parenthèses autour de l'exposant.

Mistake: Utiliser $(1 + r)^t$ alors que l'énoncé parle d'intérêts composés en continu

Why: $(1 + r)^t$ correspond à une capitalisation par période. La capitalisation continue donne toujours un peu plus au même taux.

Correct: Repère les mots en continu ou taux continu : ils signifient $Pe^{rt}$. Une fois par an signifie $P(1 + r)^t$.

Banque : épargne à intérêts continus

Les banques comparent les offres avec la capitalisation la plus généreuse possible, la capitalisation continue. Elle montre le plafond de ce qu'un taux peut rapporter.

À 5% d'intérêts composés en continu, 1 € devient $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ € en un an : le taux annuel effectif est donc d'environ 5,13%, un peu plus que 5%.

Biologie : bactéries en laboratoire

Les microbiologistes modélisent une culture de bactéries bien nourrie par $N(t) = N_0 e^{rt}$, où $r$ est le taux de croissance continu par heure.

Une culture de 1000 bactéries qui augmente au taux continu de 30% par heure compte $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ bactéries après 2 heures.

Médecine : traceurs radioactifs

Les hôpitaux utilisent des substances radioactives comme l'iode 131 pour le diagnostic et le traitement. La quantité restante suit $A = Pe^{-kt}$, ce qui permet aux médecins de savoir combien il en reste chaque jour.

L'iode 131 se désintègre en continu à environ 8,6% par jour. Après 1 jour, $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$ : il reste donc environ 91,8% de l'échantillon.

Q: Pourquoi utilise-t-on $e$ pour la croissance continue ?

A: Composer $n$ fois par an au taux $r$ donne $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$. Quand $n$ devient de plus en plus grand, cette expression se rapproche de $e^{rt}$. Donc $e$ est ce que l'on obtient quand la croissance a lieu à chaque instant.

Q: Combien la capitalisation continue rapporte-t-elle vraiment de plus ?

A: Pas beaucoup plus, mais toujours plus. À 5% pendant un an, la capitalisation annuelle multiplie par $1{,}05$ et la capitalisation continue par $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$. Sur de longues durées et de gros montants, la différence devient visible.

Q: Est-ce que $A = Pe^{-kt}$ est la même chose que $A = Pe^{rt}$ avec $r$ négatif ?

A: Oui. Certains manuels écrivent la décroissance avec un taux positif $k$ et un signe moins, d'autres utilisent une seule formule $Pe^{rt}$ avec $r$ négatif, par exemple $r = -0{,}03$. Les deux donnent le même résultat.

Q: Comment trouver le temps nécessaire pour atteindre un certain montant ?

A: Il faut résoudre $A = Pe^{rt}$ en $t$, ce qui demande le logarithme népérien $\ln$. Tu l'apprendras dans les leçons sur les logarithmes. En attendant, tu peux estimer $t$ en essayant des valeurs dans un tableau.