Croissance ou décroissance ?

Pour chaque fonction, indique s'il s'agit d'une croissance ou d'une décroissance et trouve la variation en pourcentage par période : $f(t) = 300 \cdot 0{,}92^t$ et $g(t) = 50 \cdot 1{,}03^t$.

Regarde la base de $f$: $b = 0{,}92$ et $0 < 0{,}92 < 1$ = $f$ est décroissante

Trouve le taux de décroissance de $f$: $r = 1 - b = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$ = $f$ perd $8\%$ par période

Regarde la base de $g$: $b = 1{,}03 > 1$, donc $r = 1{,}03 - 1 = 0{,}03$ = $g$ augmente de $3\%$ par période

Lis les valeurs initiales: $f(0) = 300 \cdot 0{,}92^0 = 300$ et $g(0) = 50$ = Valeurs de départ $300$ et $50$

Answer: $f$ est une **décroissance** exponentielle de $8\%$ par période (départ à $300$) ; $g$ est une **croissance** exponentielle de $3\%$ par période (départ à $50$).

Dépréciation d'une voiture

Une voiture neuve coûte 25000 € et perd $15\%$ de sa valeur chaque année. Combien vaut-elle après 4 ans ? Arrondis au centime.

Identifier les valeurs: $a = 25000$, $r = 0{,}15$, $t = 4$ = Valeurs identifiées

Calculer le facteur de décroissance: $1 - r = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = $b = 0{,}85$

Écrire la formule: $V(4) = 25000 \cdot 0{,}85^4$ = Formule posée

Calculer la puissance: $0{,}85^4 = 0{,}52200625$ = Il reste environ $52{,}2\%$ de la valeur

Multiplier et arrondir: $25000 \cdot 0{,}52200625 = 13050{,}15625 \approx 13050{,}16$ = 13050,16 €

Answer: Après 4 ans, la voiture vaut environ **13050,16 €**, un peu plus de la moitié de son prix.

Un médicament dans le corps

Une patiente prend une dose de 400 mg d'un médicament. Chaque heure, le corps élimine $20\%$ du médicament encore présent. Quelle quantité reste-t-il après 5 heures, et quel pourcentage de la dose cela représente-t-il ? Arrondis au dixième.

Calculer le facteur de décroissance: $1 - 0{,}20 = 0{,}8$ = $b = 0{,}8$

Écrire le modèle: $M(t) = 400 \cdot 0{,}8^t$ = Modèle écrit

Calculer la puissance: $0{,}8^5 = 0{,}32768$ = Il reste $0{,}32768$ de la dose

Trouver la quantité: $400 \cdot 0{,}32768 = 131{,}072 \approx 131{,}1$ = $131{,}1$ mg

Convertir le facteur en pourcentage: $0{,}32768 \times 100\% = 32{,}768\% \approx 32{,}8\%$ = Il reste $32{,}8\%$

Answer: Après 5 heures, il reste environ **131,1 mg**, soit environ **32,8 %** de la dose.

Le café qui refroidit (modèle simple)

Une tasse de café est à $90°C$ dans une pièce à $20°C$. Dans un modèle simple, l'écart entre le café et la pièce diminue de $10\%$ chaque minute. Quelle est la température du café après 5 minutes ? Arrondis au dixième.

Trouver l'écart de départ: $90 - 20 = 70$ = $D_0 = 70$ degrés

Modéliser l'écart: $D(t) = 70 \cdot 0{,}9^t$ = Facteur de décroissance $0{,}9$

Calculer la puissance: $0{,}9^5 = 0{,}59049$ = $0{,}59049$

Trouver l'écart après 5 minutes: $70 \cdot 0{,}59049 = 41{,}3343$ = $D(5) \approx 41{,}33$ degrés

Rajouter la température de la pièce: $20 + 41{,}3343 = 61{,}3343 \approx 61{,}3$ = $61{,}3°C$

Answer: Après 5 minutes, le café est à environ **61,3°C**. Seul l'écart avec la pièce décroît, donc le café s'approche de $20°C$ sans jamais descendre en dessous.

Baisse linéaire ou exponentielle

Un téléphone coûte 800 €. Modèle A : il perd 100 € par an. Modèle B : il perd $20\%$ par an. Compare les valeurs après 3, 6 et 8 ans (arrondies au centime).

Écrire les deux modèles: A : $V = 800 - 100t$ ; B : $V = 800 \cdot 0{,}8^t$ = Linéaire contre exponentiel

Comparer après 3 ans: A : $800 - 300 = 500$ ; B : $800 \cdot 0{,}512 = 409{,}6$ = B est plus bas

Comparer après 6 ans: A : $800 - 600 = 200$ ; B : $800 \cdot 0{,}262144 = 209{,}7152 \approx 209{,}72$ = Maintenant A est plus bas

Comparer après 8 ans: A : $800 - 800 = 0$ ; B : $800 \cdot 0{,}16777216 \approx 134{,}22$ = A atteint zéro, B non

Expliquer ce qui se passe: A retire toujours le même montant ; B retire $20\%$ d'une valeur de plus en plus petite = Les pertes exponentielles diminuent avec le temps

Answer: Le modèle exponentiel perd davantage au début (409,60 € contre 500 € après 3 ans), mais ses pertes annuelles diminuent sans cesse : après 6 ans il est plus haut (209,72 € contre 200 €), et après 8 ans la valeur linéaire est 0 alors que la valeur exponentielle est encore d'environ 134,22 €.

Mistake: Prendre le taux de décroissance comme base : écrire $25000 \cdot 0{,}15^t$ pour une perte de $15\%$

Why: $0{,}15^t$ ne garde que $15\%$ chaque année, c'est-à-dire une perte de $85\%$ par an. La base doit être la part **conservée**.

Correct: Facteur de décroissance $= 1 - r$. Une baisse de $15\%$ donne $25000 \cdot 0{,}85^t$.

Mistake: Retirer le même montant à chaque période : '20 % de 1000 font 200, donc après 5 ans la valeur est 0'

Why: C'est un raisonnement linéaire. La perte de chaque année représente $20\%$ de la valeur **actuelle**, pas de la valeur de départ, donc les pertes diminuent.

Correct: Multiplie par $0{,}8$ chaque année : $1000 \to 800 \to 640 \to 512 \to 409{,}6 \to 327{,}68$. Après 5 ans, il reste $327{,}68$.

Mistake: Calculer $a \cdot 1 - r^t$ au lieu de $a(1 - r)^t$

Why: L'exposant porte sur tout le facteur de décroissance. $1 - 0{,}15^2 = 0{,}9775$, mais $(1 - 0{,}15)^2 = 0{,}7225$.

Correct: Calcule d'abord $1 - r$, élève-le ensuite à la puissance $t$, puis multiplie par $a$.

Mistake: Croire qu'une grandeur qui décroît finit par valoir exactement zéro

Why: Multiplier un nombre positif par un facteur comme $0{,}8$ donne toujours un nombre positif.

Correct: Dans le modèle $y = a(1 - r)^t$, les valeurs se rapprochent de plus en plus de $0$ (asymptote horizontale $y = 0$) sans jamais l'atteindre.

Dépréciation des téléphones et ordinateurs

Les appareils électroniques perdent chaque année un pourcentage de leur valeur. Les sites de revente et les assureurs utilisent des modèles de décroissance pour estimer la valeur d'un appareil d'occasion.

Un ordinateur portable à 1000 € qui perd $30\%$ par an vaut $1000 \cdot 0{,}7^2 = 490$ € après 2 ans.

Posologie des médicaments

Les médecins et les pharmaciens utilisent la décroissance exponentielle pour savoir quelle quantité de médicament reste dans le corps et quand prendre la dose suivante.

Si le corps élimine $15\%$ d'un médicament chaque heure, alors après 4 heures $0{,}85^4 \approx 0{,}522$, donc il reste environ $52{,}2\%$ de la dose.

Boissons qui refroidissent

Les ingénieurs et les spécialistes de l'alimentation modélisent le refroidissement par une décroissance : l'écart de température entre un objet et la pièce diminue d'un pourcentage chaque minute.

Un café à $90°C$ dans une pièce à $20°C$ : si l'écart de $70$ diminue de $10\%$ par minute, après 1 minute il vaut $63$, donc le café est à $83°C$.

Q: Quelle est la différence entre le taux de décroissance et le facteur de décroissance ?

A: Le taux de décroissance $r$ est ce que tu perds à chaque période (par exemple $15\% = 0{,}15$). Le facteur de décroissance est ce que tu gardes : $1 - r = 0{,}85$. C'est le facteur de décroissance qui se place dans la base de la puissance.

Q: Comment distinguer croissance et décroissance en regardant seulement la formule ?

A: Regarde la base $b$ dans $y = a \cdot b^t$. Si $b > 1$, la grandeur augmente (par exemple $1{,}04$ signifie $+4\%$). Si $0 < b < 1$, elle diminue (par exemple $0{,}96$ signifie $-4\%$).

Q: Une grandeur qui décroît atteint-elle un jour zéro ?

A: Pas dans le modèle. À chaque période, on garde une part fixe d'un nombre positif, donc le résultat reste positif. La courbe se rapproche de plus en plus de la droite $y = 0$, son asymptote horizontale. Dans la vie réelle, on arrête de compter quand la quantité devient trop petite pour avoir de l'importance.

Q: Qu'est-ce que la demi-vie ?

A: La demi-vie est le temps nécessaire pour qu'il reste exactement la moitié de la grandeur. C'est un cas particulier de décroissance exponentielle avec sa propre formule, étudié dans la leçon Problèmes de demi-vie.