Une équation directe de même base

Résous $2^x = 32$.

Écris 32 comme une puissance de 2: $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$ = $2^x = 2^5$

Égale les exposants: Même base $2$, donc les exposants doivent être égaux = $x = 5$

Vérifie: $2^5 = 32$ ✓ = La solution est correcte

Answer: $x = 5$

Une expression dans l'exposant

Résous $3^{x+1} = 81$.

Écris 81 comme une puissance de 3: $81 = 3^4$ = $3^{x+1} = 3^4$

Égale les exposants: $x + 1 = 4$ = Une équation du premier degré

Isole $x$: $x = 4 - 1$ = $x = 3$

Vérifie: $3^{3+1} = 3^4 = 81$ ✓ = La solution est correcte

Answer: $x = 3$

Réécrire les deux membres

Résous $4^x = 8$.

Trouve une base commune: $4 = 2^2$ et $8 = 2^3$, ce sont donc deux puissances de $2$ = Base commune : $2$

Réécris le membre de gauche: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ = $2^{2x} = 2^3$

Égale les exposants: $2x = 3$ = $x = \frac{3}{2}$

Vérifie: $4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ ✓ = La solution est correcte

Answer: $x = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Une fraction dans le membre de droite

Résous $9^x = \frac{1}{27}$.

Réécris le membre de gauche en base 3: $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ = $3^{2x}$

Écris la fraction avec un exposant négatif: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$ = $3^{2x} = 3^{-3}$

Égale les exposants: $2x = -3$ = $x = -\frac{3}{2}$

Vérifie: $9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{9})^3} = \frac{1}{27}$ ✓ = La solution est correcte

Answer: $x = -\frac{3}{2} = -1{,}5$

Estimer une solution avec un tableau

Résous $5 \cdot 2^x = 100$. Si la solution n'est pas un nombre entier, donne les deux entiers consécutifs entre lesquels elle se trouve.

Isole la puissance: Divise les deux membres par $5$ : $2^x = \frac{100}{5}$ = $2^x = 20$

Cherche une base commune: $20 = 2^2 \cdot 5$ n'est pas une puissance de $2$ = La méthode de la même base ne marche pas

Fais un tableau des puissances de 2: $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$ = $16 < 20 < 32$

Encadre la solution: $2^4 < 2^x < 2^5$, et un exposant plus grand donne toujours une puissance de $2$ plus grande = $4 < x < 5$

Affine avec la calculatrice: $2^{4{,}3} \approx 19{,}7$ et $2^{4{,}4} \approx 21{,}1$ = $x \approx 4{,}3$

Answer: $x$ est compris entre $4$ et $5$ (environ $4{,}32$). Les logarithmes, vus plus tard, donnent la valeur exacte.

Mistake: Diviser par la base : $2^x = 32 \implies x = \frac{32}{2} = 16$

Why: $2^x$ signifie $2$ multiplié par lui-même $x$ fois, pas $2$ fois $x$. La division annule une multiplication, pas une puissance.

Correct: Écris $32$ comme une puissance de $2$ : $32 = 2^5$, donc $x = 5$. Vérification : $2^{16} = 65536 \neq 32$.

Mistake: Faire entrer le facteur dans la base : $3 \cdot 2^x = 48 \implies 6^x = 48$

Why: L'exposant ne porte que sur le $2$. D'après les priorités opératoires, on calcule d'abord la puissance, puis on multiplie par $3$.

Correct: Divise d'abord : $2^x = 16 = 2^4$, donc $x = 4$. Vérification : $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ ✓

Mistake: Égaler les exposants alors que les bases sont différentes : $4^x = 2^3 \implies x = 3$

Why: La règle de la même base ne fonctionne que si les bases sont vraiment identiques. $4^3 = 64$, pas $8$.

Correct: Réécris d'abord $4^x = 2^{2x}$, puis $2x = 3$, donc $x = \frac{3}{2}$.

Mistake: Oublier le signe moins : $9^x = \frac{1}{27} \implies x = \frac{3}{2}$

Why: Un nombre plus petit que $1$ demande un exposant négatif quand la base est plus grande que $1$ : $\frac{1}{27} = 3^{-3}$.

Correct: $3^{2x} = 3^{-3}$, donc $x = -\frac{3}{2}$. Test rapide : $9^{\frac{3}{2}} = 27$, ce qui est bien plus grand que $\frac{1}{27}$.

Colonies de bactéries

Une colonie qui double chaque heure suit $N = N_0 \cdot 2^t$. En résolvant pour $t$, un laboratoire sait quand la colonie atteint une taille visée.

Une colonie de 100 cellules double chaque heure. Elle atteint 800 cellules quand $100 \cdot 2^t = 800$, donc $2^t = 8 = 2^3$ et $t = 3$ heures.

Plier une feuille de papier

Chaque pliage double l'épaisseur d'une feuille de papier, donc l'épaisseur après $n$ pliages est $T = T_0 \cdot 2^n$.

Une feuille de 0,1 mm d'épaisseur mesure 0,8 mm après 3 pliages, car $0{,}1 \cdot 2^3 = 0{,}8$.

Vidéos virales

Des vues qui doublent chaque jour suivent $V = V_0 \cdot 2^d$. Quand l'objectif n'est pas une puissance de 2, un tableau de puissances montre le jour où il est dépassé.

Une vidéo de 1000 vues qui doublent chaque jour a $1000 \cdot 2^5 = 32000$ vues après 5 jours et $1000 \cdot 2^6 = 64000$ après 6 jours.

Q: Et si je ne peux pas écrire les deux membres avec la même base ?

A: Alors la méthode de la même base ne s'applique pas. Tu peux quand même estimer : fais un tableau de puissances et regarde où se place le membre de droite, par exemple $2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5$, donc la solution de $2^x = 20$ est comprise entre $4$ et $5$. Les logarithmes, étudiés plus tard, donnent la réponse exacte.

Q: Pourquoi la base ne doit-elle pas être 1 ?

A: Parce que $1^x = 1$ pour tout $x$. L'équation $1^x = 1^5$ est vraie pour toutes les valeurs de $x$, donc tu ne peux pas conclure que $x = 5$. Avec toute autre base positive, des exposants différents donnent toujours des résultats différents.

Q: Une équation exponentielle peut-elle n'avoir aucune solution ?

A: Oui. Une puissance de base positive est toujours positive, donc $2^x = -4$ et $2^x = 0$ n'ont pas de solution. Avant de commencer, vérifie que la puissance isolée est égale à un nombre positif.

Q: Peut-il y avoir deux solutions ?

A: Oui, quand l'exposant contient $x^2$. Par exemple, $2^{x^2} = 2^4$ donne $x^2 = 4$, donc $x = 2$ ou $x = -2$. Vérifie les deux dans l'équation de départ.