Pourquoi la base ne doit-elle pas être 1 ?

Parce que $1^x = 1$ pour tout $x$. L'équation $1^x = 1^5$ est vraie pour toutes les valeurs de $x$, donc tu ne peux pas conclure que $x = 5$. Avec toute autre base positive, des exposants différents donnent toujours des résultats différents.

Une équation exponentielle peut-elle n'avoir aucune solution ?

Oui. Une puissance de base positive est toujours positive, donc $2^x = -4$ et $2^x = 0$ n'ont pas de solution. Avant de commencer, vérifie que la puissance isolée est égale à un nombre positif.

Peut-il y avoir deux solutions ?

Oui, quand l'exposant contient $x^2$. Par exemple, $2^{x^2} = 2^4$ donne $x^2 = 4$, donc $x = 2$ ou $x = -2$. Vérifie les deux dans l'équation de départ.

Ressources enseignants

Résoudre des équations exponentielles

Résous des équations où l'inconnue est dans l'exposant en écrivant les deux membres comme des puissances de même base, et estime les solutions qui ne sont pas entières.

Avancé25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une équation exponentielle est une équation dans laquelle l'inconnue se trouve dans l'exposant, par exemple

2^x = 32

3^{x+1} = 81

L'idée clé est la règle de la même base : si deux puissances de même base sont égales, leurs exposants sont égaux.

b^m = b^n \implies m = n \quad (b > 0,\ b \neq 1)

La méthode de la même base :

1.Isoler la puissance : si un nombre multiplie la puissance, divise les deux membres par ce nombre ( $3 \cdot 2^x = 48 \implies 2^x = 16$ ).
2.Écrire les deux membres comme des puissances de la même base ( $16 = 2^4$ , $8 = 2^3$ , $4 = 2^2$ ).
3.Égaler les exposants et résoudre l'équation plus simple obtenue.
4.Vérifier en remplaçant la solution dans l'équation de départ.

Réécritures utiles :

Les fractions deviennent des exposants négatifs : $\frac{1}{27} = 3^{-3}$
Les racines deviennent des exposants fractionnaires : $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$
Puissance d'une puissance : $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

Quand on ne peut pas écrire les deux membres avec la même base (comme pour

2^x = 20

), tu peux estimer la solution avec un tableau de puissances :

2^4 = 16

2^5 = 32

, donc

x

est compris entre

4

5

. Les logarithmes, vus plus tard, donnent la valeur exacte.

Essaie tout de suite

Résous

2^x = 16

Exemples résolus

Résous $2^x = 32$ .

Écris 32 comme une puissance de 2

$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$ → $2^x = 2^5$

Égale les exposants

Même base $2$ , donc les exposants doivent être égaux → $x = 5$

Vérifie

$2^5 = 32$ ✓ → La solution est correcte

Réponse: $x = 5$

Erreurs courantes

Diviser par la base : $2^x = 32 \implies x = \frac{32}{2} = 16$

Pourquoi c'est faux: $2^x$ signifie $2$ multiplié par lui-même $x$ fois, pas $2$ fois $x$ . La division annule une multiplication, pas une puissance.

Correct: Écris $32$ comme une puissance de $2$ : $32 = 2^5$ , donc $x = 5$ . Vérification : $2^{16} = 65536 \neq 32$ .

Faire entrer le facteur dans la base : $3 \cdot 2^x = 48 \implies 6^x = 48$

Pourquoi c'est faux: L'exposant ne porte que sur le $2$ . D'après les priorités opératoires, on calcule d'abord la puissance, puis on multiplie par $3$ .

Correct: Divise d'abord : $2^x = 16 = 2^4$ , donc $x = 4$ . Vérification : $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ ✓

Égaler les exposants alors que les bases sont différentes : $4^x = 2^3 \implies x = 3$

Pourquoi c'est faux: La règle de la même base ne fonctionne que si les bases sont vraiment identiques. $4^3 = 64$ , pas $8$ .

Correct: Réécris d'abord $4^x = 2^{2x}$ , puis $2x = 3$ , donc $x = \frac{3}{2}$ .

Oublier le signe moins : $9^x = \frac{1}{27} \implies x = \frac{3}{2}$

Pourquoi c'est faux: Un nombre plus petit que $1$ demande un exposant négatif quand la base est plus grande que $1$ : $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ .

Correct: $3^{2x} = 3^{-3}$ , donc $x = -\frac{3}{2}$ . Test rapide : $9^{\frac{3}{2}} = 27$ , ce qui est bien plus grand que $\frac{1}{27}$ .

Visuel interactif

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = 5·2^xy = 100

Point d'intersection : (4,32 ; 100)

Base:

Calculer:2³ = 8

Vois comment les puissances d'un nombre grandissent sur la droite numérique. Change la base et l'exposant.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Résous $2^x = 16$ .

Pourquoi c'est important

Les équations exponentielles répondent à la question "quand ?" pour tout ce qui augmente ou diminue d'un facteur constant :

Biologie : quand une colonie de bactéries qui double chaque heure atteindra-t-elle 4800 cellules ?
Finance : combien d'années faut-il pour qu'un placement double ou triple ?
Technologie : combien de doublements de stockage faut-il pour contenir une quantité de données donnée ?
Sciences : combien de temps faut-il pour qu'une substance descende à un niveau sans danger ?

Dans les leçons précédentes, tu as calculé la quantité pour un temps donné. Ici, tu inverses la question et tu cherches le temps (l'exposant) pour une quantité donnée. La méthode de la même base t'apprend aussi à voir des nombres comme

8

81

\frac{1}{27}

comme des puissances, une compétence que tu réutiliseras avec les logarithmes.

Applications dans le monde réel

Colonies de bactéries

Une colonie qui double chaque heure suit $N = N_0 \cdot 2^t$. En résolvant pour $t$, un laboratoire sait quand la colonie atteint une taille visée.

Exemple:

Une colonie de 100 cellules double chaque heure. Elle atteint 800 cellules quand $100 \cdot 2^t = 800$ , donc $2^t = 8 = 2^3$ et $t = 3$ heures.

1Essaie par toi-même

Un échantillon contient 300 bactéries au départ et double chaque heure.

Au bout de combien d'heures y a-t-il 4800 bactéries ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $300 \cdot 2^t = 4800$ . Divise d'abord :

Plier une feuille de papier

Chaque pliage double l'épaisseur d'une feuille de papier, donc l'épaisseur après $n$ pliages est $T = T_0 \cdot 2^n$.

Exemple:

Une feuille de 0,1 mm d'épaisseur mesure 0,8 mm après 3 pliages, car $0{,}1 \cdot 2^3 = 0{,}8$ .

2Essaie par toi-même

Une feuille de papier a une épaisseur de 0,1 mm. Chaque pliage double l'épaisseur.

Combien de pliages donnent une épaisseur de 6,4 mm ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $0{,}1 \cdot 2^n = 6{,}4$ . Divise d'abord :

Vidéos virales

Des vues qui doublent chaque jour suivent $V = V_0 \cdot 2^d$. Quand l'objectif n'est pas une puissance de 2, un tableau de puissances montre le jour où il est dépassé.

Exemple:

Une vidéo de 1000 vues qui doublent chaque jour a $1000 \cdot 2^5 = 32000$ vues après 5 jours et $1000 \cdot 2^6 = 64000$ après 6 jours.

3Essaie par toi-même

Une vidéo a 1000 vues et ses vues doublent chaque jour.

Entre quels jours entiers dépasse-t-elle 50000 vues ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $1000 \cdot 2^d = 50000$ . Divise d'abord :

Points clés

1Dans une équation exponentielle, l'inconnue est dans l'exposant, comme dans $2^x = 32$
2Règle de la même base : si $b^m = b^n$ (avec $b > 0$ , $b \neq 1$ ), alors $m = n$
3Isole d'abord la puissance : divise par le facteur devant, comme dans $3 \cdot 2^x = 48 \implies 2^x = 16$
4Réécris avec une base commune grâce à $(b^m)^x = b^{mx}$ , aux exposants négatifs pour les fractions ( $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ ) et aux exposants fractionnaires pour les racines
5Vérifie toujours la solution en la remplaçant dans l'équation de départ
6S'il n'y a pas de base commune, un tableau de puissances montre entre quels entiers se trouve la solution ; les logarithmes donnent la valeur exacte

Questions fréquentes

Alors la méthode de la même base ne s'applique pas. Tu peux quand même estimer : fais un tableau de puissances et regarde où se place le membre de droite, par exemple

2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5

, donc la solution de

2^x = 20

est comprise entre

4

5

. Les logarithmes, étudiés plus tard, donnent la réponse exacte.

Glossaire

Équation exponentielle: Une équation dans laquelle l'inconnue apparaît dans un exposant, comme $5^{x-1} = 125$
Méthode de la même base: Résoudre une équation exponentielle en écrivant les deux membres comme des puissances d'une même base, puis en égalant les exposants
Base commune: Une base avec laquelle on peut écrire les deux membres, comme $2$ pour $4^x = 8$
Exposant négatif: Un exposant qui signifie un inverse : $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Exposant fractionnaire: Un exposant qui signifie une racine : $b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b}$ , par exemple $27^{\frac{1}{3}} = 3$
Logarithme: L'exposant nécessaire pour atteindre un nombre ; il donne des solutions exactes comme le $x$ de $2^x = 20$ (vu plus tard)

Carte des formules

Règle de la même base

b^m = b^n \implies m = n

Valable pour $b > 0$ et $b \neq 1$. Écris les deux membres avec la même base, puis égale les exposants.

Puissance d'une puissance

(b^m)^x = b^{mx}

Sert à changer de base, par exemple $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.

Exposant négatif

\frac{1}{b^n} = b^{-n}

Transforme une fraction en puissance, par exemple $\frac{1}{16} = 2^{-4}$.

Exposant fractionnaire

\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}

Transforme une racine en puissance, par exemple $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.

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