Une ville qui grandit

Une ville compte $50000$ habitants et augmente de $2\%$ par an. Estime sa population au bout de 5 ans.

Identifie $P_0$, $r$ et $t$: $P_0 = 50000$, $r = 0{,}02$, $t = 5$ = Valeurs identifiées

Trouve le facteur de croissance: $1 + r = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ = Facteur de croissance $1{,}02$

Écris le modèle: $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ = Modèle prêt

Calcule pour $t = 5$: $P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \approx 55204$ = $P(5) \approx 55204$

Answer: Au bout de 5 ans, la ville comptera environ **55204** habitants.

Des bactéries avec un temps de doublement

Un échantillon contient $300$ bactéries. Leur nombre double toutes les $30$ minutes. Combien y a-t-il de bactéries au bout de 3 heures ?

Écris le modèle de doublement: $P(t) = 300 \cdot 2^{t/30}$, avec $t$ en minutes = Modèle de doublement

Convertis le temps en minutes: $3$ heures $= 180$ minutes = $t = 180$

Compte les doublements: $\frac{t}{d} = \frac{180}{30} = 6$ = 6 doublements

Calcule: $P(180) = 300 \cdot 2^6 = 300 \cdot 64 = 19200$ = $19200$

Answer: Au bout de 3 heures, il y a **19200** bactéries.

Estimer le temps de doublement avec la règle de 70

Un pays de $8$ millions d'habitants augmente de $3{,}5\%$ par an. Combien de temps faut-il environ pour atteindre $16$ millions d'habitants ? Et $32$ millions ?

Applique la règle de 70: $d \approx \frac{70}{3{,}5} = 20$ ans = Temps de doublement d'environ 20 ans

Un doublement: $8$ millions $\to 16$ millions en environ $20$ ans = Environ 20 ans

Deux doublements: $16$ millions $\to 32$ millions en environ $20 + 20 = 40$ ans = Environ 40 ans

Vérifie avec le modèle exact: $1{,}035^{20} \approx 1{,}99$, très proche de $2$ = L'estimation est bonne

Answer: La population atteint environ **16 millions en 20 ans** et environ **32 millions en 40 ans**. La règle de 70 est une estimation, et ici le temps de doublement exact est d'environ 20,15 ans, donc l'estimation se trompe de moins d'un quart d'année.

Construire un modèle à partir de deux comptages

Une population de cerfs a été comptée à $1200$ en 2020 et à $1320$ en 2021. En supposant la même croissance annuelle en pourcentage, prédis la population en 2025.

Trouve le facteur de croissance: $1 + r = \frac{P_1}{P_0} = \frac{1320}{1200} = 1{,}1$ = Facteur de croissance $1{,}1$

Trouve le taux de croissance: $r = 1{,}1 - 1 = 0{,}1 = 10\%$ par an = $r = 10\%$

Écris le modèle (2020 correspond à $t = 0$): $P(t) = 1200 \cdot 1{,}1^t$ = Modèle prêt

Prédis 2025 ($t = 5$): $P(5) = 1200 \cdot 1{,}1^5 = 1200 \cdot 1{,}61051 \approx 1933$ = Environ $1933$ cerfs

Answer: Le modèle $P(t) = 1200 \cdot 1{,}1^t$ prédit environ **1933 cerfs** en 2025.

Prévision linéaire ou exponentielle

Une petite ville comptait $20000$ habitants en 2020 et $22000$ en 2022. Fais une prévision pour 2030 avec un modèle linéaire et avec un modèle exponentiel.

Modèle linéaire : même augmentation chaque année: $\frac{22000 - 20000}{2} = 1000$ habitants par an = $L(t) = 20000 + 1000t$

Prévision linéaire pour 2030 ($t = 10$): $L(10) = 20000 + 1000 \cdot 10 = 30000$ = $30000$

Modèle exponentiel : facteur sur 2 ans: $\frac{22000}{20000} = 1{,}1$ tous les 2 ans, donc $P(t) = 20000 \cdot 1{,}1^{t/2}$ = $\times 1{,}1$ tous les 2 ans

Prévision exponentielle pour 2030: $P(10) = 20000 \cdot 1{,}1^5 = 20000 \cdot 1{,}61051 \approx 32210$ = $32210$

Compare: $32210 - 30000 = 2210$ = L'exponentiel donne $2210$ de plus

Answer: Prévision linéaire : **30000**. Prévision exponentielle : environ **32210**. Les deux modèles collent aux deux comptages, et pourtant ils diffèrent d'environ 2210 personnes au bout de seulement 10 ans.

Mistake: Utiliser directement le pourcentage dans le facteur de croissance : $50000 \cdot (1 + 2)^t$

Why: Un taux de $2\%$ s'écrit $0{,}02$ en décimal. Écrire $1 + 2 = 3$ voudrait dire que la ville triple chaque année.

Correct: Convertis d'abord le pourcentage : $2\% = 0{,}02$, donc le facteur de croissance est $1{,}02$ et $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$.

Mistake: Oublier de diviser par le temps de doublement : $300 \cdot 2^{180}$

Why: L'exposant doit compter les doublements, pas les minutes. En 180 minutes, il n'y a que $\frac{180}{30} = 6$ doublements.

Correct: Utilise $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ : $300 \cdot 2^{180/30} = 300 \cdot 2^6 = 19200$.

Mistake: Utiliser le taux décimal dans la règle de 70 : $\frac{70}{0{,}035} = 2000$ ans

Why: La règle de 70 est faite pour le taux écrit en pourcentage. Avec le décimal, on obtient un résultat 100 fois trop grand.

Correct: Divise 70 par le nombre du pourcentage : $\frac{70}{3{,}5} = 20$ ans, et souviens-toi que c'est une estimation.

Mistake: Diviser par le comptage le plus récent pour trouver le taux : $\frac{120}{1320} \approx 9{,}1\%$

Why: Le taux de croissance se mesure par rapport à la population de départ, pas à celle d'arrivée.

Correct: Divise le nouveau comptage par l'ancien : $\frac{1320}{1200} = 1{,}1$, donc $r = 10\%$.

Urbanisme

Les urbanistes prévoient combien d'habitants une ville aura afin de construire à temps assez d'écoles, de logements et de transports en commun.

Une ville de $250000$ habitants qui augmente de $1\%$ par an aurait environ $250000 \cdot 1{,}01^{10} \approx 276156$ habitants au bout de 10 ans.

Des bactéries au laboratoire

Les microbiologistes utilisent les temps de doublement pour prévoir quand une culture sera assez grande pour être étudiée, ou à quelle vitesse une infection peut se propager avant un traitement.

Certaines bactéries doublent environ toutes les 20 minutes dans des conditions idéales, soit 3 doublements, c'est-à-dire un facteur $2^3 = 8$, par heure.

Le retour de la faune sauvage

Les équipes de protection de la nature comptent les animaux chaque année, construisent un modèle de croissance à partir des comptages et vérifient si une espèce protégée se rétablit. Elles savent aussi qu'une réserve ne peut nourrir qu'un nombre limité d'animaux, sa capacité de charge, donc la croissance ralentira plus tard.

Si un troupeau passe de $500$ à $540$ animaux en un an, le facteur de croissance est $\frac{540}{500} = 1{,}08$, donc le troupeau augmente de $8\%$ par an tant que la nourriture est abondante.

Q: Pourquoi la règle de 70 fonctionne-t-elle ?

A: Le temps de doublement exact est $d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$, et pour les petits taux $\ln(1 + r)$ est très proche de $r$. Comme $\ln 2 \approx 0{,}693$, le temps de doublement vaut environ $\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{pourcentage}}$, arrondi à 70. Tu verras les logarithmes dans une leçon ultérieure ; pour l'instant, utilise la règle comme estimation rapide.

Q: Quelle est la précision de la règle de 70 ?

A: Pour des taux jusqu'à environ $10\%$, l'erreur est en général inférieure à un an. À $2\%$, elle donne $35$ ans et la valeur exacte est d'environ $35{,}0$ ans. À $7\%$, elle donne $10$ ans et la valeur exacte est d'environ $10{,}2$ ans. Pour de grands taux, l'erreur augmente.

Q: Qu'est-ce que la capacité de charge ?

A: La capacité de charge est la plus grande population qu'un milieu peut faire vivre avec sa nourriture, son eau et son espace. Quand une population s'en approche, la croissance ralentit et la courbe s'aplatit en forme de S. On parle de croissance logistique ; dans cette leçon, on la décrit seulement, sans formule.

Q: Faut-il utiliser un modèle linéaire ou exponentiel ?

A: Regarde les données. Si la population augmente à peu près du même **nombre** chaque année, utilise un modèle linéaire. Si elle augmente à peu près du même **pourcentage** chaque année (les quotients $\frac{P_1}{P_0}$, $\frac{P_2}{P_1}$ sont à peu près égaux), utilise un modèle exponentiel.