Quand utiliser $e^{rt}$ plutôt que $(1 + r)^t$ ?

Utilise $e^{rt}$ seulement si l'énoncé dit que la croissance ou la décroissance est **continue** (ou que les intérêts sont composés en continu). S'il parle d'année, de mois, de trimestre ou ne précise rien, utilise $(1 + r)^t$ ou $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$.

Ma calculatrice n'a pas de touche $e$. Que faire ?

Utilise la valeur donnée dans l'énoncé, comme $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$, ou tape $2{,}71828$ pour $e$. La calculatrice de cette leçon connaît $e$, tu peux donc y taper e^0.4 directement. Avec 5 décimales de $e$, ton résultat s'arrondit au même centime ou au même entier dans les problèmes de cette leçon.

Pourquoi la 5e étape compte-t-elle si le calcul est juste ?

La plupart des réponses fausses viennent de la mise en équation, pas du calcul : un facteur $0{,}15$ au lieu de $0{,}85$, ou $t$ au lieu de $\frac{t}{2}$. Se demander "le résultat doit-il être plus grand ou plus petit que le départ ?" repère ces erreurs en quelques secondes.

Ressources enseignants

Problèmes concrets sur les fonctions exponentielles

Résous de vrais problèmes exponentiels avec une méthode en 5 étapes : intérêts composés, dépréciation, propagation virale, demi-vie et croissance continue.

Avancé35 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un problème exponentiel décrit une grandeur qui change du même facteur à chaque période de temps de même durée. Ton travail consiste à transformer l'énoncé en un modèle de la forme

y = a \cdot b^{t}

où

a

est la valeur initiale et

b

le facteur de croissance (

b > 1

) ou le facteur de décroissance (

0 < b < 1

La méthode en 5 étapes fonctionne pour tous les problèmes de cette leçon :

1.Lire : repère la valeur de départ, le taux ou le facteur, la durée et les unités.
2.Identifier : croissance ou décroissance ? Trouve le facteur $b$ (pour un taux $r$ : $b = 1 + r$ ou $b = 1 - r$ ).
3.Écrire le modèle : choisis la bonne formule et remplace par les nombres.
4.Calculer : évalue avec la calculatrice et arrondis comme le demande l'énoncé.
5.Vérifier : le résultat est-il raisonnable (plus grand ou plus petit que la valeur de départ ?) et dans la bonne unité ?

Rappel des formules (des leçons précédentes) :

Intérêts composés, $n$ fois par an : $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$
Croissance ou décroissance continue : $A = P \cdot e^{rt}$
Demi-vie $T$ : $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$

Essaie tout de suite

Un téléphone perd 15% de sa valeur chaque année. Quel facteur

b

utilises-tu dans le modèle

V(t) = a \cdot b^t

Exemples résolus

Tu places 5000 € sur un compte d'épargne à 6% d'intérêts par an, composés chaque mois. Combien y a-t-il sur le compte après 10 ans ?

Lire : relever les grandeurs

$P = 5000$ €, $r = 0{,}06$ , $n = 12$ (chaque mois), $t = 10$ ans → Départ, taux, périodes par an et durée trouvés

Identifier le facteur par mois

$1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ → Croissance, facteur $1{,}005$ par mois

Écrire le modèle

$A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ → $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Calculer

$1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$ , donc $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ → $A \approx 9096{,}98$

Vérifier

Une capitalisation annuelle donne $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$ . Chaque mois doit donner un peu plus, et c'est le cas. → Raisonnable, en euros

Réponse: Après 10 ans, le compte contient environ 9096,98 €.

Erreurs courantes

Utiliser $r$ et $t$ au lieu de $\frac{r}{n}$ et $nt$ pour les intérêts composés

Pourquoi c'est faux: Avec une capitalisation mensuelle, la banque verse $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$ chaque mois, 120 fois en 10 ans. Écrire $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ ou $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ mélange les périodes.

Correct: Taux par période $\frac{r}{n}$ , nombre de périodes $nt$ : $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$ .

Prendre le taux comme facteur, par exemple $b = 0{,}15$ pour une perte de 15%

Pourquoi c'est faux: Une perte de 15% signifie que 85% de la valeur reste. $24000 \cdot 0{,}15^5$ est presque nul, ce qui n'arrive à aucune voiture en 5 ans.

Correct: Décroissance : $b = 1 - r = 0{,}85$ . Croissance : $b = 1 + r$ . Le facteur est ce qui reste (ou ce que tu as) après une période.

Utiliser $t$ au lieu de $\frac{t}{T}$ quand la période ne vaut pas 1

Pourquoi c'est faux: "Triple toutes les 2 heures" ou "demi-vie de 6 heures" veut dire que le facteur s'applique une fois toutes les 2 ou 6 heures, pas chaque heure. $40 \cdot 3^{10}$ est beaucoup trop grand.

Correct: Compte d'abord les périodes : exposant $= \frac{\text{durée}}{\text{durée d'une période}}$ , par exemple $3^{10/2} = 3^5$ .

Sauter la vérification du résultat

Pourquoi c'est faux: Un résultat de décroissance plus grand que la valeur de départ, ou un résultat de croissance plus petit, signale toujours un mauvais facteur ou un mauvais exposant.

Correct: Étape 5 à chaque fois : une croissance finit au-dessus de $a$ , une décroissance finit entre $0$ et $a$ , et l'unité correspond à la question.

Visuel interactif

Calculateur d'intérêts

Capital (5 000,00 €)

Taux d'intérêt (6%)

Durée (10 ans)

Capitalisation

Formule

Intérêt composé:A = P(1 + r/n)^(nt)A = 5000 · (1 + 0,06/12)^(12 · 10) = 9 096,98 €

Intérêt composé

Intérêts gagnés:4 096,98 €

Montant total:9 096,98 €

Même somme, capitalisation différente

Capitalisation	n	Montant total	Intérêts gagnés
Annuelle	1	8 954,24 €	3 954,24 €
Mensuelle	12	9 096,98 €	4 096,98 €
Quotidienne	365	9 110,14 €	4 110,14 €
En continu	∞	9 110,59 €	4 110,59 €

Croissance dans le temps

Explorateur de suites

Premier terme (a₁ = 200)

Raison (r = 0,5)

200,

100,

50,

25,

12,5,

6,25

, ...

Formule

a_n = 200 × 0,5^(n-1)

a_1

200

a_5

12,5

a_10

0,391

a_20

0,000381

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Un téléphone perd 15% de sa valeur chaque année. Quel facteur $b$ utilises-tu dans le modèle $V(t) = a \cdot b^t$ ?

Exercices pratiques: Problèmes concrets sur les fonctions exponentielles

1. Un téléphone perd 15% de sa valeur chaque année. Quel facteur b utilises-tu dans le modèle V(t) = a \cdot b^t ?
2. Le nombre de poissons dans un lac est modélisé par P(t) = 1200 \cdot 1{,}04^t, avec t en années. Que t'indique le nombre 1{,}04 ?
3. Chaque liste donne les valeurs d'une grandeur pour t = 0, 1, 2, 3. Quelle liste suit un modèle exponentiel ?
4. Tu places 2000 € à 6% d'intérêts par an, composés chaque trimestre. Quel modèle donne le montant A après t années ?
5. Une voiture achetée 20000 € perd 10% de sa valeur chaque année. Quatre élèves ont calculé sa valeur après 4 ans. Quel résultat est correct ?
6. Une vidéo a 500 vues, et le nombre de vues double chaque jour. Combien de vues a-t-elle après 6 jours ?
7. Une substance a une demi-vie de 5 heures. Un échantillon contient 80 mg au départ. Combien de mg reste-t-il après 20 heures ?
8. Tu places 1000 € à 8% d'intérêts par an, composés chaque trimestre. Combien y a-t-il sur le compte après 5 ans ? Arrondis au centime.
9. On place 1500 € à 5% par an, avec des intérêts composés en continu. Utilise e^{0{,}5} \approx 1{,}6487. Combien vaut le placement après 10 ans ? Arrondis à l'euro.
10. Un tableau donne y = 80 pour t = 0, y = 120 pour t = 1, y = 180 pour t = 2 et y = 270 pour t = 3. Décide s'il est linéaire ou exponentiel, puis trouve la valeur exacte de y pour t = 5.
11. Un ordinateur portable coûte 1200 € et perd 20% de sa valeur chaque année. Combien vaut-il après 3 ans ?
12. Lundi, 4 élèves connaissent un nouveau défi de danse. Chaque jour, le nombre d'élèves qui le connaissent triple. Combien le connaissent 4 jours plus tard ?
13. Tu places 3000 € à 5% d'intérêts par an, composés chaque semestre (deux fois par an). Combien as-tu après 6 ans ? Arrondis au centime.
14. Une matière radioactive a une demi-vie de 5 ans. Un échantillon pèse 640 g. Combien de grammes reste-t-il après 15 ans ?
15. Un patient reçoit 500 mg d'un médicament. La quantité dans le sang décroît en continu au taux de 10% par heure, donc A(t) = 500 \cdot e^{-0{,}1t}. Utilise e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187. Combien de mg reste-t-il après 2 heures ? Arrondis au mg.
16. La banque A verse 5% par an, composés chaque année. La banque B verse 5% par an, composés chaque mois. Tu places 10000 € pendant 3 ans. Combien la banque B verse-t-elle de plus ? Arrondis chaque montant au centime.
17. Un village comptait 2000 habitants. Deux ans plus tard, il en comptait 2880. On suppose une croissance exponentielle P(t) = 2000 \cdot b^t (t en années). Trouve b, le taux de croissance annuel et la population après 4 ans (arrondie à l'habitant près).
18. La valeur d'une voiture est V(t) = 18000 \cdot 0{,}88^t euros, t années après l'achat. Interprète le modèle, puis trouve après combien d'années entières la valeur passe pour la première fois sous 10000 €.

Pourquoi c'est important

Les modèles exponentiels sont le langage de l'argent, de la médecine, de la technologie et de la nature. Savoir les construire toi-même te permet de vérifier des affirmations au lieu de simplement les croire :

Épargne et crédits : la différence entre une capitalisation annuelle et mensuelle représente de l'argent réel sur 10 ou 20 ans
Acheter une voiture ou un téléphone : la dépréciation te dit combien il vaudra quand tu le revendras
Santé : la demi-vie indique à un médecin quelle quantité de médicament reste dans ton corps après quelques heures
Réseaux sociaux : les posts viraux sont multipliés par un facteur à chaque période, c'est pourquoi ils explosent si vite
Sciences : les populations, les matières radioactives et les objets qui refroidissent suivent des lois exponentielles

Cette leçon rassemble tout le chapitre sur les fonctions exponentielles. La méthode en 5 étapes est toujours la même ; seule la formule de l'étape 3 change.

Applications dans le monde réel

Épargner pour les études

Les banques composent les intérêts chaque année, chaque trimestre, chaque mois ou chaque jour. La formule $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ te permet de comparer les offres avant de choisir.

Exemple:

1000 € à 4% composés chaque trimestre pendant 3 ans : $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ €.

1Essaie par toi-même

Tu places 4000 € sur un compte à 6% d'intérêts par an, composés chaque trimestre, pendant 2 ans.

Combien d'argent y a-t-il sur le compte après 2 ans (au centime près) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ avec $P = 4000$ , $r = 0{,}06$ , $n = 4$ , $t = 2$ :

Des bactéries au laboratoire

Les microbiologistes modélisent une croissance qui se produit à chaque instant, et non par paliers, avec la croissance continue $A = P \cdot e^{rt}$.

Exemple:

Une culture de 1000 cellules qui croît en continu de 2% par heure pendant 10 heures : $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ cellules.

2Essaie par toi-même

Une culture commence avec 800 cellules et croît en continu au taux de 3% par heure. Utilise $e^{0{,}3} \approx 1{,}3499$ .

Combien y a-t-il de cellules environ après 10 heures (arrondi à l'unité) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $A = P \cdot e^{rt}$ avec $P = 800$ , $r = 0{,}03$ , $t = 10$ :

La caféine dans ton corps

Les médecins et les pharmaciens utilisent la demi-vie pour décider à quelle fréquence prendre un médicament. La caféine a une demi-vie d'environ 5 heures chez l'adulte.

Exemple:

Un café de 100 mg bu à 8 h laisse encore $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg à 13 h.

3Essaie par toi-même

Une boisson énergisante contient 160 mg de caféine. On suppose une demi-vie de 5 heures.

Quelle quantité de caféine reste-t-il après 10 heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ avec $N_0 = 160$ , $T = 5$ , $t = 10$ :

Points clés

1Tout problème exponentiel s'écrit $y = a \cdot b^{t}$ : $a$ est la valeur de départ, $b$ le facteur par période
2Suis les 5 étapes : lire, identifier croissance ou décroissance et le facteur, écrire le modèle, calculer, vérifier
3Un taux $r$ donne le facteur $b = 1 + r$ pour une croissance et $b = 1 - r$ pour une décroissance
4Intérêts composés : $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ ; continu : $A = P \cdot e^{rt}$ ; demi-vie : $N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$
5Quand le facteur s'applique une fois toutes les $T$ unités de temps, l'exposant est $\frac{t}{T}$
6Dans un tableau, des différences constantes indiquent un modèle linéaire, des quotients constants un modèle exponentiel

Questions fréquentes

Cherche des mots comme "pour cent par an", "double", "triple", "diminue de moitié" ou "demi-vie" : le changement est un facteur. Si l'énoncé dit "augmente de 50 chaque année", le changement est une quantité fixe, donc c'est linéaire. Dans un tableau, teste les quotients de valeurs consécutives.

Glossaire

Modèle exponentiel: Une formule $y = a \cdot b^{t}$ qui décrit une grandeur multipliée par le même facteur $b$ à chaque période de même durée
Facteur de croissance / de décroissance: Le nombre $b$ par lequel on multiplie à chaque période : $b = 1 + r$ pour une croissance, $b = 1 - r$ pour une décroissance
Intérêts composés: Intérêts ajoutés au solde $n$ fois par an, si bien que les intérêts suivants portent aussi sur les intérêts précédents
Dépréciation: La perte de valeur d'un objet (voiture, téléphone, machine) avec le temps, souvent un pourcentage fixe par an
Demi-vie: La durée $T$ nécessaire pour qu'une grandeur qui décroît soit divisée par deux
Croissance continue: Une croissance qui a lieu à chaque instant, modélisée par $A = P \cdot e^{rt}$

Carte des formules

Modèle exponentiel général

y = a \cdot b^{t}

$a$ = valeur initiale, $b$ = facteur par période ($b = 1 + r$ croissance, $b = 1 - r$ décroissance), $t$ = nombre de périodes.

Intérêts composés

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = capital de départ, $r$ = taux annuel en écriture décimale, $n$ = nombre de capitalisations par an, $t$ = années.

Croissance ou décroissance continue

A = P \cdot e^{rt}

$r > 0$ pour une croissance, $r < 0$ pour une décroissance, $e \approx 2{,}71828$.

Demi-vie

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = quantité de départ, $T$ = demi-vie, $t$ = temps écoulé (même unité que $T$).

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