Voir (1 + 1/n)^n s'approcher de e

Calcule $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ pour $n = 1$, $n = 2$ et $n = 12$. Que remarques-tu ?

Prends $n = 1$: $\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$ = $2$

Prends $n = 2$: $\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$ = $2{,}25$

Prends $n = 12$ (avec la calculatrice): $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$ = $\approx 2{,}61304$

Compare avec des $n$ plus grands: $n = 365$ donne $\approx 2{,}71457$, $n = 1\,000\,000$ donne $\approx 2{,}71828$ = Les valeurs augmentent de plus en plus lentement

Answer: Les résultats $2$, $2{,}25$, $2{,}61304$, ... augmentent toujours, mais ils se stabilisent près de $e \approx 2{,}71828$ et ne le dépassent jamais.

Composer les intérêts de plus en plus souvent

Tu places 1000 € sur un compte imaginaire qui rapporte 100 % d'intérêts par an. Combien as-tu après un an si les intérêts sont ajoutés chaque année, chaque mois ou chaque jour ?

Utilise la formule des intérêts composés: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}$ avec $P = 1000$, $r = 1$ (100 %), $t = 1$ an = $A = 1000\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$

Chaque année : $n = 1$: $1000 \cdot 2^1 = 2000$ = 2000 €

Chaque mois : $n = 12$: $1000 \cdot \left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1000 \cdot 2{,}61304$ = environ 2613,04 €

Chaque jour : $n = 365$: $1000 \cdot \left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} \approx 1000 \cdot 2{,}71457$ = environ 2714,57 €

Trouve la limite: Ajouter les intérêts à chaque instant donne $1000 \cdot e \approx 1000 \cdot 2{,}71828$ = environ 2718,28 €

Answer: Chaque année : 2000 €, chaque mois : environ 2613,04 €, chaque jour : environ 2714,57 €. Quelle que soit la fréquence, le montant ne dépasse jamais environ 2718,28 €, c'est-à-dire $1000 \cdot e$.

Calculer des valeurs de la fonction exponentielle

Soit $f(x) = e^x$. Avec $e \approx 2{,}71828$ et $e^2 \approx 7{,}389$, calcule $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$ et $f(2)$. Arrondis à trois décimales.

Calcule $f(0)$: Tout nombre non nul à la puissance $0$ vaut $1$ : $e^0 = 1$ = $f(0) = 1$

Calcule $f(1)$: $e^1 = e \approx 2{,}71828$ = $f(1) \approx 2{,}718$

Calcule $f(-1)$: $e^{-1} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2{,}71828} \approx 0{,}36788$ = $f(-1) \approx 0{,}368$

Calcule $f(2)$: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ = $f(2) \approx 7{,}389$

Answer: $f(0) = 1$, $f(1) \approx 2{,}718$, $f(-1) \approx 0{,}368$, $f(2) \approx 7{,}389$. Chaque pas de $1$ vers la droite multiplie la valeur par $e$.

Où se situe y = e^x ?

Compare $2^x$, $e^x$ et $3^x$ en $x = 2$ et en $x = -1$. Utilise $e^2 \approx 7{,}389$ et $e^{-1} \approx 0{,}368$.

Calcule en $x = 2$: $2^2 = 4$, $e^2 \approx 7{,}389$, $3^2 = 9$ = $4 < 7{,}389 < 9$

Calcule en $x = -1$: $2^{-1} = 0{,}5$, $e^{-1} \approx 0{,}368$, $3^{-1} \approx 0{,}333$ = $0{,}333 < 0{,}368 < 0{,}5$

Calcule en $x = 0$: $2^0 = e^0 = 3^0 = 1$ = Les trois courbes se croisent en $(0, 1)$

Décris la courbe: Comme $2 < e < 3$, la valeur de $e^x$ est toujours entre les deux autres = La courbe de $e^x$ se situe entre $2^x$ et $3^x$

Answer: Pour $x > 0$, $e^x$ est au-dessus de $2^x$ et en dessous de $3^x$ ; pour $x < 0$ l'ordre s'inverse, mais $e^x$ reste au milieu. Les trois courbes coupent l'axe des ordonnées en $1$ et ont l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.

Premier regard sur les intérêts composés en continu

On place 1000 € à 12 % par an pendant un an. Compare une capitalisation annuelle, mensuelle, quotidienne et continue. Pour la capitalisation continue, utilise $A = Pe^{rt}$ et $e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$.

Annuelle: $1000 \cdot 1{,}12 = 1120$ = 1120,00 €

Mensuelle: $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12} = 1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ = 1126,83 €

Quotidienne: $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{365}\right)^{365} \approx 1127{,}47$ = 1127,47 €

Continue: $A = Pe^{rt} = 1000 \cdot e^{0{,}12 \cdot 1} \approx 1000 \cdot 1{,}1275$ = 1127,50 €

Answer: Les montants sont 1120,00 €, 1126,83 €, 1127,47 € et 1127,50 €. Capitaliser plus souvent aide, mais le gain devient minuscule, et le plafond est $Pe^{rt}$. La leçon Croissance et décroissance continues étudie cette formule en détail.

Mistake: Penser que $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ augmente sans limite, ou qu'il diminue vers $1$

Why: Deux effets s'opposent : $1 + \frac{1}{n}$ se rapproche de $1$, mais l'exposant $n$ devient plus grand. Aucun des deux ne l'emporte complètement.

Correct: Vérifie avec un tableau : $2$, $2{,}25$, $2{,}613$, $2{,}7146$, $2{,}71828$. Les valeurs augmentent mais se stabilisent à $e \approx 2{,}71828$.

Mistake: Traiter $e$ comme une variable, comme $x$

Why: En algèbre, les lettres désignent souvent des inconnues, alors certains élèves essaient de trouver $e$ ou de remplacer $e$ par d'autres nombres.

Correct: $e$ est une constante fixe, exactement comme $\pi$. Dans $y = e^x$, la variable est $x$ ; $e \approx 2{,}71828$ ne change jamais.

Mistake: Calculer $e^2$ comme $2e \approx 5{,}437$

Why: Un exposant signifie une multiplication répétée, pas une multiplication par l'exposant.

Correct: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$.

Mistake: Écrire $e = 2{,}71828$ ou $e = 2{,}72$ comme si c'était exact

Why: $e$ est irrationnel, donc aucun nombre décimal fini et aucune fraction ne lui est exactement égal.

Correct: Écris $e \approx 2{,}71828$ et n'arrondis qu'à la fin du calcul, avec la précision demandée.

Banques et fréquence de capitalisation

Les banques annoncent un taux annuel, mais elles peuvent ajouter les intérêts chaque année, chaque mois ou chaque jour. Plus les intérêts sont ajoutés souvent, plus le résultat se rapproche de la limite continue construite avec $e$.

À 12 % par an, 1000 € deviennent 1120,00 € avec une capitalisation annuelle et environ 1127,50 € avec une capitalisation continue ($1000 \cdot e^{0{,}12}$).

Cultures de cellules en croissance

Dans une culture de laboratoire, les cellules se divisent à tout moment, pas une fois par jour. Les biologistes décrivent donc leur croissance avec la base $e$ : $N = N_0 e^{kt}$.

Une culture de 200 cellules modélisée par $N = 200e^{t}$ ($t$ en heures) compte $200e^{1} \approx 544$ cellules après 1 heure.

Échanges de cadeaux et 1/e

Dans un échange de cadeaux où chacun tire un nom dans un chapeau, la probabilité que personne ne tire son propre nom est presque exactement $\frac{1}{e}$ dès que le groupe compte plus de quelques personnes.

Dans une classe de 25 élèves, la probabilité que personne ne tire son propre nom est d'environ $0{,}368$ : il faut donc refaire le tirage dans environ 63 % des cas.

Q: Pourquoi appelle-t-on e la base naturelle ?

A: Parce qu'il apparaît tout seul dans la nature et en finance chaque fois qu'une croissance se fait en permanence et non par étapes. En analyse, $e^x$ est la seule fonction exponentielle dont la pente en chaque point est égale à sa propre valeur, ce qui rend les formules en base $e$ les plus simples.

Q: Qui a découvert e ?

A: Jacques Bernoulli l'a trouvé vers 1683 en étudiant les intérêts composés, exactement comme dans cette leçon. Leonhard Euler l'a ensuite nommé $e$, a démontré beaucoup de ses propriétés et en a calculé de nombreuses décimales. C'est pourquoi on l'appelle le nombre d'Euler.

Q: Est-ce que e est la constante d'Euler ?

A: Non. Le nombre d'Euler $e \approx 2{,}71828$ est la base de la fonction exponentielle. La constante d'Euler-Mascheroni $\gamma \approx 0{,}5772$ est un autre nombre, issu de la théorie des nombres. Seul $e$ est utilisé dans ce chapitre.

Q: Comment utiliser e sur une calculatrice ?

A: La plupart des calculatrices scientifiques ont une touche $e^x$. La calculatrice de cette leçon connaît aussi $e$ : tape e^0.5 pour $e^{0{,}5}$, ce qui donne environ $1{,}6487$. Sans touche $e$, tape 2.71828 à la place, par exemple 2.71828^0.5.