Jacques Bernoulli l'a trouvé vers 1683 en étudiant les intérêts composés, exactement comme dans cette leçon. Leonhard Euler l'a ensuite nommé $e$, a démontré beaucoup de ses propriétés et en a calculé de nombreuses décimales. C'est pourquoi on l'appelle le nombre d'Euler.

Est-ce que e est la constante d'Euler ?

Non. Le nombre d'Euler $e \approx 2{,}71828$ est la base de la fonction exponentielle. La constante d'Euler-Mascheroni $\gamma \approx 0{,}5772$ est un autre nombre, issu de la théorie des nombres. Seul $e$ est utilisé dans ce chapitre.

Comment utiliser e sur une calculatrice ?

La plupart des calculatrices scientifiques ont une touche $e^x$. La calculatrice de cette leçon connaît aussi $e$ : tape e^0.5 pour $e^{0{,}5}$, ce qui donne environ $1{,}6487$. Sans touche $e$, tape 2.71828 à la place, par exemple 2.71828^0.5.

Ressources enseignants

La base naturelle e

Q: Pourquoi appelle-t-on e la base naturelle ?

Parce qu'il apparaît tout seul dans la nature et en finance chaque fois qu'une croissance se fait en permanence et non par étapes. En analyse, $e^x$ est la seule fonction exponentielle dont la pente en chaque point est égale à sa propre valeur, ce qui rend les formules en base $e$ les plus simples.

Découvre d'où vient le nombre e, pourquoi il vaut environ 2,71828 et comment se comporte la fonction exponentielle naturelle y = e^x.

Avancé30 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La base naturelle

e

est un nombre particulier, environ

2{,}71828

. Il apparaît quand on calcule l'expression

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

pour des valeurs de

n

de plus en plus grandes :

$n$	$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
$1$	$2$
$2$	$2{,}25$
$12$	$\approx 2{,}61304$
$365$	$\approx 2{,}71457$
$1\,000\,000$	$\approx 2{,}71828$

Les valeurs augmentent toujours, mais elles ne dépassent jamais une certaine limite. Cette limite est le nombre

e

e \approx 2{,}718281828\ldots

À retenir :

$e$ est irrationnel : ses décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent jamais, donc $2{,}71828$ n'est qu'une valeur approchée
$e$ est compris entre $2$ et $3$ , donc la courbe de la fonction exponentielle $y = e^x$ se situe entre les courbes de $y = 2^x$ et $y = 3^x$
Comme toute fonction $y = b^x$ , elle passe par $(0, 1)$ , car $e^0 = 1$
La base $e$ est tellement utilisée que l'on appelle souvent $e^x$ simplement la fonction exponentielle

Essaie tout de suite

Quel nombre est la meilleure valeur approchée de

e

Exemples résolus

Calcule $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ pour $n = 1$ , $n = 2$ et $n = 12$ . Que remarques-tu ?

Prends $n = 1$

$\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$

Prends $n = 2$

$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$

Prends $n = 12$ (avec la calculatrice)

$\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$

Compare avec des $n$ plus grands

$n = 365$ donne $\approx 2{,}71457$ , $n = 1\,000\,000$ donne $\approx 2{,}71828$ → Les valeurs augmentent de plus en plus lentement

Réponse: Les résultats $2$ , $2{,}25$ , $2{,}61304$ , ... augmentent toujours, mais ils se stabilisent près de $e \approx 2{,}71828$ et ne le dépassent jamais.

Erreurs courantes

Penser que $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ augmente sans limite, ou qu'il diminue vers $1$

Pourquoi c'est faux: Deux effets s'opposent : $1 + \frac{1}{n}$ se rapproche de $1$ , mais l'exposant $n$ devient plus grand. Aucun des deux ne l'emporte complètement.

Correct: Vérifie avec un tableau : $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , $2{,}71828$ . Les valeurs augmentent mais se stabilisent à $e \approx 2{,}71828$ .

Traiter $e$ comme une variable, comme $x$

Pourquoi c'est faux: En algèbre, les lettres désignent souvent des inconnues, alors certains élèves essaient de trouver $e$ ou de remplacer $e$ par d'autres nombres.

Correct: $e$ est une constante fixe, exactement comme $\pi$ . Dans $y = e^x$ , la variable est $x$ ; $e \approx 2{,}71828$ ne change jamais.

Calculer $e^2$ comme $2e \approx 5{,}437$

Pourquoi c'est faux: Un exposant signifie une multiplication répétée, pas une multiplication par l'exposant.

Correct: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ .

Écrire $e = 2{,}71828$ ou $e = 2{,}72$ comme si c'était exact

Pourquoi c'est faux: $e$ est irrationnel, donc aucun nombre décimal fini et aucune fraction ne lui est exactement égal.

Correct: Écris $e \approx 2{,}71828$ et n'arrondis qu'à la fin du calcul, avec la précision demandée.

Visuel interactif

Calculateur d'intérêts

Capital (1 000,00 €)

Taux d'intérêt (100%)

Durée (1 an)

Capitalisation

Formule

Intérêt composé:A = P(1 + r/n)^(nt)A = 1000 · (1 + 1)^1 = 2 000,00 €

Intérêt composé

Intérêts gagnés:1 000,00 €

Montant total:2 000,00 €

Même somme, capitalisation différente

Capitalisation	n	Montant total	Intérêts gagnés
Annuelle	1	2 000,00 €	1 000,00 €
Mensuelle	12	2 613,04 €	1 613,04 €
Quotidienne	365	2 714,57 €	1 714,57 €
En continu	∞	2 718,28 €	1 718,28 €

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Asymptote

Tableau de valeurs

x	-1	0	1	2
2^x	0,5	1	2	4
e^x	0,367879	1	2,71828	7,38906
3^x	0,333333	1	3	9

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quel nombre est la meilleure valeur approchée de $e$ ?

Pourquoi c'est important

Le nombre

e

apparaît partout où une quantité augmente ou diminue proportionnellement à sa taille actuelle :

Banque : quand les intérêts sont ajoutés de plus en plus souvent (chaque mois, chaque jour, chaque seconde), le résultat s'approche d'une limite construite avec $e$ . On parle d'intérêts composés en continu
Biologie : les bactéries et les cultures de cellules qui grandissent sans pause sont modélisées avec $e^x$
Physique et chimie : la désintégration radioactive, le refroidissement et la charge d'un condensateur utilisent des puissances de $e$
Probabilités : si beaucoup de personnes tirent des noms pour un échange de cadeaux, la probabilité que personne ne tire son propre nom vaut environ $\frac{1}{e} \approx 0{,}368$
Analyse : $e^x$ est la seule fonction exponentielle dont le taux de variation en chaque point est égal à sa propre valeur, ce qui en fait le choix naturel en sciences

C'est pourquoi les calculatrices scientifiques ont une touche

e^x

, et pourquoi les leçons suivantes (croissance continue, modèles de population) utilisent la base

e

Applications dans le monde réel

Banques et fréquence de capitalisation

Les banques annoncent un taux annuel, mais elles peuvent ajouter les intérêts chaque année, chaque mois ou chaque jour. Plus les intérêts sont ajoutés souvent, plus le résultat se rapproche de la limite continue construite avec $e$.

Exemple:

À 12 % par an, 1000 € deviennent 1120,00 € avec une capitalisation annuelle et environ 1127,50 € avec une capitalisation continue ( $1000 \cdot e^{0{,}12}$ ).

1Essaie par toi-même

Tu places 1000 € à 12 % par an, avec capitalisation mensuelle, pendant un an.

Combien y a-t-il sur le compte après un an, au centime près ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12}$ :

Cultures de cellules en croissance

Dans une culture de laboratoire, les cellules se divisent à tout moment, pas une fois par jour. Les biologistes décrivent donc leur croissance avec la base $e$ : $N = N_0 e^{kt}$.

Exemple:

Une culture de 200 cellules modélisée par $N = 200e^{t}$ ( $t$ en heures) compte $200e^{1} \approx 544$ cellules après 1 heure.

2Essaie par toi-même

Une culture commence avec 200 cellules et est modélisée par $N = 200e^{t}$ , avec $t$ en heures.

Combien y a-t-il de cellules environ après 2 heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $200 \cdot e^2$ :

Échanges de cadeaux et 1/e

Dans un échange de cadeaux où chacun tire un nom dans un chapeau, la probabilité que personne ne tire son propre nom est presque exactement $\frac{1}{e}$ dès que le groupe compte plus de quelques personnes.

Exemple:

Dans une classe de 25 élèves, la probabilité que personne ne tire son propre nom est d'environ $0{,}368$ : il faut donc refaire le tirage dans environ 63 % des cas.

3Essaie par toi-même

Un grand groupe tire des noms pour un échange de cadeaux. La probabilité que personne ne tire son propre nom est $\frac{1}{e}$ .

Quelle est la probabilité, en pourcentage, qu'au moins une personne tire son propre nom ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $1 - \frac{1}{e}$ :

Points clés

1Quand $n$ augmente, $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ se rapproche de plus en plus du nombre $e \approx 2{,}71828$
2 $e$ est irrationnel : $2{,}71828$ est une valeur approchée, pas la valeur exacte
3Capitaliser plus souvent (chaque année, chaque mois, chaque jour) rapporte plus, mais le montant s'approche d'une limite : la capitalisation continue
4La fonction exponentielle $y = e^x$ passe par $(0, 1)$ et a l'axe des abscisses comme asymptote horizontale
5Comme $2 < e < 3$ , la courbe de $y = e^x$ se situe entre les courbes de $y = 2^x$ et $y = 3^x$
6La croissance continue utilise $A = Pe^{rt}$ , que tu étudieras dans la leçon Croissance et décroissance continues

Questions fréquentes

Parce qu'il apparaît tout seul dans la nature et en finance chaque fois qu'une croissance se fait en permanence et non par étapes. En analyse,

e^x

est la seule fonction exponentielle dont la pente en chaque point est égale à sa propre valeur, ce qui rend les formules en base

e

les plus simples.

Glossaire

Nombre d'Euler e: La constante irrationnelle $e \approx 2{,}71828$ , limite de $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ quand $n$ augmente
Fonction exponentielle: La fonction $f(x) = e^x$ , fonction exponentielle de base $e$
Nombre irrationnel: Un nombre qui ne peut pas s'écrire sous forme de fraction ; ses décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent jamais (exemples : $e$ , $\pi$ , $\sqrt{2}$ )
Fréquence de capitalisation: Le nombre de fois par an où les intérêts sont ajoutés au solde, noté $n$ (annuelle $n = 1$ , mensuelle $n = 12$ , quotidienne $n = 365$ )
Intérêts composés en continu: La limite quand les intérêts sont ajoutés de plus en plus souvent ; le montant vaut $A = Pe^{rt}$

Carte des formules

Définition de e

e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828

Pour $n$ très grand, $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ est très proche de $e$.

Fonction exponentielle

f(x) = e^x

Passe par $(0, 1)$, toujours positive, asymptote horizontale $y = 0$, se situe entre $2^x$ et $3^x$.

Intérêts composés

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = capital initial, $r$ = taux annuel en nombre décimal, $n$ = capitalisations par an, $t$ = années.

Intérêts composés en continu

A = Pe^{rt}

La limite des intérêts composés quand $n$ devient infiniment grand.

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