Intérêts composés, chaque mois

Tu places 5000 € sur un compte d'épargne à 6% d'intérêts par an, composés chaque mois. Combien y a-t-il sur le compte après 10 ans ?

Lire : relever les grandeurs: $P = 5000$ €, $r = 0{,}06$, $n = 12$ (chaque mois), $t = 10$ ans = Départ, taux, périodes par an et durée trouvés

Identifier le facteur par mois: $1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ = Croissance, facteur $1{,}005$ par mois

Écrire le modèle: $A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ = $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Calculer: $1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$, donc $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ = $A \approx 9096{,}98$

Vérifier: Une capitalisation annuelle donne $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$. Chaque mois doit donner un peu plus, et c'est le cas. = Raisonnable, en euros

Answer: Après 10 ans, le compte contient environ **9096,98 €**.

Dépréciation d'une voiture

Une voiture neuve coûte 24000 € et perd 15% de sa valeur chaque année. Combien vaut-elle après 5 ans ? Arrondis au centime.

Lire : relever les grandeurs: $a = 24000$ €, taux $15\% = 0{,}15$ par an, $t = 5$ ans = Départ, taux et durée trouvés

Identifier : croissance ou décroissance ?: La valeur baisse, c'est donc une décroissance : $b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = Facteur de décroissance $0{,}85$

Écrire le modèle: $V(t) = 24000 \cdot 0{,}85^{t}$, donc $V(5) = 24000 \cdot 0{,}85^{5}$ = $V(5) = 24000 \cdot 0{,}85^5$

Calculer: $0{,}85^5 \approx 0{,}443705$, donc $V(5) \approx 10648{,}93$ = $V(5) \approx 10648{,}93$

Vérifier: La valeur est inférieure à 24000 et supérieure à 0. Une perte linéaire de $3600$ par an donnerait seulement $6000$ : avec une décroissance exponentielle, on perd moins chaque année, car 15% d'une valeur plus petite est plus petit. = Raisonnable, en euros

Answer: Après 5 ans, la voiture vaut environ **10648,93 €**.

Un post devient viral

À 12 h, une vidéo drôle a été partagée 40 fois. Le nombre de partages triple toutes les 2 heures. Combien y aura-t-il de partages à 22 h le même jour ?

Lire : relever les grandeurs: $a = 40$ partages, facteur $3$ toutes les $2$ heures, durée $t = 10$ heures (de 12 h à 22 h) = Départ, facteur et durée trouvés

Identifier le facteur et la période: Croissance avec $b = 3$, mais par période de 2 heures, donc l'exposant est $\frac{t}{2}$ = Croissance, $b = 3$ toutes les 2 heures

Écrire le modèle: $S(t) = 40 \cdot 3^{t/2}$, donc $S(10) = 40 \cdot 3^{10/2} = 40 \cdot 3^5$ = $S(10) = 40 \cdot 3^5$

Calculer: $3^5 = 243$, donc $S(10) = 40 \cdot 243 = 9720$ = $9720$ partages

Vérifier: 5 périodes où l'on triple : $40 \to 120 \to 360 \to 1080 \to 3240 \to 9720$. Un nombre entier de partages qui augmente vite : c'est cohérent. = Raisonnable, un nombre de partages

Answer: À 22 h, la vidéo compte environ **9720 partages**.

Médicament et demi-vie

Un patient prend 200 mg d'un médicament. Sa demi-vie dans le corps est de 6 heures. Quelle quantité reste-t-il après 18 heures ?

Lire : relever les grandeurs: $N_0 = 200$ mg, demi-vie $T = 6$ heures, $t = 18$ heures = Départ, demi-vie et durée trouvés

Identifier : croissance ou décroissance ?: La quantité est divisée par deux, c'est donc une décroissance de facteur $\frac{1}{2}$ toutes les 6 heures = Décroissance, facteur $\frac{1}{2}$

Écrire le modèle: $N(t) = 200 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}$, donc $N(18) = 200 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = $N(18) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$

Calculer: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$, donc $N(18) = \frac{200}{8} = 25$ = $25$ mg

Vérifier: Diviser trois fois par deux : $200 \to 100 \to 50 \to 25$. Moins que la dose, jamais négatif, en mg. = Raisonnable, en mg

Answer: Après 18 heures, il reste **25 mg** de médicament.

Linéaire ou exponentiel ? Lire un tableau

Une chaîne avait ces nombres d'abonnés : semaine 0 : 500, semaine 1 : 600, semaine 2 : 720, semaine 3 : 864. Le modèle est-il linéaire ou exponentiel ? Prévois le nombre à la semaine 5.

Vérifier les différences: $600 - 500 = 100$, $720 - 600 = 120$, $864 - 720 = 144$ = Différences non constantes : pas linéaire

Vérifier les quotients: $\frac{600}{500} = 1{,}2$, $\frac{720}{600} = 1{,}2$, $\frac{864}{720} = 1{,}2$ = Quotient constant $b = 1{,}2$ : exponentiel

Écrire le modèle: $a = 500$ (semaine 0), $b = 1{,}2$ : $S(t) = 500 \cdot 1{,}2^{t}$ = $S(t) = 500 \cdot 1{,}2^t$

Calculer la semaine 5: $S(5) = 500 \cdot 1{,}2^5 = 500 \cdot 2{,}48832 = 1244{,}16$ = Environ $1244$ abonnés

Interpréter et vérifier: $a = 500$ est le nombre de départ, $b = 1{,}2$ signifie une hausse de 20% par semaine. Une estimation linéaire ($+100$ par semaine) donnerait seulement $1000$. = Raisonnable, un nombre entier de personnes

Answer: Le modèle est **exponentiel** ($S(t) = 500 \cdot 1{,}2^t$, 20% par semaine), et à la semaine 5 la chaîne a environ **1244 abonnés**.

Mistake: Utiliser $r$ et $t$ au lieu de $\frac{r}{n}$ et $nt$ pour les intérêts composés

Why: Avec une capitalisation mensuelle, la banque verse $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$ chaque mois, 120 fois en 10 ans. Écrire $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ ou $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ mélange les périodes.

Correct: Taux par période $\frac{r}{n}$, nombre de périodes $nt$ : $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$.

Mistake: Prendre le taux comme facteur, par exemple $b = 0{,}15$ pour une perte de 15%

Why: Une perte de 15% signifie que 85% de la valeur reste. $24000 \cdot 0{,}15^5$ est presque nul, ce qui n'arrive à aucune voiture en 5 ans.

Correct: Décroissance : $b = 1 - r = 0{,}85$. Croissance : $b = 1 + r$. Le facteur est ce qui reste (ou ce que tu as) après une période.

Mistake: Utiliser $t$ au lieu de $\frac{t}{T}$ quand la période ne vaut pas 1

Why: "Triple toutes les 2 heures" ou "demi-vie de 6 heures" veut dire que le facteur s'applique une fois toutes les 2 ou 6 heures, pas chaque heure. $40 \cdot 3^{10}$ est beaucoup trop grand.

Correct: Compte d'abord les périodes : exposant $= \frac{\text{durée}}{\text{durée d'une période}}$, par exemple $3^{10/2} = 3^5$.

Mistake: Sauter la vérification du résultat

Why: Un résultat de décroissance plus grand que la valeur de départ, ou un résultat de croissance plus petit, signale toujours un mauvais facteur ou un mauvais exposant.

Correct: Étape 5 à chaque fois : une croissance finit au-dessus de $a$, une décroissance finit entre $0$ et $a$, et l'unité correspond à la question.

Épargner pour les études

Les banques composent les intérêts chaque année, chaque trimestre, chaque mois ou chaque jour. La formule $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ te permet de comparer les offres avant de choisir.

1000 € à 4% composés chaque trimestre pendant 3 ans : $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ €.

Des bactéries au laboratoire

Les microbiologistes modélisent une croissance qui se produit à chaque instant, et non par paliers, avec la croissance continue $A = P \cdot e^{rt}$.

Une culture de 1000 cellules qui croît en continu de 2% par heure pendant 10 heures : $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ cellules.

La caféine dans ton corps

Les médecins et les pharmaciens utilisent la demi-vie pour décider à quelle fréquence prendre un médicament. La caféine a une demi-vie d'environ 5 heures chez l'adulte.

Un café de 100 mg bu à 8 h laisse encore $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg à 13 h.

Q: Comment savoir si un problème est exponentiel et pas linéaire ?

A: Cherche des mots comme "pour cent par an", "double", "triple", "diminue de moitié" ou "demi-vie" : le changement est un facteur. Si l'énoncé dit "augmente de 50 chaque année", le changement est une quantité fixe, donc c'est linéaire. Dans un tableau, teste les quotients de valeurs consécutives.

Q: Quand utiliser $e^{rt}$ plutôt que $(1 + r)^t$ ?

A: Utilise $e^{rt}$ seulement si l'énoncé dit que la croissance ou la décroissance est **continue** (ou que les intérêts sont composés en continu). S'il parle d'année, de mois, de trimestre ou ne précise rien, utilise $(1 + r)^t$ ou $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$.

Q: Ma calculatrice n'a pas de touche $e$. Que faire ?

A: Utilise la valeur donnée dans l'énoncé, comme $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$, ou tape $2{,}71828$ pour $e$. La calculatrice de cette leçon connaît $e$, tu peux donc y taper e^0.4 directement. Avec 5 décimales de $e$, ton résultat s'arrondit au même centime ou au même entier dans les problèmes de cette leçon.

Q: Pourquoi la 5e étape compte-t-elle si le calcul est juste ?

A: La plupart des réponses fausses viennent de la mise en équation, pas du calcul : un facteur $0{,}15$ au lieu de $0{,}85$, ou $t$ au lieu de $\frac{t}{2}$. Se demander "le résultat doit-il être plus grand ou plus petit que le départ ?" repère ces erreurs en quelques secondes.