Combien la capitalisation continue rapporte-t-elle vraiment de plus ?

Pas beaucoup plus, mais toujours plus. À 5% pendant un an, la capitalisation annuelle multiplie par $1{,}05$ et la capitalisation continue par $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$. Sur de longues durées et de gros montants, la différence devient visible.

Est-ce que $A = Pe^{-kt}$ est la même chose que $A = Pe^{rt}$ avec $r$ négatif ?

Oui. Certains manuels écrivent la décroissance avec un taux positif $k$ et un signe moins, d'autres utilisent une seule formule $Pe^{rt}$ avec $r$ négatif, par exemple $r = -0{,}03$. Les deux donnent le même résultat.

Comment trouver le temps nécessaire pour atteindre un certain montant ?

Il faut résoudre $A = Pe^{rt}$ en $t$, ce qui demande le logarithme népérien $\ln$. Tu l'apprendras dans les leçons sur les logarithmes. En attendant, tu peux estimer $t$ en essayant des valeurs dans un tableau.

Ressources enseignants

Croissance et décroissance continues

Q: Pourquoi utilise-t-on $e$ pour la croissance continue ?

Composer $n$ fois par an au taux $r$ donne $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$. Quand $n$ devient de plus en plus grand, cette expression se rapproche de $e^{rt}$. Donc $e$ est ce que l'on obtient quand la croissance a lieu à chaque instant.

Utilise A = Pe^(rt) et A = Pe^(-kt) pour modéliser les intérêts composés en continu, la croissance de bactéries et la désintégration radioactive, et compare avec les intérêts annuels.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Dans la leçon sur la base naturelle

e

, tu as vu que composer de plus en plus souvent,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

, se rapproche de

e \approx 2{,}71828

. Quand une grandeur augmente en continu (à chaque instant, et pas une fois par an), on utilise

e

comme base.

Croissance continue :

A = P e^{rt}

Décroissance continue :

A = P e^{-kt}

où :

$P$ est la valeur initiale (à $t = 0$ )
$r$ est le taux de croissance continu et $k$ le taux de décroissance continu, tous deux écrits en décimal ( $5\% = 0{,}05$ )
$t$ est le temps, dans la même unité que le taux (années, heures, jours)
$A$ est la quantité après le temps $t$

Le signe de l'exposant indique le sens : un exposant positif signifie une croissance, un exposant négatif une décroissance. Tu peux aussi écrire la décroissance sous la forme

A = Pe^{rt}

avec un taux négatif, par exemple

r = -0{,}03

Dans la calculatrice, tape

e^{x}

directement sous la forme e^(x), par exemple e^0.5

\approx 1{,}6487

. Sur une calculatrice simple sans touche

e

, tape 2.71828^x à la place.

Essaie tout de suite

Une substance se désintègre en continu au taux de 4% par an. Quelle formule modélise la quantité

A

après

t

années, en partant de

P

Exemples résolus

Tu déposes 1000 € sur un compte qui rapporte 5% d'intérêts composés en continu. Combien y a-t-il sur le compte après 10 ans ? Arrondis au centime.

Identifier les valeurs

$P = 1000$ , $r = 0{,}05$ , $t = 10$ → Valeurs identifiées

Calculer l'exposant $rt$

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ → $rt = 0{,}5$

Calculer $e^{0{,}5}$ à la calculatrice

$2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ → $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Multiplier par $P$

$A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ → $A \approx 1648{,}72$

Réponse: Après 10 ans, le compte contient environ 1648,72 €.

Erreurs courantes

Mettre le taux en pourcentage dans l'exposant : $1000 e^{5 \times 10}$

Pourquoi c'est faux: La formule demande le taux en décimal. $e^{50}$ est un nombre gigantesque (environ $5 \times 10^{21}$ ), ce qui n'a aucun sens pour un compte d'épargne.

Correct: Convertis d'abord : $5\% = 0{,}05$ , donc $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$ .

Oublier le signe moins pour une décroissance : $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Pourquoi c'est faux: Sans le signe moins, l'exposant est positif et la quantité augmente jusqu'à environ 145,77 grammes, plus que les 80 grammes du départ.

Correct: Une décroissance demande un exposant négatif : $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$ .

Multiplier avant d'élever à la puissance : $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Pourquoi c'est faux: L'exposant ne concerne que $e$ , pas $P$ . D'après les priorités opératoires, les puissances passent avant la multiplication.

Correct: Calcule d'abord $e^{rt}$ , puis multiplie par $P$ . À la calculatrice : 1000 × e^(0.05 × 10), avec des parenthèses autour de l'exposant.

Utiliser $(1 + r)^t$ alors que l'énoncé parle d'intérêts composés en continu

Pourquoi c'est faux: $(1 + r)^t$ correspond à une capitalisation par période. La capitalisation continue donne toujours un peu plus au même taux.

Correct: Repère les mots en continu ou taux continu : ils signifient $Pe^{rt}$ . Une fois par an signifie $P(1 + r)^t$ .

Visuel interactif

Courbe de la fonction

P = 1000r = 0,05

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Asymptote

Tableau de valeurs

t	0	5	10	15	20
A = P·e^(rt)	1000	1284,03	1648,72	2117	2718,28
A = P(1 + r)^t	1000	1276,28	1628,89	2078,93	2653,3

Calculateur d'intérêts

Capital (1 000,00 €)

Taux d'intérêt (5%)

Durée (10 ans)

Capitalisation

Formule

Intérêt composé:A = Pe^(rt)A = 1000 · e^(0,05 · 10) = 1 648,72 €

Intérêt composé

Intérêts gagnés:648,72 €

Montant total:1 648,72 €

Même somme, capitalisation différente

Capitalisation	n	Montant total	Intérêts gagnés
Annuelle	1	1 628,89 €	628,89 €
Mensuelle	12	1 647,01 €	647,01 €
Quotidienne	365	1 648,66 €	648,66 €
En continu	∞	1 648,72 €	648,72 €

Croissance dans le temps

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Une substance se désintègre en continu au taux de 4% par an. Quelle formule modélise la quantité $A$ après $t$ années, en partant de $P$ ?

Exercices pratiques: Croissance et décroissance continues

1. Une substance se désintègre en continu au taux de 4% par an. Quelle formule modélise la quantité A après t années, en partant de P ?
2. Dans le modèle A = 250e^{0{,}07t}, quelle est la valeur initiale ?
3. Utilise A = Pe^{rt} avec P = 1000, r = 0{,}04 et t = 5. Utilise e^{0{,}2} \approx 1{,}2214. Combien vaut A ? Arrondis à une décimale.
4. Une population suit N = 300e^{0{,}12t}, avec t en années. Quel est le taux de croissance continu en pourcentage ? Écris seulement le nombre, sans le signe %.
5. Tu places 1500 € à 3% d'intérêts composés en continu pendant 10 ans. Utilise e^{0{,}3} \approx 1{,}3499. Combien as-tu à la fin ? Arrondis à l'euro.
6. Une culture de 400 bactéries augmente en continu de 25% par heure. Combien y a-t-il de bactéries après 4 heures ? Utilise e ≈ 2,71828 et arrondis à l'unité.
7. Que décrit le modèle N = 50e^{-0{,}3t} ?
8. Deux comptes partent du même montant, avec le même taux et la même durée. L'un compose annuellement, l'autre en continu. Lequel finit avec le plus d'argent ?
9. 200 grammes d'une substance radioactive se désintègrent en continu au taux de 5% par an. Utilise e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065. Combien de grammes reste-t-il après 10 ans ? Arrondis à une décimale.
10. Combien dois-tu déposer maintenant, à 5% d'intérêts composés en continu, pour avoir 10000 € dans 10 ans ? Utilise e^{0{,}5} \approx 1{,}6487 et arrondis à l'euro.
11. Un patient reçoit 60 mg d'un médicament. Le corps l'élimine en continu au taux de 20% par heure. Utilise e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488. Combien de mg ont été éliminés après 3 heures ? Arrondis à une décimale.
12. Tu places 3000 € à 4% pendant 5 ans. Utilise 1{,}04^{5} \approx 1{,}2167 et e^{0{,}2} \approx 1{,}2214. Compare la capitalisation annuelle et continue. Arrondis chaque montant à l'euro.
13. Combien dois-tu déposer aujourd'hui, à 4% d'intérêts composés en continu, pour avoir 6000 € dans 5 ans ? Utilise la calculatrice (e ≈ 2,71828) et arrondis le résultat final à l'euro.
14. Offre A : 6% composés annuellement. Offre B : 5,85% composés en continu. Utilise e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602. Quelle offre rapporte le plus après un an ?
15. 5000 € sont placés à 8% pendant 10 ans. Utilise 1{,}08^{10} \approx 2{,}158925 et e^{0{,}8} \approx 2{,}225541. Combien d'euros de plus rapporte la capitalisation continue par rapport à la capitalisation annuelle ? Arrondis à l'euro.
16. Tu veux placer 2000 € pendant 10 ans. La banque A paie 5% composés annuellement, la banque B 4,9% composés en continu. Utilise 1{,}05^{10} \approx 1{,}6289 et e^{0{,}49} \approx 1{,}6323. Arrondis chaque montant à l'euro. Combien d'euros de plus rapporte la meilleure banque ?
17. Un échantillon de 500 grammes d'une substance radioactive se désintègre en continu à 2% par an. Utilise e⁻¹ ≈ 0,3679. Combien de grammes reste-t-il après 50 ans ? Arrondis au gramme.
18. Une culture commence avec 1000 bactéries et augmente en continu de 30% par heure. Utilise e^{0{,}6} \approx 1{,}8221 et e^{1{,}2} \approx 3{,}3201. Par quel facteur la culture est-elle multipliée entre l'heure 2 et l'heure 4 ? Trouve d'abord le nombre de bactéries après 2 heures et après 4 heures (à l'unité), puis donne le facteur avec deux décimales.

Pourquoi c'est important

Beaucoup de phénomènes n'attendent pas la fin de l'année pour changer : ils changent à chaque instant.

Finance : certains comptes d'épargne et certains prêts composent les intérêts en continu, et $Pe^{rt}$ est la limite supérieure de ce que peut rapporter n'importe quel rythme de capitalisation au même taux
Biologie : les bactéries d'un laboratoire se divisent tout le temps, pas selon un horaire, donc leur croissance se modélise avec $e$
Physique et médecine : les atomes radioactifs se désintègrent à des instants aléatoires et un médicament quitte le sang progressivement, les deux suivent $Pe^{-kt}$
Sciences en général : presque toutes les formules de croissance ou de décroissance en chimie, en physique et en économie s'écrivent avec la base $e$

Une fois que tu sais lire

Pe^{rt}

, tu peux comparer des offres bancaires, prévoir des résultats de laboratoire et comprendre comment les scientifiques datent des objets anciens.

Applications dans le monde réel

Banque : épargne à intérêts continus

Les banques comparent les offres avec la capitalisation la plus généreuse possible, la capitalisation continue. Elle montre le plafond de ce qu'un taux peut rapporter.

Exemple:

À 5% d'intérêts composés en continu, 1 € devient $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ € en un an : le taux annuel effectif est donc d'environ 5,13%, un peu plus que 5%.

1Essaie par toi-même

Tu places 4000 € sur un compte à 4,5% d'intérêts composés en continu et tu les laisses 4 ans.

Combien y a-t-il sur le compte après 4 ans ? Arrondis à l'euro.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $4000 \times e^{0{,}045 \times 4}$ :

Biologie : bactéries en laboratoire

Les microbiologistes modélisent une culture de bactéries bien nourrie par $N(t) = N_0 e^{rt}$, où $r$ est le taux de croissance continu par heure.

Exemple:

Une culture de 1000 bactéries qui augmente au taux continu de 30% par heure compte $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ bactéries après 2 heures.

2Essaie par toi-même

Une culture de laboratoire commence avec 2000 bactéries et augmente en continu de 40% par heure.

Combien y a-t-il de bactéries après 5 heures ? Arrondis à l'unité.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $2000 \times e^{0{,}4 \times 5}$ :

Médecine : traceurs radioactifs

Les hôpitaux utilisent des substances radioactives comme l'iode 131 pour le diagnostic et le traitement. La quantité restante suit $A = Pe^{-kt}$, ce qui permet aux médecins de savoir combien il en reste chaque jour.

Exemple:

L'iode 131 se désintègre en continu à environ 8,6% par jour. Après 1 jour, $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$ : il reste donc environ 91,8% de l'échantillon.

3Essaie par toi-même

Un hôpital reçoit 100 mg d'iode 131, qui se désintègre en continu au taux de 8,6% par jour.

Combien en reste-t-il après 10 jours ? Arrondis à une décimale.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $100 \times e^{-0{,}086 \times 10}$ :

Points clés

1Croissance continue : $A = Pe^{rt}$ ; décroissance continue : $A = Pe^{-kt}$ , avec les taux écrits en décimal
2Un exposant positif signifie une croissance, un exposant négatif une décroissance
3Dans la calculatrice, tape $e^{x}$ sous la forme e^(x) (sans touche $e$ : 2.71828^x) et mets l'exposant entre parenthèses
4Au même taux et sur la même durée, la capitalisation continue rapporte toujours un peu plus que la capitalisation annuelle
5Pour trouver la valeur initiale, divise : $P = \frac{A}{e^{rt}}$
6Trouver le temps $t$ demande les logarithmes, qui viendront dans des leçons suivantes

Questions fréquentes

Composer

n

fois par an au taux

r

donne

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

. Quand

n

devient de plus en plus grand, cette expression se rapproche de

e^{rt}

. Donc

e

est ce que l'on obtient quand la croissance a lieu à chaque instant.

Glossaire

Croissance continue: Augmentation qui a lieu à chaque instant, modélisée par $A = Pe^{rt}$ avec $r > 0$
Décroissance continue: Diminution qui a lieu à chaque instant, modélisée par $A = Pe^{-kt}$ avec $k > 0$
Intérêts composés en continu: Intérêts ajoutés à chaque instant ; la limite d'une capitalisation de plus en plus fréquente
Taux continu: Le taux $r$ ou $k$ dans l'exposant, écrit en décimal ( $4\% = 0{,}04$ )
Nombre d'Euler $e$: La constante $e \approx 2{,}71828$ , base naturelle de la croissance et de la décroissance continues
Valeur initiale: La valeur de départ $P$ à l'instant $t = 0$

Carte des formules

Croissance continue

A = P e^{rt}

$P$ = valeur initiale, $r$ = taux de croissance continu (décimal), $t$ = temps, $A$ = quantité après le temps $t$.

Décroissance continue

A = P e^{-kt}

$k$ = taux de décroissance continu (décimal, positif). Le signe moins fait diminuer la quantité.

Capitalisation annuelle (pour comparer)

A = P(1 + r)^t

Intérêts ajoutés une fois par an. Donne un peu moins que $Pe^{rt}$ au même taux.

Valeur initiale

P = \frac{A}{e^{rt}}

Divise le montant final par le facteur de croissance $e^{rt}$.

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