Comment distinguer croissance et décroissance en regardant seulement la formule ?

Regarde la base $b$ dans $y = a \cdot b^t$. Si $b > 1$, la grandeur augmente (par exemple $1{,}04$ signifie $+4\%$). Si $0 < b < 1$, elle diminue (par exemple $0{,}96$ signifie $-4\%$).

Une grandeur qui décroît atteint-elle un jour zéro ?

Pas dans le modèle. À chaque période, on garde une part fixe d'un nombre positif, donc le résultat reste positif. La courbe se rapproche de plus en plus de la droite $y = 0$, son asymptote horizontale. Dans la vie réelle, on arrête de compter quand la quantité devient trop petite pour avoir de l'importance.

Qu'est-ce que la demi-vie ?

La demi-vie est le temps nécessaire pour qu'il reste exactement la moitié de la grandeur. C'est un cas particulier de décroissance exponentielle avec sa propre formule, étudié dans la leçon Problèmes de demi-vie.

Ressources enseignants

Décroissance exponentielle

Q: Quelle est la différence entre le taux de décroissance et le facteur de décroissance ?

Le taux de décroissance $r$ est ce que tu perds à chaque période (par exemple $15\% = 0{,}15$). Le facteur de décroissance est ce que tu gardes : $1 - r = 0{,}85$. C'est le facteur de décroissance qui se place dans la base de la puissance.

Q: Une grandeur qui décroît atteint-elle un jour zéro ?

Pas dans le modèle. À chaque période, on garde une part fixe d'un nombre positif, donc le résultat reste positif. La courbe se rapproche de plus en plus de la droite $y = 0$, son asymptote horizontale. Dans la vie réelle, on arrête de compter quand la quantité devient trop petite pour avoir de l'importance.

Q: Qu'est-ce que la demi-vie ?

La demi-vie est le temps nécessaire pour qu'il reste exactement la moitié de la grandeur. C'est un cas particulier de décroissance exponentielle avec sa propre formule, étudié dans la leçon Problèmes de demi-vie.

Apprends comment une grandeur diminue d'un pourcentage constant, utilise la formule y = a(1 - r)^t et résous des problèmes de dépréciation, de médicaments et de refroidissement.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Il y a décroissance exponentielle lorsqu'une grandeur diminue du même pourcentage à chaque période de même durée. La quantité perdue est de plus en plus petite, car chaque nouvelle perte est un pourcentage de ce qui reste.

y = a(1 - r)^t

Avec :

$a$ = valeur initiale (la quantité à $t = 0$ )
$r$ = taux de décroissance, le pourcentage perdu à chaque période, écrit en nombre décimal ( $15\% \to r = 0{,}15$ )
$1 - r$ = facteur de décroissance $b$ , la part conservée à chaque période ( $1 - 0{,}15 = 0{,}85$ )
$t$ = nombre de périodes

Dans la forme générale

y = a \cdot b^t

, la base indique le type :

$b > 1$ : croissance exponentielle
$0 < b < 1$ : décroissance exponentielle

Après

t

périodes, la part qui reste vaut

(1 - r)^t

, quelle que soit la quantité de départ.

Essaie tout de suite

Quelle fonction représente une décroissance exponentielle ?

Exemples résolus

Pour chaque fonction, indique s'il s'agit d'une croissance ou d'une décroissance et trouve la variation en pourcentage par période : $f(t) = 300 \cdot 0{,}92^t$ et $g(t) = 50 \cdot 1{,}03^t$ .

Regarde la base de $f$

$b = 0{,}92$ et $0 < 0{,}92 < 1$ → $f$ est décroissante

Trouve le taux de décroissance de $f$

$r = 1 - b = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$ → $f$ perd $8\%$ par période

Regarde la base de $g$

$b = 1{,}03 > 1$ , donc $r = 1{,}03 - 1 = 0{,}03$ → $g$ augmente de $3\%$ par période

Lis les valeurs initiales

$f(0) = 300 \cdot 0{,}92^0 = 300$ et $g(0) = 50$ → Valeurs de départ $300$ et $50$

Réponse: $f$ est une décroissance exponentielle de $8\%$ par période (départ à $300$ ) ; $g$ est une croissance exponentielle de $3\%$ par période (départ à $50$ ).

Erreurs courantes

Prendre le taux de décroissance comme base : écrire $25000 \cdot 0{,}15^t$ pour une perte de $15\%$

Pourquoi c'est faux: $0{,}15^t$ ne garde que $15\%$ chaque année, c'est-à-dire une perte de $85\%$ par an. La base doit être la part conservée.

Correct: Facteur de décroissance $= 1 - r$ . Une baisse de $15\%$ donne $25000 \cdot 0{,}85^t$ .

Retirer le même montant à chaque période : '20 % de 1000 font 200, donc après 5 ans la valeur est 0'

Pourquoi c'est faux: C'est un raisonnement linéaire. La perte de chaque année représente $20\%$ de la valeur actuelle, pas de la valeur de départ, donc les pertes diminuent.

Correct: Multiplie par $0{,}8$ chaque année : $1000 \to 800 \to 640 \to 512 \to 409{,}6 \to 327{,}68$ . Après 5 ans, il reste $327{,}68$ .

Calculer $a \cdot 1 - r^t$ au lieu de $a(1 - r)^t$

Pourquoi c'est faux: L'exposant porte sur tout le facteur de décroissance. $1 - 0{,}15^2 = 0{,}9775$ , mais $(1 - 0{,}15)^2 = 0{,}7225$ .

Correct: Calcule d'abord $1 - r$ , élève-le ensuite à la puissance $t$ , puis multiplie par $a$ .

Croire qu'une grandeur qui décroît finit par valoir exactement zéro

Pourquoi c'est faux: Multiplier un nombre positif par un facteur comme $0{,}8$ donne toujours un nombre positif.

Correct: Dans le modèle $y = a(1 - r)^t$ , les valeurs se rapprochent de plus en plus de $0$ (asymptote horizontale $y = 0$ ) sans jamais l'atteindre.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

a = 400r = 0,2

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = a(1 − r)^tAsymptote

Tableau de valeurs

t	0	1	2	3	4	5
y	400	320	256	204,8	163,84	131,072

Explorateur de suites

Premier terme (a₁ = 100)

Raison (r = 0,8)

100,

80,

64,

51,2,

40,96,

32,768,

26,214,

20,972

, ...

Formule

a_n = 100 × 0,8^(n-1)

a_1

100

a_5

40,96

a_10

13,422

a_20

1,441

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle fonction représente une décroissance exponentielle ?

Exercices pratiques: Décroissance exponentielle

1. Quelle fonction représente une décroissance exponentielle ?
2. Une grandeur diminue de 15% chaque année. Quel est le facteur de décroissance b ? Écris-le en nombre décimal.
3. De quel pourcentage f(t) = 500 \cdot 0{,}6^t diminue-t-elle à chaque période ?
4. La fonction 1 est y = 150 \cdot 1{,}04^t et la fonction 2 est y = 150 \cdot 0{,}96^t. Laquelle représente une décroissance ?
5. Un modèle exponentiel a un facteur de décroissance de 0,93. Quel est le taux de décroissance en pourcentage ? Écris seulement le nombre (par exemple 5 pour 5%).
6. Un ordinateur portable coûte 1000 € et perd 20% de sa valeur chaque année. Combien vaut-il après 2 ans (en €) ?
7. Un téléphone coûte 600 € et perd 20% de sa valeur chaque année. Quelle expression donne sa valeur après t ans ?
8. Analyse le modèle f(t) = 2000 \cdot 0{,}7^t et calcule f(2).
9. Une grandeur perd 20% à chaque période. Quel pourcentage de la quantité de départ reste-t-il après 4 périodes ? Écris seulement le nombre, avec deux décimales.
10. Une voiture est achetée 20000 € et perd 10% de sa valeur chaque année. Combien vaut-elle après 3 ans (en €) ?
11. Quelle affirmation sur y = 80 \cdot 0{,}75^t est FAUSSE ?
12. Une patiente prend 500 mg d'un médicament. Le corps élimine 10% de la quantité restante chaque heure. Combien de milligrammes reste-t-il après 5 heures ? Arrondis au milligramme près.
13. Une machine vaut 10000 €. Modèle A : elle perd 1500 € par an. Modèle B : elle perd 15% par an. Quel modèle donne la valeur la plus élevée après 5 ans ?
14. Un café est à 85°C dans une pièce à 20°C. Dans un modèle simple, l'écart entre le café et la pièce diminue de 10% chaque minute. Quelle est la température du café après 3 minutes, en °C ? Arrondis au dixième.
15. Une machine coûte 12000 €. Plan A : elle perd 1500 € par an. Plan B : elle perd 20% par an. Après 4 ans, de combien d'euros la valeur du plan A dépasse-t-elle celle du plan B ?
16. La valeur d'un vélo passe de 400 à 324 en 2 ans, en perdant le même pourcentage chaque année. Quelle est la baisse annuelle en pourcentage ? Écris seulement le nombre.
17. Un scooter coûte 1000 € et perd 20% de sa valeur chaque année. Après combien d'années entières vaut-il pour la première fois moins de 450 € ?
18. Un patient reçoit 800 mg d'un médicament. Chaque heure, le corps élimine 40% de la quantité encore présente. Combien de milligrammes reste-t-il après 3 heures, et quel pourcentage de la dose cela représente-t-il ?

Pourquoi c'est important

La décroissance exponentielle décrit beaucoup de choses qui diminuent avec le temps :

Dépréciation : une voiture ou un téléphone neuf perd chaque année un pourcentage de sa valeur, donc il perd le plus d'argent au début
Médicaments : le corps élimine chaque heure un pourcentage fixe d'un médicament, ce qui détermine la fréquence des prises
Refroidissement : une boisson chaude refroidit vite au début, puis de plus en plus lentement en s'approchant de la température de la pièce
Lumière et son : chaque mètre d'eau ou de mur absorbe un pourcentage de la lumière ou du son qui le traverse

Connaître la formule de décroissance te permet de prévoir des valeurs, de comparer des offres (un montant fixe en moins par an ou un pourcentage en moins) et de comprendre pourquoi certaines choses n'atteignent jamais tout à fait zéro.

Applications dans le monde réel

Dépréciation des téléphones et ordinateurs

Les appareils électroniques perdent chaque année un pourcentage de leur valeur. Les sites de revente et les assureurs utilisent des modèles de décroissance pour estimer la valeur d'un appareil d'occasion.

Exemple:

Un ordinateur portable à 1000 € qui perd $30\%$ par an vaut $1000 \cdot 0{,}7^2 = 490$ € après 2 ans.

1Essaie par toi-même

Un téléphone neuf coûte 1200 € et perd $25\%$ de sa valeur chaque année.

Combien vaut le téléphone après 2 ans ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise la formule de décroissance : $1200 \cdot 0{,}75^2$

Posologie des médicaments

Les médecins et les pharmaciens utilisent la décroissance exponentielle pour savoir quelle quantité de médicament reste dans le corps et quand prendre la dose suivante.

Exemple:

Si le corps élimine $15\%$ d'un médicament chaque heure, alors après 4 heures $0{,}85^4 \approx 0{,}522$ , donc il reste environ $52{,}2\%$ de la dose.

2Essaie par toi-même

Un patient prend 200 mg d'un médicament. Le corps élimine $30\%$ de la quantité restante chaque heure.

Combien de milligrammes reste-t-il après 4 heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : $200 \cdot 0{,}7^4$

Boissons qui refroidissent

Les ingénieurs et les spécialistes de l'alimentation modélisent le refroidissement par une décroissance : l'écart de température entre un objet et la pièce diminue d'un pourcentage chaque minute.

Exemple:

Un café à $90°C$ dans une pièce à $20°C$ : si l'écart de $70$ diminue de $10\%$ par minute, après 1 minute il vaut $63$ , donc le café est à $83°C$ .

3Essaie par toi-même

Une tasse de thé est à $80°C$ dans une pièce à $20°C$ . Dans un modèle simple, l'écart de température diminue de $20\%$ chaque minute.

Quelle est la température du thé après 3 minutes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : $20 + 60 \cdot 0{,}8^3$

Points clés

1La décroissance exponentielle suit $y = a(1 - r)^t$ : la grandeur perd le même pourcentage à chaque période
2Le taux de décroissance $r$ est le pourcentage perdu ; le facteur de décroissance $1 - r$ est la part conservée (une baisse de $15\%$ donne $0{,}85$ )
3Dans $y = a \cdot b^t$ , une base $0 < b < 1$ indique une décroissance et $b > 1$ une croissance
4Après $t$ périodes, la part restante vaut $(1 - r)^t$ ; multiplie par $100\%$ pour obtenir le pourcentage restant
5Une baisse linéaire retire toujours le même montant et peut atteindre zéro ; une baisse exponentielle perd de moins en moins et ne fait que s'approcher de zéro
6Arrondis seulement à la fin et précise l'arrondi (au centime, au dixième)

Questions fréquentes

Le taux de décroissance

r

est ce que tu perds à chaque période (par exemple

15\% = 0{,}15

). Le facteur de décroissance est ce que tu gardes :

1 - r = 0{,}85

. C'est le facteur de décroissance qui se place dans la base de la puissance.

Glossaire

Décroissance exponentielle: Une diminution du même pourcentage sur des périodes égales, modélisée par $y = a(1 - r)^t$
Taux de décroissance: Le pourcentage perdu par période, écrit en nombre décimal $r$ (par exemple $0{,}15$ pour $15\%$ )
Facteur de décroissance: La part conservée à chaque période, $b = 1 - r$ , avec $0 < b < 1$
Valeur initiale: La quantité $a$ au temps $t = 0$
Dépréciation: La perte de valeur d'un objet, comme une voiture ou un téléphone, au fil du temps
Asymptote horizontale: La droite $y = 0$ dont la courbe de décroissance s'approche sans jamais la toucher

Carte des formules

Formule de la décroissance exponentielle

y = a(1 - r)^t

$a$ = valeur initiale, $r$ = taux de décroissance en nombre décimal, $1 - r$ = facteur de décroissance, $t$ = nombre de périodes.

Facteur de décroissance à partir d'un pourcentage

b = 1 - r

Une baisse de $p\%$ par période donne $b = 1 - \frac{p}{100}$. Exemple : $15\% \to 0{,}85$.

Pourcentage restant

(1 - r)^t \times 100\%

Le pourcentage de la quantité de départ qui reste après $t$ périodes, quelle que soit la quantité de départ.

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